Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров, страница 11

е, ~лучае, если соответственно равны их действительные и лгннмые части, ! = со лишь если а!=а, н Ьт= ь,, Из с= а-[-(Ь = 0 следует а = Ь= О. 1.4.!. 1.4 РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМУЛЫ (1,3-7) (!.з-з) и - 2ал . зал !' ! = с02 —.— +1 з1п— Р' — ! =сш и, ! (Шшпи .. (2а+П, +!'яп и п (1.3.8) (л = 1, 2, ...; й = О, 1, ..., л — !). В частности, рГ! =-е!, (1.3-9) ! 2л, . 2л — 1+ НГЗ соз" — +1яп — = 3 3 2 2т .. 2л — ! — П "3 . соз — ' — 1 яп — = 3 3 2 (1.3-10) — 1 л .

л 1+(агз осы--+! яп — =— 3 3 2 Рне. 1.3-!. Изображение немалекеных ~иееп течкзмн нли радиусами-векторами, Оен Ох н Од называются еоетаететзеине дейетаитеяь. ней и мнимой ееью. л . л ! †(!'з соз — — 1 в!и — = 3 3 2 Орй(УЛЫ лы. Если а, Ь и с — действнтель- (1.4-1) ,(а=Ох 1, 2, ...). 32 Гл ! злементдрндя АлгеБРА, ГеометРия и трнгонометрня !Л.2. Сложение и умножение комплексных чисел удоваетворяют правилам пп.

!.1-2 и 1.2-1, причем (1 3-2' ) Нпьз ! Ипза ! Нп а= 1 !ап 1 (л — 0 1, 2„,.); 1 с -ь се = (а, и аз) + ! (Ь! е Ьа), с!се =-(а,а,— Ь,Ь,)+1(а!Ь,+а,Ь(), с! и, -, ~ад (в,ггы Ф Ь,В,! -(- ! Ш,аз — а~бе! ( 0) ) с,-(-.",='с,-! с,, с,с!=с,с,, (с((са)=с!1са(сзФО), с=с, с -ь с в — е а=-Вес= —, Ь=1шс= —, 2! Класс всех комплексных неез еадерж.а «ории всех алгебранчеених ) раенений е «омппеисиыми нозффиннентамн н акаю ~нет е себя дейетеитеаыиае числа !.3-2. Изображение комплексных чисел точнами нли радиусами-векторами.

Тригонометрическая форма комплексного числа (см также п. 7.2-2). !(оыплексиое число г=х+!у удобно изображать точкой (г)ю(х, у) нли соответствуюшим радиусом-вектором (пп 2.1-2 и 3.1-5) на иомвлеисной плоскости (рис. !.3-1). Оси Ох и Оу (в прямоугольной декартовой системе координат) иазыиа!отса соответственно действительной и мнимой осью.

Лбспнсса и ордината кзждои точки (г) изображзют соответственно действшельпую часть х и мпиму(о часть у числа г, Соотсстствуюшие полярные координаты (п. 2.1-8) , г ( — )Г ха ! уа = 1 гг =) г ',, (1,3-4) (р Агйг, 12 !р — "' (х чь 0) называются модулем и аргументом комплексного числа г. О(метим: х=г сов(р, у=г яп1р, (1.3-5) г=х+!у=г(сов!р+! зш ф). 1 Модули комллвксне(х чисел удовлгтвоояют сооя!но. имниям (1.1-4) — (1.1-6).

Если г — действительное число, то его модуль , 'г ! ра. вен его абсол(отной величине (п. 1.1-6). е Лргуменг комплексного числа г определяется с точностью до слаг 2йл, где Ь вЂ” любое целое число. В качестве славного значения Агйг обычно выбирают зиачение, о ленное неравенствами — и < Лгй г хм и. Главное значение аргумента г с чают (срез агйг. При прннязом условии агйг — агйг.

