И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре, страница 13

Например, если квадратичная форма Л (х; х) в некотором базисе е„е„..., е„имеет матрицу !!;А!!. где ии,—— — Л (ей е ) и все определители ам а„... аил а„а„... а,„ 1 11 1 " '1 л а„, а„, ... алл отличны от нуля, то, как мы показали в п. 2 предыдущего параграфа, все Х1 в формуле (1) отличны от нуля и при приведении Л (х; х) к сумме квадратов по Описанному там способу число отрицательных коэффициентов равно числу перемен знака в ряду определителей 1, Ь„сч„..., Ь„.

Но мы могли взять другой исходный базис е'„е'„..., е„' (например, хотя бы взять те же самые векторы, но в другом порядке); при этом получатся другая матрица ()а;А(! и друтие определители Л;,Л;,...,б'„, н заранее совершенно неясно, почему число перемен знака в Обоих случаях должно быть одно и то же. В этом параграфе будет доказана следующая теорема, называемая законом инерции квадратичной 4орлы Т е о р е м а 1.

Если квадратичная 4орл~а приведена двумя различными способами (т. е. о двух различных базисах) к сомме квадратов, то число полоэкительных коэф- $71 закон инерции фициентов, так же как и число отрш(отельных, в обоих случаях одно и то же. Так как общее число коэффициентов )ч в каноническом виде квадратичной формы равно а, то отсюда непосредственно следует, что число коэффициентов кь равных нулю, также есть инвариант квадратичной формы.

Доказательство. Пусть в базисе е„е„..., е„ квадратичная форма А(х; х) имеет внд") А (х; х) = $', + Ц+ ... + 5р — $р+, —... — ф+,', (2) при этом Еы $„..., $„— координаты вектора х, т. е. х=в,е,+с„е,+... +д ер+$р+,е +,+... ...+с „е+ +...+$еа. Пусть в базисе )„~„..., Т„эта же квадратичная форма имеет вид ')(х х) =Чв+Ча+ ° ° ° +Чр Чр'+т Чр'+со (З) где Ч,, Ч„..., ׄ— координаты вектора х в базисе Т„ ...„)„. Нам нужно доказать, что р =. р' и д =- д'. Предположим, что это не так, например, пусть р > р'. Рассмотрим подпространство Г, состоящее из линейных комбинаций векторов е„е„..., е . Оно имеет р измерений.

Подпространство )т", состоящее нз линейных комбинаций векторов ~р,„„~р,еы ..., )а, имеет и — р' измерений. Так как н — р'+р > и (ибо мы предположили, что р> р'), то существует вектор х~О, лежащий в пересечении й' и Я", т. е. такой, что х = 5,е, + 5,ее+... + Щ и к=Чр +вар +с+ ° ° ° +Чр +д 1р ед.+ - ° ° +Ча)а. В базисе е„е„..., еа этот вектор имеет координаты О„ $„..., $р, О, ..., О, в базисе ~„~м ..., Та он имеет координаты О, О, ..., О, т!,„„..., Ч„. Подставляя эти *) Коэффициенты Х; в формуле (!) ььовсно, нах мы знаем, сделать равными ~- ! или О.

Те члены,для которых Ха=о, мы в формулах (2! и (3) ояусиаем. а2 Л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО [Гл. [ координаты в формулы (2) и (3), мы получим, с одной стороны, Л(хх)~~+се++ср>0 (4) (так как не Все числа 5„с„..., чр Равны нУлю). а с другой стороны, Л (х; х) = — т[р,+, — т['.+а в ... — Т[р,+е, ( О *). (5) Яы пришли к противоречию, следовательно, неравенство р > р' невозможно.

Точно так же доказывается невозможность неравенств р < р', [) > ([' и а < а'. Таким образом, закон инерции для квадратичных форм доказан. 2. Ранг квадратичной формы. Определе ние 1. Числоотличных от нуля коэффиь[иентов ).[ в каноническом виде квадратичной формы называется рангом квадрвпичной формы. Как уже было указано выше, из доказанного нами закона инерции непосредственно следует, что ранг квадратичной формы зависит только от самой формы, а не от способа ее приведения к каноническому виду.

Посмотрим, как фактически найти ранг квадратичной формы. Для этого мы определим ранг квадратичной формы, не прибегая к ее каноническому виду. Попутно мы получим определение одного подпространства, тесно связанного с данной билинейной формой. Оп ределенне 2. Нулевым подпространством данной билинейной формы А (х", у) Аты назьюаел[ совокупность Й, гекторов у, удовлетпворяющих условию А (х; у) =-0 для любого вектора хс)т. Легко видеть, что )се действительно есть подпространство. В самом деле, пусть у„узЕ)с„т. е. А (х; у,)=0 и А (х; у,) = 0 для любого х Е )т. Тогда Л (х; у, + у,) = 0 и А(х; ).у,)=-0 для любых х и )., т.

