И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре, страница 4

Базис всякого такого подпространства состоит из одного вектора е,, $ П линейное )лФФиннОе) и-меРЯОе ПРОстРлнстВО хз Таким образом, одномерное подпространство состоит из векторов вида аег, где а †произвольн число. Прибавим к каждому из векторов ае, один и тот же сектор х,. Мы получим совокупность векторов вида х =- = — х, +ае,, где а пробегает все числа, а е, и х, †фиксированные векторы. Эту совокупность векторов естественно, по аналогии с трехмерным пространством, назвать прямой з линейном пространстве гт). Аналогично, секторы вида ае, +ре„ где е, и е, †фиксированные линейно независимые векторы, а а и ()— произвольные числа, образуют двулгерное подпространство.

Совокупность векторов х= — «,+ е,+])е„ где х,— фиксированный вектор, мы назовем плоскостью (двумерной). Управ)пения. !. Показать, что в пространстве, где векто- раМИ яВЛяЮтея СиетЕМЫ и дЕЙСГВИтЕЛЬИЫХ ЧИСЕЛ (йт, Ст, ..., $а), совокупность векторов, удовлетворяющих соотношению оДг+озйз+... +од„=в (ам ~Ч, ..., о„— фиксированные числа, не все равные нулю), образует подпространство размериопи и†!. 2. Показать, по если дна подпростраиства нг и йз пространства ]г имеют общим лишь нулевой вектор, то сумма их размер- настей не превосходит размерности й. 3. Показать, что размерность подпространства, порожденного векторами е, А е, ..., равна максимальному числу линейно независимых векторов среди них. 6. Разложение пространства лт в прямую сумму надпространств. Сумма и пересечение надпространств.

Пусть заданы два надпространства п-мерного пространства гс. ОбОЗНаЧИМ ИХ ггт И ]~т),. Определейие 8. Если калсдый векторхпространства К можно, и притом единственным образом, пред'- ставите как сумму двух векторов х=х, +х„ где х,б)с„а х,ЕЙм то говортп, что пространство )с разложено в прямую сумму надпространств Кт и Я,. Это обычно записывают так: й=);~г+йз. П-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО [ГЛ. [ Те о р е м а 3. Для того чтобы пространство Я раз- лагалось в пряму[о сумму надпространство К, и )г„до- статочно, чтобы: 1.

Подпространства Я, и А', имели люлько один оба[ай вектор х =- 0 (нулевой вектор). 2. Сумл[а размерностей этих поди ространств была ража размерности пространства Й. Доказательство. Выберем некоторый базис е„... ..., еь в подпространстве й, н базис („..., 1, в под- пространстве Я,. Поскольку сумма размерностей К, и Я, есть п, то Общее число этих векторов 1[+1=а. Покажем, что векторы Е„...,ЕА, [Н ...,[Г линейно независимы, т. е. образуют базис пространства Р. Действительно, пусть Хе, +... +).„еь+р[,+...

+рд[=0; отсюда ),е~+ ° ° ° + гьеь = — [[,~,— ° ° ° — рД. Левая часть этого равенства есть вектор из К„а правая из Я, Так как, по условию, единственный общий век- тор К, и К, есть нулевой вектор, то Х,е,+... +Хлев — — О, (10) р,1, 1-... + в[1[ = О. Но каждый из наборов е„..., е и 1,, ..., ~, состоит из линейно независимых векторов, так как это базисы в Я, и Я,. Поэтому нз первого равенства (10) следует, что А, =... =ХА=О, а из второго следует, что р1 —... — р,=-О. Следовательно, система е„..., еА, ~О ..., 1, состоит из и линейно независимых векторов, т. е.

э[о есть базис в пространстве )т'. Мы доказали, что при выполнении условий теоремы существует базис, первые и векторов которого образуют базис в Ям а последние 1 †баз в Я,. $ !) ЛИНЕЙНОЕ (АФФИННОЕ) Л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО хз Произвольный вектор х из Я можно разложить пс векторам этого базиса х = а,е, +... + аАЕА+ ~3,~, +... + РА.

При этом х, =а,е,+... +оьеАЕ Й, и х,=И,+ ° ° ° +РАЕй ° Таким образом, х=х,+х„ где х, Ей, и х,ЕК„. Покажем, что это разложение единственно. Предположим, что существуют два разложения: х — х,+х„где х,Еп'„х,Е~7„ х=х',+х,', где х', Е й„х,'Е й,. Вычитая второе равенство из первого, получаем: О=х,— х',+х,— х'„ откуда х — х', =х,' — х,. Так как вектор„стоящий в левой части равенства, принадлежит Я„а вектор, стоящий в правой части, принадлежит Я„то каждый из этих векторов равен нулю, т. е.

х', =х„ х', =х,. Единственность разложения доказана. Допустим, что нам задано два произвольных подпространства Я, и Й, линейного пространства К. Легко проверить, что совокупность векторов, принадлежащих обоим этим подпространствам, также есть подпространство Я, пространства Й. Зто подпространство называется пересечением ь,', и тт', н обозначается й,=й,пй, Например, если К, и К,— два двумерных подпространства трехмерного пространства (две плоскости, ггз а-манное простнднст зо проходящие через начало координат), то Р! В Р, есть одномерное подпространство (прямая, по которой пересекакттся эти плоскости).