е Для л!Обых двух мпож"ств (действительных или) комплексных чи; аа, ..., ап и Оы 62.. ! п а.!), ) ш зх, а, а ~ ( р;,г (нврааснсямо ((ошы — Буняхбввншо) (см, также пп. 14.2-6 и 14.2-6, а). 1.3-3. Представление суммы, произведения и частного. Степени и Сумме комплекспь!х чисел соответсгвуег сумма соотвстствуюших ради аектооов (си. гакже п. и, 3,1-5 и 5.2-2). Если даны г, = Г! (соз !р, + 1 и га —— — Га (гоз (ах+1 Яп фх), то 2!22 —— Г!Гз (соз ((Рз + 9)а) +1 в!п ОР( +(Р )) а Г --'= — ' (сов (гр, — (рх)+! яп Ор, — (р,) ~ (г, 0) гх'= Г ' (соз (р+ ! 31П (р)п= Гп (соа л1р+! яп я(р] (и — целое число) (формула Муавра), Случай, когда показа(елп степени комплексны, сы.

в п, 21.2-9. пх Если п — латура.аьное число и с-ко!лплсксное число, то у с (корень л-Г( сгепсап из Г) ссгь решен»е уравнении гп=с. Пои С~О сушествует ровно и рз яичных корней л-й с! пени из с, Они Определяются формулами п — п — Г Ф гйл, О(шл) у с =!'(с!!соз ' +!яп — ' и и гдс РГ(с! — арифметический корень из положительного числа ( с( (п. 1.2-1), ф=.агйс и Ь=О, 1, 2, ..., л — 1.

Отметим, что 34 ГЛ 1 ЭЛЕМЕ<ИАРИАЯ АЛГЕБРА ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОИОМЕТР11Я 1,.1.9, Если и †люб натуральное число, то аа Ьи [а Ь) (аа-1» ав-вд ! ) ада-э» Ьп-!) (1.4-4) Если и — четнае положительное число, то аа Ьп (а+Ь) (ап-! — аа-вЬ+ +ада в Ьп-1) (1.4-5) Если и — пгчгтнов положительное число, то па+ Ьп — [а+Ь) (ав х ац — вд+ айп-х+ Ьа-!) Отметим также (1.4.6) „, + вдв [ Ьэ (аэ 1 ад .! Ьв) (ав — ад + Ь ). 1А-2. Пропорции. Из а: Ь=с: г( или а/Ь=с)г( следует: (праизваднвм пропорции).

(1.4-7) В честности, а-э-э г-!.д а — Ь г — д Ь = д * а+Ь г+а' (1.4-8) 1.4-3. Многочлевы. Симметрические функции. [а) н ) М огочлен (целан рациональная функция) относительно х„х,, ..., х„ !г Ь !г есть сумма конечного числа членов вида ах>>х,в...х„", где каждое Ь есть ' Ь +...+Ь, неотрицательное и р ьное пелое число. Наибольшее значение суммы Ь> —,— в+...+Ью ч а.

яком-либо из членов, называется степенью много лен . Миогочлев называется однородным, если все его члены имеют одну и ту же степень (см. также п. 4,5-5), <Ю ээаючв ьм ви атпаситвльнох, х, „,, х называется снмме р, с т нчвским, если дия вэсбо- га миаэгествв эввчеиий лр х ..., х эн, ° энвчеивв этого инагачввна нв нэчвнявтсв при какой ,..., х (ээа определение распрастраняется и иа любые функ- угадиа пврестанавкв х, х, ..., (ээа ции ах х, х ...., х„ „) Элементарными симмвтрнчвсвими фуивциимв ат х, х...„, х иаэыввются миагаэввиы,, ...,, а 5, 5, ..., 5, определяемые слвдующии абрахам; 5,=х,+х,+...+х„, 5ввл хлэ+хэхэ+..., 5ээд х «эхэ+х «эх + -, 5ээтв «Ыэ."хп а! умма всех О = праиээедвннй, нвждвв нэ иатарых сацвржвт й гдв 5 -есть сумма сэх „= „',, э в и иидгксаыв, Каждыд гамигтраэыхаа иивгавэгн самиоэкитвхвй х, е несовпадающими нн ек т быть гдангэввгинмм образом записан хах внвгвглги втжгаимвэна х,, «э..., х„ивжгт мтв г и а, 5...

5„; коэффициенты этагв навага мнагачлвна иввяютсв алгевэанвгааэгхвыэ а, 5... '; квэффи браячвсвими суммами цвхачйсввээных кратных д ва анных иаэфйицивнтав. , х ..., х иажглэ шакхгг Каждая гимагтРаэ гхай мввгвээги втывгиэихэнв хь хэ, ..., х и бжвв вираж и ках ххэгв«хгх в в хгх вгпхвгищгхэнв хаигхквгв хагж сиимгвэрачггхих фаххааа и ь <1,4-!91 (Бинам )т'э<омона для целочисленных показателей и; см. так.ке > и.