е. у-.=у,+уз~)те и )у, с)те. Поставим вопрос: нак найти подпространство тс,? Пусть [„— какой-либо базис в )т'. Для того чтобы Вектор у=чА+пА+" +чА (б) *) В формуле (Б) нельзя вместо знака е поставить знак (, тзк как, хотя среди чисел ~[я +х, ..., з[„есть отличныеот нуля, но возите Чрсы Чр+в ''' Чр те злкон иневции принадлежал нулевому подпространству, достаточно, чтобы А(1й у)=0 для (=1, 2, ..., и. (7) Действительно, если эти равенства выполнены, до и для любого х имеем А (х; у) =О, так как всякий вектор х есть линейная комбинация базисных векторов.

Подставляя в (7) вместо у его выражение (б), мы приходим к следующей системе уравнений: А(1,; ч,1,+ч,1,+...+ч„1„)=.о, А(1,; чА+ч„1.,+...+ч„1„)=о, А(1„; ч1,+ч,1,+...+ч.1.)=о, нли, если положить А (1б 1е)=ал„к системе а„Ч, + аьтЧт+... + а,„Ч„= О, аттч, +а,тчт+... + а ч„=- О, а„,Ч, +а„,Ч,, +... +а т1„= — О. Совокупность векторов у, координаты ч„ч„..., ч„которых являются решениями этой системы, и образует нулевое подпространство Я,. Как известно из теории линейных уравнений, размерность этого подпространства равна и — г, где г — ранг матрицы йа;„~~. Мы можем теперь сделать следующий вывод: Ранг липирит)ы 'й' ам 'й билинейной формы А (х; у) в неколюролт базисе не зависит от выбора этого базиса (хотя сама матрица йат й, как мы знаем из $ 5, зависит от выбора базиса). В самом деле, ранг этой матрицы равен и — с„где с,— размерность нулевого подпространства.

Нулевое же подпространство ни от какой системы координат вообще не зависит. Свяжем ранг матрицы квадратичной формы с рангом самой квадратичной формы. Рангом квадратичной формы мы назвали число отличных от нуля квадратов в и-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО ггл. г каноническом виде квадратичной формы. Но в канониче- ском базисе матрица квадратичной формы имеет вид Х,О ...О О г., О О О ... А„ и ранг этой матрицы равен г, где г †чис коэффициентов, отличных от нуля, т. е. равен рангу квадратичной формы. Так как ранг матрицы квадратичной формы, как мы доказалн, не зависит от системы координат, то и в любой другой системе координат ранг матрицы квадратичной формы равен рангу самой квадратичной формы *).

Итак, нами доказана следующая Теор ем а 2. Матрицы квадратичной ййорлия в различных сисглелюх координат имеюог один и тот лсе ранг г. Этот ранг равен числу квадрапюв в каноническолг виде форлгы, ковййфициенты нри кооюрых отличны от нуля. Таким образом, для того чтобы найти ранг квадратичной формы, нужно вычислить ранг ее матрицы в какой-нибудь одной системе координат.

5 8. Комплексное В-мерное пространство Во всех предыдущих параграфах мы всюду, кроме тех случаев, когда это особо оговаривалось, имели дело с пространством над полем вещественных чисел. Ряд изложенных выше результатов справедлив для любого основного поля.

Для дальнейшего особое значение, кроме пространства над полем вещественных чисел, будет иметь пространство над полем комплексных чисел. Разберем содержание предыдущих параграфов применительно к этому случаю. 1. Комплексное линейное пространство. Как указывалось в $ 1, все изложенные там результаты справедливы *) Пользуясь тем известным нз теории матриц фантом, что ранг матрицы не меняется при умножении ее на любую неособенную матрицу, этот результат можно получить и непосредственно из вывгленной в $ 4 формулы преобразования матрицы билинейной формы при изменении базиса В=С'АС.

4 з) комплексное и-меРнОе пРОстРАнстВО 85 для пространства над любым полем и, значит, в частности для пространства над полем комплексных чисел. 2. Комплексное евклидово пространство. Комплексным евклидовым пространством называется комплексное линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, т. е. каждой паре векторов х и у поставлено в соответствие комплексное число (х, у), причем выполнены следующие аксиомы: 1' (х, у)= (у, х) (под (у, х) мы понимаем число, комплексно сопряженное с (у, х)); 2' (Лх, у)=Л(х, у); 3' (х,+х„у) =(х„у)+(х„у); 4' (х, х) есть вещественное неотрицательное число, равное нулю лишь при х=-О.

Из аксиом 1' и 2' следует, что (х, Лу) =Л(х, у). Действительно, (х, Лу) =(Лу, х)=Л(у, х) =Л(х, у). далее справедливо равенство (х, у, +у,) =(х, у,)+(х. у,). В самом деле, (х, у,+у,) =(у,+у„х) =(у„х)+(у„х) =(х, у,)+(х, у,). Аксиома 1' отличается от соотнетсгвующей аксиомы 1 для вещественного евклидова пространства; при переходе к комплексному пространству мы не могли бы сохранить аксиомы 1', з', 4' амкественного евклидова пространства без изменений. В самом деле, если бы (х, у)=(у, «), (х, Ху) = Л (х, у). то Но тогда (Лх, Хх)=Хз(х, х); следовательно, в частности (гх, 1х).= — (х, х), т. с. числа (х, х) и (у, у), где у=-(х, были бы разных знаков, что противоречит аксиоме 4'.