И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре, страница 9

В силу теоремы об изоморфизме это подпространство изоморфно обычному трехмерному пространству (либо его подпространству) и, следовательно, наше утверждение достаточно проеернть в последнем пространстве. В частности, справедливость неравенства Коши в Буняковского (являющегося утверждением о паре векторов) следует из того, что оно нерио в элементарной геометрии (см. пример 1, стр. 26).

Мы получаем, таким образом, новое доказательство неравенства Коши — Буняковского. Вше один пример. В р 2 мы доказали неравенство (7) ~х+у~ (~я[+[у!. В элементарной геометрии это неравенство означает, что длина диагонали параллелограмма не превосходит суммы длин двух смежных сторон, и доказывается в любом учебнике элементарной геометрии. Следовательно, в силу сказанного ранее, это неравенство справедливо в любом евклидовом пространстве. Теорема об нзоморфизме дает нам, таким образом, возможность получить, наприл[ср, неравенство ь /с ,Г ь $ () (1) + а ([))а С[у < ф' ~ ~ (1) а+ ))у' ~ ц' ([) [[[, О О О являющееся неравенством (7) ч 2 в пространстве функций (пример 4 Ч 2) как непосредственное следствие только что сформулированной теоремы из элементарной геометрии.

«) Геометрнческай теоремой мы будем называть утверждение о векторах, которое может бить сформулнровано в терминах сложення векторов, умножения нх на числа н скалярного произведения. Ь 41 Билинейные и квАЛРАтичные ФОРмы 55 й 4. Билинейные и квадратичные формы В этом параграфе мы будем опять заниматься аффинным пространством, а именно„будем изучать простейшие числовые функции от векторов в аффинном пространстве. 1.

Линейная функция. Простейшей функцией в аффинном пространстве является линейная функция. Определение 1. Говорят, что в а44иннол4 пространстве задана линейная функция (линейная 4ор.аа), если каждому вектору х поставлено в соответслпвие число ) (х), так чпю при этом выполнены условия: 1' )(х+у)=-~(х)+~(у). 2' 1" (Ах) =- Х~ (х) . Выберем в п-мерном пространстве произвольный базис е„е„..., е„.

Так как каждый вектор х можно представить в виде х =- $,е, + $,е, + ... + Е„е„, то в силу свойств линейной функции имеем: 1 (х) =1 ($4е, + $,е, +... + $„е„) = =в,4 (е4)+$,1(е,)+... +$„1(е„). Итак: в п-мерном пространстве с заданйым базисом линейная 4ункция может быть представлена в виде 1(х) =аД, +аД,+... +аД„, где а; = ) (е;) — постоянные, зависящие лишь от выбора базиса, а $„5„..., г — координаты вектора х в этом базисе.

Таким образом, данное выше определение линейной функции совпадает, по существу, с принятым в алгебре определением линейной функции (линейной формы); надо лишь иметь в виду, что в нашем случае коэффициенты а4 зависят от выбора базиса. Выясним, как лленяются коэффициенты линейной функции при замене одного базиса другим. Пусть е„е„..., е„и е,', е„', ..., е„' — два базиса в лг. Пусть, далее, векторы е4 выражаются через [Гл П-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО базис е„е„..., е„формулами е', =а„е,+а„е,+...

+а,е„, е,'=-с[ме,+а,е,+... +а„,е„, е„'=а,„е,+с[,„е,+... +а„„е„. Пусть в базисе е„е„..., е„линейная функция выражается формулой 1(х) = аД, + аД, +... + аД„, а в базисе е,", е,', ..., е„' — формулой ) (х) =- а с; + а,'Ц+... + аД„'. Так как а,=~(е[), а аь=~(еь), то аА=)(а,ье,+а,ле,+ ... +а„„е„) = =ац~ (е1)+аА[(е,)+...

+а„А1(е„)= =а,ла,+а,ла,+... +а„„а„. Мы видим, следовательно, что ксзффициенгпы линейной формы преобраз)ровса при переходе к другом)[ базису так аге, как векторы базиса (или, как иногда говорят, когредиенп[но векторам базиса). П р и м е р 1. В пространстве, векторами которого являются непрерывные функции [р([), заданные на отрезке [а, о), рассмотрим функцию ~([р), заданную формулой Р 1([р) = ) [Р([) [([.

О Эта функция линейна, так как выполняются условия 1РИ20 Действительно, первое из них означает, что интеграл суммы равен сумме интегралов, а второе означает, что постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. П р и м е р 2. В том же пространстве рассмотрим функцию ~(ч~), определенную следуюп[им образом.

Выберем на отрезке [а, Ь) некоторое значение [ =- [„и положим 1 (р) =- р ([.)- Проверьте, что зта функция ~(~р) также линейна. $41 БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 5У 2. Билинейные формы. Существенную роль в даль- нейшем будут играть билинейные и квадратичные функ- ции (формы). Оп ределенне 2. Мы говорим, «ло А(х; у) есть билинейная функг1ия (билинейная форма) от векторов х и у, сслиг 1' при фиксированном у А(х; у) есть линейная функ- г)ия от х, 2' при фиксированном х А(х; у) есть линейная функ- г(ия от у. Иными словами, в силу определения линейной функ- ции условия 1' и 2' означают соответственно 1' А (х, +х,; у) = А (хг; у)+ А (х,; у), А(Хх; у)=ХА(х; у). 2а А (х; уг + у,) = А (х; у,)+ А (х; у,), А (х; ру) = рА (х; у). П р и м е р ы 1.