По двум подпространстнам тт! и )ге можно построить еще одно подпространство, которое называется их суммой. Оно определяется следующим образом. Векторами этого подпространства являются всевозможные суммы видз (11) Х г - д! + Х.„ где х, Е И„к, Е П,.

Легко проверить, что элементы вида (11) образуют подпространство. Это подпрострааство )г называется суммой подпространств Я, и К, и обозначается И=Я!+Им Заметам, что, в отличие от прямой суммы двух подпространств, запись элемента из )г в виде (11) может быть иео.нззначной. У и р а ж н е н и е. Показать, что сумма двух различных двумерных подпространств трехмерного пространства Й есть все ато про.

странство. Имеет место следующая теорема: Теорема 4. Пусть заданы два надпространства Я! и )га пространспма 1с. Тогда сумма размерностей Я, и )т, равна размерности ид суммы плюс размерность не;:есеченив. Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем в пересечении )т, = = Й,П)с, базис (12) Дополним этот базис с одной стороны до базиса в Р;! см ..., еа. ),..... ~, (13» и с другой стороны до базиса в )г,: е„..., ето у„..., д„.

(14) Покажем, что векторы -. ъц. ".й. (15) сбразуют базис в сумме К=ага+Я,. $ О линейнОе 1АФФинное) а-меРнОе НРОстРАнство Сначала покажем, что эти векторы линейно независимы. Действительно, пусть Л~,+ ... +Л,~1+р,е,+... ... +рьез+т1п,+... +т„Р.„=О. Тогда Л11, +... + Л1111+ р е, +... + рьех = — т~й1 — ° ° ° — т~к ~. Левая часть этого равенства есть вектор нз )тн правая— из 11,. Таким образом, эта правая часть есть одновременно вектор нз К, и из )(„т.

е. принадлежит й, и, значит, выражается как лийейная комбинация базиса е„..., ез подпространства Й;. — ч,п,—... — ч„д„=с,е, +... +сье„. В силу линейной независимости векторов (14) это возможно только, когда все коэффициенты — нули. В частности, ч,=... =ч„=О, т. е. л,1, +... + л (1+ р,е, +... + р„еа — — О. Из линейной независимости векторов (13) получаем, что и все коэффициенты Л„..., Л„р„..., р„равны нулю. Таким образом, линейная независимость системы (15) доказана. Покажем теперь, что всякий вектор хЕ )г выражается как линейная комбинация векторов этой системы.

По определению 1г вектор х можно представить в виде: х=х,+х„ где х,~ )го х,~)1',. Так как х, ~ Я;, то его можно представить как линейную комбинацию векторов (13). Аналогично х,ЕР, и х, можно представить как линейную комбинацию векторов (14). Складывая, получим, что вектор х представим как линейная комбинация системы (15). Итак, мы получили, что векторы ~н ....11.ен ...,ех,а;, ....д„, с одной стороны, линейно независимы и, с другой стороны, всякий вектор из К есть их линейная комбинация. [Гл. г И-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО В силу замечания на стр. 14 отсюда следует, что эти векторы образуют базис в тс. Итак, мы имеем й векторов (12), образующих базис в тс„й+1 векторов (13), образующих базис в гс„й+и векторов (14), образующих базис в й„и й+1+и векторов (15), образующих базис в гт=-тт,+эта Утверждение теоремы обращается, таким образом, в тождество (й+ 1) + (й + и) = (й + 1+ и) + й.

Теорема доказана. У п р аж не н ив. Проверить теорему для случая, когда Йэ и йэ †двумерн подпрострапства трехмерного пространства. Из доказанной теоремы следует, например, что двум 15-мерным подпространствам «тесно» в 28-мерном пространстве — они пересекаются по крайней мере по двумерному подпространству (плоскости). Действительно, сумма их размерностей равна 30, а размерность суммы не может, конечно, превосходить размерности всего пространства, т. е. 28.

У ар а ж и ел и я. 1. Каково наименьшее число измерений пространства, в котором две плоскости могут пересечься в точке? 2. Показать, что если й,()й есть нулевое подпространство, то Й=й,+Йа есть прямая сумма Й, и Й, т. с. Й=й,+Й . Из результата этого упражнения видно, что теорема 3 этого пункта есть частный случай теоремы 4. У' п р а ж н е н и е. Показать, что если имеется разложение Й в прямую сумму й=й,+Йэ, то пересечение Й, и Йэ равно нулю и, следовательно, сумма размерностей этих подпрсстранств равна л. 7. Преобразование координат при изменении базиса. Пусть е„е,, ..., са и е'„е'„..., е'„— два базиса и-мерного пространства. Пусть, далее, каждый вектор е,' выражается через векторы первого базиса формулами е', =атэс,+а„е,+ ... +а„эсю е',=а„а,+а„е,+ ... +а„,е„, (16) е„'=а,„е,+а е„+...