И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре, страница 8

(е„, е„) отличен от нуля. Этот определитель называется определителем Грима векторов е„е„..., е„. Итак, пусть задано надпространство Я, с базисом е, ... е и произвольный вектор 1 пространства Я. Ортогональная проекция 1', вектора 1' на И, имеет вид 1,— -с,е,+... +с„е„. При этол, если базис е„е„..., е„ортогонален, то с;=((, е). Если же базис е„..., е„произволен, то коэффициенты с; определаотся как решение системы (11). Пример 1. Способ наименьших квадратов. Предположим, что величина у есть линейная функция величин х„..., х, т.

е. что у=с,х,+...-1-с х„, где с„..., с„— постоянные, неизвестные нам коэффициенты. Часто коэффициенты с„..., с определяются экспериментально. Для этого производится ряд измерений Величин х„..., х и у. Обозначим результаты й-го измерения через х,„, ..., х А и, соответственно, у„. Л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО ггл. г Коэффициенты с„..., с можно было бы попытаться определить из системы уравнений х„с,+х„с,+...

+х„,с„=у„ х„с,+х„с,+... +х,с,„=у„ (13) х„с +х с +...-1-х „с =у„. Здесь число уравнений и равно числу произведенных измерений и обычно превосходит число неизвестных (п) и). Так как измерение величин х„..., х„, у неизбежно связано с погрешностями, то система (13), вообще говоря, противоречива и о ее точном решении говорить бессмысленно. Поэтому уравнениям (13) можно удовлетворить лишь приближенно.

Таким образом, ставится задача разыскать такие значения неизвестных с„..., с„, при которых левые части уравнения (13) были бы возможно более близки к соответствующим пргвым частим. В качестве амеры близости» берется тгк называемое кеадратично уклонение левых частей ургвиений от свободных членов, т. е. величина л ~(х,гс,+х,ьс,+... +х Ас„— у„)'.

(14) А=1 Нам нужно найти числа с„с„..., с„, при которых квадратичное уклонение имеет наименьшее значение. Эту задачу на минимум можно решить непосредственно. Однако ге решение можно сразу получить из результатов, изложенных выше. В самом деле, рассмотрим п-мерное евклидово пространство и векторые,=(хин хам ...,х,„), е,=(хьн ..., х ), ... странстве. Правые части уравнений системы (13) являются компонентами вектора ), левые части — вектора с,е,+с,е,+...

+с е„. Выражение (14) есть, следовательно, квадрат расстояния вектора с,е, +с.,е.,+... +с е„от вектора ). Таким образом, условие, чтобы квадратичное уклонение было минимальным, равносильно следующей задаче: выбрать числа :„с„..., с„так, чтобы расстояние вектора г до вектора (,=с,е,+с,е,+... +с„,с,. было наименьшим.

Если обо- 4з~ НЗОМОРФИЗМ ВВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ 49 значить через Й, надпространство и-мерного пространства, состоящее из линейных комбинаций векторов е„еа„... ..., е„*), то задача состоит в нахождении проекции вектора1 иа это подпространство. Как мы видели (формула (11)), числа с„с„..., с„, решающие эту задачу, находятся из системы уравнений (е„е,)с,+(е„е„)с,+... +(е„, е,)с„=(), е,), (е„е )с,+(е„е„)с,+... +(есп е„)с =(1, е„), где в (г", е ) = ~х,.у; (ен еа) = ~хг х .

Система (15) называется в этом случае системой нормальных уравнений. Итак, приближенное решение системы (13) состоит в замене ее нормальной системой (15) т уравнений с т неизвестными. Изложенный метод называется способом наименьишх квадратов. У и р а ж н е н и е. Решить по способу наименьших квадратов систему уравневий 2с=з, Зс= 4, 4с=б. Решение. ес=(2, 3, 4), У=(3, 4, 6). Нормальнан система сводится в этом случае к одному уравнению: (в,, е,) с =(еь )). 40 29с=40; с=2— . 29' Для случая, когда система (13) есть система и уравнений с одним неизвестным х,с =- у„ х,с =у„ (13') х„с =у„, ') Мы предполагаем, что ранг матрнпы системы (131 равен и и, следовательно, векторы сь сэ, ..., с, линейно независимы.