Рассмотрим п-мерное пространство, в котором вектор есть совокупность п чисел. Положим А (х; У)=аггЦгт)г+агт~гтгт+... +аг„~гт)„+ + а„4тч, + а,ДД, +... + а,Д,Т)„+ +а„гвдг+а„тзд,+... +а $д„, (2) где х есть вектор (5„$„..., $„), а у — вектор (Ч„т1„..., т1„). Формула (2) определяет билинейную функцию. В самом деле, если зафиксировать у, т. е. а считать т)„т1„..., т)„постоянными, то ч~~ ардгт)А зависит !.

Х=г от $1 линейно, т. е. есть линейная функция от х= =($„$„..., 5„), а при постоянных $„$„..., $„ форм™а А(х; у) — линейная функция от у. 2. В пространстве, в котором векторами являются непрерывные функции 1(1), рассмотрим следующий пример билинейной функции. Пусть К(в, 1) — некоторая непрерывная функция переьленных в и 1. Положим ьь АФ у)=Я~К(в, 01(в) у(1)йй1. а а А ф у) есть билинейная функция векторов ~ и д.

тгл. ~ Л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО Действительно, условия 1' и 2' проверяются так же, еак и в примере 1 предыдушего пункта. Если К(в, 1) = 1, то ь ь ь ь А (~, у) =- ~ ~ ~ (з) д (!) Ив й =- ~ ~ (в) йв ~ у (!) йг, а а а а т. е. А (г, у) есть произведение линейных функций ) !(в) йз а ь н ) И(т) И. а Упражнение. Показать, что если !(х) и д(Р) — линейные функции, то нх произведение !(х).е(у) есть билинейная функция. Определение 3, Билинейная функция (форма) навыеается симметрической, если для любых векторов х и у имеет место равенство А(х; у)=А(у; х). В приведенном выше примере 1 определенная формулои (2) билинейная форма А(х; у) симметрична тогда и только тогда, когда ам — — ам для любых ( и я.

Скалярное произведение (х„у) в евклидовом прсстрансты. являетпся примером симметрической билинейной Формы. В самом деле, аксиомы 1', 2', 3' скалярного произведения 5 2) как раз и означают, что скалярное произведение есть симметрическая билинейная форма. 3. Матрица билинейной формы. Мы определили билинейную форму аксиоматически.

Выберем теперь в п-мерном пространстве какой-либо базис е„ е„ ..., е„ и выразим билинейную форму А (х; у) через координаты Вы 5.. . $. и т)„ т1„ ..., Ч„ векторов х и у в этом базисе. Мы имеем: А (х; у) = = А ($,е, +$,еа + ... + Ц,е„; т)ьет + т(,еь + ... + т(„е„). А(влет+а,е, +... +Е„е„; т),е,+т(,е,+... +т1„е„) = = йлт1лА (е„е,)+ йлт),А (е„' е,)+... + йлт)„А (е„е„)+ +$,т)лА(е,; ел)+$,т)лА(е,; е)+... +5,Т1„А(ех; е„)+ +й„т)лА(е„; ел)+акт),А (е„; е)+... +Е,т)„А(е,; е„), или, короче в А(х; у)= Х А(ед е„)ср)„. и а=| Обозначим постоянные А(ед еа) через а; . Тогда имеем: при заданном базисе е„е„..., е„всякая билинейная форма в и-мерном пространстве может быто записана в виде А (х; У) = ~к~~ ацДсх)ь, л, а=л (З; где Е„Е„..., 5„— кооудинаоик вектоРа х, а т)„т1м ... ., т1„— координаты вектора у в данном базисе.

Число а, зависят от выбора базиса и вычислюотся по форму- лам агл — — А (ед еа). (4' Матрица А = йа1А1! называется матрис1ей билинейноь' формы А (х; у) в базисе е„е,„..., е„. Таким образом, в каждом базисе билинейная форме А(х; у) определяется своей матрнцей А= 1!аса!1. Пример. Пусть 11 — трехмерное иространство, векторами ио тороса ивликаси тройки чисел $л, $„$з). Зададим в й билинейиук форму А (х; у) формулой А (; р) =1 ч +Ж.ч.+Ж ч' Возьмем в и в качестве базиса три вектора ел=(1, 1, 1); е,=(1„1, — 1); ез=(1, — 1, — 1). Ф 41 Билинейные и квАЛРАтичные ФОРМЫ йй В силу свойств 1' и 2' билинейной формы и-МЕРНОВ ПРОСТРАНСТВО !Тл. ! Найдем метрику А билинейной формы А(х; у) в этом базисе.

В силу (4) получим: а т — — 1 ° 1+2-1 ° 1+3 1 1=б, а,з=а„=1 ° 1+2 1 1+3 1.( — 1)=0, ахз — 1'!+2 1 1+3( 1) ( 1) б а,з — — а„=1.1+2.1( — 1)+3.1( — 1)= — 4, азз —— азз=1. 1+2.1 ( — !)+ 3 ( — 1) ( — 1)=2, лаз=1'1+2( 1)'( 1)+3( 1)( !)=6 г. е. А= 06 2 Таким образом, если обовиачить через йт, йз, йз и Чт, Чз, Чз каоР- динаты секторов х и у и базисе ет, ез, ез, то А (х; у)=-6ПЧ~ — 4.",;Чз+64зпз+2нзнз — йьзяз+2ьзиз+бьзпз. 4.