21.2.!2.э Биномнальиые коэффициенты С'„подробно рассматриваются в и. 2!.5-1 (а-(-Ь-(-с)э=ав+Ьэ+св+2ад+2ас+2Ьс! ав — Ьэ=(а+Ь) (а — Ь), (14 ) аэ+Ь'=[а+<Ь) (а — (Ы. ) 1.5. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Еэээээээтрвчэскиэ функции <9) и <10> связаны фврхрэахи Лвюаэвиа э,— э 5 +э 5 —... +«-> в 5Ь + < — !> Ьл =О <э<а>, и-) ь э э! 5)+ эй Э5 — „.+ ( — 1) эй 5„=.0 <ь) а) <сц, твкжв и, 1,б-4), Заметим, чта в саатнашенив <11) в явнам виде нв вхадит и. <1,4-11) 1 5 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1.5-1. Определение.

Определитель (детерминант) ам а, ... а)в 1) бе! эа. ) 11 вв " "вв . М вЂ” '"- <1.5-1) ав! а„э ... авв Определитель В можно следующим образом вырззнть через элементы произвольной его строки или столбца и нх алгебраические дополнения: !э а 7) э бе! (а ь) = ~ арА; = В~~~~ ар А ь (1.5-4) 1=1 Ь=< ()=1, 2...,, и) (разлахсемае по столбцу ахи па строке).

Отметим также, что а ~ а>АН = )~~~ аМАЫ=О (У Ф !). (1.5-5) ! = 1 4=1 1.5-5. Примеры. Опрвлеэитэви втарага и третьего иарвдка; аы аы и а ~ = «ээаээ — аыаю <>.б-б) ам аэ, аэ,~ ээ аю = аыа„а,э-аыа,эаы+амаээаээ — аээа,эаээ+аыаээаы— аю а а аэ аээ аэа -аээаээам = аээ <аээаээ-аээаээ) — аы <аэаэ — аээаээ)+аю <аыаээ — аыаээ)= .=аээ(аэ аээ-аээа ) — аа <а эаээ-аээаю)+ам <аээавэ — аээаээ) и т, д. <157) 2* ! задратной таблицы (матрицы, и. 13.2-1) с и' (денствнтельными или комплекс- ьээ>!и) числами (звементдмн) а;ь есть сумма и! членов ( — 1)" а<в аэ! ...а в, <В1 Э!гв"' "Ва гп.кдый из которых соответствует одноиу пз и! различных упорядоченных и:<олчестн Й<, >ю ..., Ьв, полУченных г попаРными пеРестановками (тРавс- <,ознциямн) элементов пз множества 1, 2, ..., и.

Число и есть порядок опре- дсзэлеля (!). фактическое вы шглэннв апрвдээвтгяя па вга авеиеитвм уаращввтсв с паыощью п.э. ! 5.1 и 1,5-5,а. Отметим, па л а <О Р 1 1 мхи ! а<<, (* <игравгпгтэв Л захара), тг чт <1,5.9) г = 1 ь = 1 !.5-2. Миноры н алгебраические дополнения. Разложение определители ПО СтрОКЕ ИЛИ ПО Стапбцу. (ДОПОЛННТЕЛЫ!Ый) МИНОР 0»г ЭяЕМЕятэ аы В ОПРЕ- делителе и-го порядка (1) есть определитель [и — !)-го порядка, получа- ю<цийсч из определителя (1), если из него вычеркнуть 1-ю строку и Ь-й стол- бец.

Алгебраическое дополнение А;ь элемента а;<, есть коэффициент прн ам в разлад<енин определителя О, ялн . А!А=( — 1)!4Я О<э=в (1,5-3) м !.Б-а. бе! [а!») бе! [Ьп,] = де1 ~ ~ а,.Ь 1, — — де! 1 ~=-! ! и жз ,~ аг(Ь»7 у =. ! = де! ~ ~ а,Ь ь (!.6-!О) [.г =1 (!.5-Н! О О . О гдг числа п 1!оп»до« "11 "12 11 н22 Пример. аы+ аа„атз ... а щ а„+аам а„... алп а,ь аг, ... ал, ам а„... апз ан аы ...