!ГЛ. 1 и-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО решение запишется следующим образом: (х, х) вг х» а=, Приближенное решение системы (13') может быть истолковано геометрически как проведение через начало координат прямой, проходящей «возможно более близкоэ от совокупности точек (х„у,), (х„у,), ..., (х„, у„).

Число с представляет тогда угловой коэффициент такой прямой. Пример 2. Приближение функций тригонометрически ман многочленами. Пусть Е(Е) — некоторая непрерывная функция, залзнная на интервале (О, 2п). Часто бываег нужно подобрать тригонометрический многочлен Р (Е) данного порядка, воаможна меньше отличающийся от Е(Е). В качестве меры отклоне. ния Р(Е) от Е(Е) мы возьмем квадратичное уклонение, которое задается формулой ) И(Е) — Р (Е)1 йЕ. (16) Итак, точная постановка рассматриваемой задачи такова: среди всех травоиомгтричвсвиа много«ланов порядка и Р (Е)= — "+а, соа Е+б, ып!+...+а„сова!+о» з!п пЕ (17) 2 найти глот, квадратичное уклонение катарага от виданной функции Е (Е) минимально.

Введем а рассмотрение пространства Ет непрерывных функций ив отрезке (О; 2я). Скалярное произведение в этом пространстве зададим, как обычно, интегралом зя (Е й)=) Е(Е)й(Е)йЕ. о Длина вектора выражается тогда формулой г!))=~/ ~ У(Е)1 йЕ. о я следовательно, кзаиратичное уклонение (16) есть в нашем пространстве просто квадрат расстояния от Е(Е) до Р(Е).

Тригонометрические многочлеиы вида (17) образуют в ЕЕ надпространство )та 1 з) изомОРвьизм нвклидОвых пРООТРАнств б! рззмерности 2л+1. Нам нужно найти элемент из //г, находящийся на минимальном расстоянии от /(!). Зта задача снова решаетси опусканием перпендниуляра нз точки /(!) на надпространство К . Тах яаи фунхцви 1 сов! а1ц! сов и! Мп л! р2л ргл )'л Гкл )'л образуют ортогоиальный и иормированный базис в этом подпросгранстве (см. пример 2 предыдущего пункта), то решением этой задачи служит линейная комбинация базнсных векторов 2в ()== Х"".

(18) е=о где сг,=(/, ег,), т. е., вспоминая определение скалярного произведения, имеем: 2л 2л с = = д! / (!) дг; слч, = = ) / (1, соз й! й/1 2л с,а== ~/(!) ып У)д! (Й=1, ..., л). 1 Подставляя са и еа (у=1, ..., л) в формулу (18), мы приходим, таким образом, и следующему результату: для того чтобы опреде- лить тригонометрический многое.ын л р (!) — — +~ аьсоз И+уеа!и И 2 ь=! квадратичное уклонение которого от заданной функции /(!) мига!- малько. надо олредглипвь коэффициенты агь Ьа ло формулам 2л 2л 2л 1 Г ! Г 1 Г а = — ) /(!) д!! аа= — ) /(1) сов И й!! бь= — ) /(!) в!ил! д/. о о е Тан определенные числа аь, Ьь нззывщотся коэффициентами Фурье функции / р). 3.

Изоморфнза! евилндовых пространств. Мы рассмотрели ряд примеров и-мерных евклндовых пространств. Этн пространства отличались одно от другого во всяком случае способом задания векторов (тан, в примере 2 2 2 вектор есть совокупность л чисел, в примере 5 2 2 — много- член н т. д.). 52 1гл. » п-мягков проствлнство Возникает вопрос: какие из этих пространств действительно различны и для каких различие является лишь чисто внешним, т. е.

различны лишь способы задания этих пространств? Для того чтобы вопрос был точно поставлен, нужно определить, какие два евклидовых пространства мы будем считать лишь несущественно различающимися (изоморфными). О п р е д е л е н и е 3. Два евклидовых пространства 1» и Я' называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие х»-+х' (хай, х'Е»»') так, что: 1' Если х»-»х' и у»-+у', то х+у» — х'+у', т. е. если вектору хЕ»» соответствует вектор х'Е)»', а вектору у Е 1» соответствует вектор у' Е г('„то сумме х+ у соотевпствует сумма х'+ у'.

2' Если х».+х', то Лх»-+Лх'. 3' Если х»-+х' и у»-+у', то (х, у) =(х', у'), т. е. скалярные произведения соответствуюи1их пар векторов равны мелсду собой. Таким образом, евклидовы пространства )», н 1», изоморфны, если они изоморфны как линейные пространства и этот изоморфизм таков, что он сохраняет скалярное произведение соответствующих векторов. Если в каком-нибудь и-мерном евклидовом пространстве Й доказана теорема, сформулированная в терминах сложения, умножения на числа и скалярного произведения векторов, то эта же теорема верна и в любом изоморфном ему пространстве. В самом деле, если как в формулировке, так и в доказательстве такой теоремы заменить векторы из 1» соответствующими нм векторами из Я', то в силу свойств 1', 2', 3' определения изоморфизма все рассуждения останутся справедливыми, т.

е. соответствующая теорема верна и в )с'. Вернемся к вопросу, поставленному ранее. Оказывается, что имеет место следующая Те о ре м а 2. Все евклидовы пространства данной размерности и изоморфны между собой. Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем, что все и-ме риме евклидовы пространства изоморфны специально выбранному «стандартному» и-мерному пространству. Тем самым т зт йзомОРФнзм евклидовых 11РОстгттнстн 53 будет доказано, что все и-мерные евклидовы пространства изоморфны между собой. В качестве такого стандартного п-мерного пространства тт' мы возьмем рассмотренное в ~ 2 (пример 2) пространство, в котором вектор определяется как совокупность действительных чисел х' = ($„в„..., в„), а скалярное произведение векторов х'=-($,„5„, ..., $„) и у'=(т)„т)т, ..., т~„) задается формулой (х', у')=5,ч,+$.ч,+...

+в.ч„. Пусть нам дано какое-либо и-мерное евклидово пространство Я; выберем в нем нормированный ортогональный базис ео е„ ..., е„ (тты доказали ранее, что во всяком евклидовом пространстве такой базис существует). Поставим в соответствие вектору х =- В,ет+ рте, +... + ь,е, совокупность п чисел $„$„..., Е„, т. е. вектор х'=($„В„..., $„) из тт'. Покажем, что установленное соответсгвие есть изоморфизм. Это соответствие взаимно однозначно. Нужно проверить, что выполнены условия 1' — 2' определения изоморфизма.

Свойства 1' и 2' очевидны. Проверим свойство 3', т. е. равенство скалярных произведений соответствующих друг другу пар векторов. Пользуясь выведенной выше (стр. 42) формулой для скалярного произведения в ортогональном нормированном базисе, имеем: (х, у)=втп,+$,).+-.-+$.п.. С другой стороны, по определению скалярного произведения в пространстве )т' (пример 2 й 2) имеем: (х', У')=В,т)т+$,т),+...

+$„т)„. Таким образом, (х, у) =(х', у'), т. е. равенство скалярных произведений доказано. Теорема полностью доказана. Л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО [гл. т У яр аж нен не. Доказать зту теорему методом, аналогнчным доназательству в н. 4 $1. Из теоремы Об изоморфизме можно вывести интересное следствие: любое геометрическое утверждение о двух или трех векторах достаточно проверить в известном из элементарной геометрии трехмерном пространстве*). В самом деле, линейная комбинация этих векторов образует подпространство нашего пространства не более трех измерений.