Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров, страница 13

=О, Эта теорема ыожст применяться поэторно н дает простую рекуррептную схем , хем!У, полезную, наприыер, при исследовании устончизостн. Если один из козлик о-»уфнциеитов а('1 равен нулю, то метод усложняется. !.7. РЛЗЛО>КЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ 1.7-3. Гл 1. Влементлрнля ллгецрл, ГеОмеГРия н триГОИОЛ!етрия !М.О. *К и те и й Л ьен а р а — Ш и пара. Для действительного уравнения(2) ни имеют отпицатгльную дейстс положительными коэффициентами все кор Т. с чгтнмми индексами, или сшчельную часть, если положитгльны ила все 7;. всг Т! с ншштными индексами. (Более обгцаз формулировка этого критерия приьедена в ', .

].) э (с) Отделение действительных корней.' р ей п авила знаков Д а Ч ло положилмльных корней действительного алгебраического уравнения (2) либо равно числу Лл Гыремен знака в последовательнее коэффициентов, причем коэф4ицигнтьл, равные нулю, не учил)ываются, лабо меньше числа Л/ на четное число. Если перемен знака иет, то уравнение (2) повожительных корней ие имеет: если есть одна перемена н . еиа знака, то имеется в точности один положительный корень. рименяя э , П яя эту теорему к [( — х), получаем аналогичную теорему для отрицательных корней. (б) Отделение действительных корней: верхняя граница действительных корней (пп.

433). 1) Если первые Ь коэфдвйствитсльноео алгебраического уравнения (2) нси льотрица)пельны (ал — е ь (а -первьй отрицательный коэ4фицивнт), то всв полок тг ь ныг корни уравнения (2) (всли они есть) меньше, чем !+ у й/аь, где у — наиболыиан из абсолютных величин отрицшпельных козф4«цигнтов.

Применяя эту теорему к /( — х], можно таким же образом получить нижнюю границу от рицательиых корней. а 2) Если при х=с многсчлен [(х) и его проиэводныс /' (х), /" (х), ... „„](и) (х) (п. 4.5-1) принимают положитгльныс значгнцч, то с является вгрхней границей дсйтпвитгльньы корнгй уравнения (2), а (е) Отделен не действ и тел ьн ы х кар ней: те о рема Ролл я . 4.7-!0). П оиъюдная (и. 4.5-1) К (х) действительного многочлено [(х) имеет нтетное число двйствиллвльных корней между двумя соссд .

ними дсйснмшлгльньыш корнями много«лена [(х). и ь «ь — эа соседних дебета«тень«мх корня уран«е«иа /' [1) =О и пусть Па) ю = О между а э Ь л«бо вовсе ие имеет де«стэ«тельэыткор«еп, з р «ь э ааз«с«мост«от того, будут ли часла / (с) ил«п отйвопсложиие знаки, Л«вль од«и дваста«тель«ыя «а большего корня «ли меэьше «ьреиь урааэе«аа /[х) = О может о«а«этьс» ольшс «а« иайменьшаго корня уран«с«и« /'[х) = О.

(1) Отделение де йств н тел ь вы х ко р не й:те о рема Б ад а па†Ф, П Л/( ) — число пвреллвн знака в последовательности значений , Д ( ), [" (а),., /"'(х) для любого действительного алгебраического уравд! 2). Т г осло действительных корней уравнения (2), эаключенных меж у дв мя вйствительньлми числами а и Ь ) а, нг являющимися корнями уровне ния (2), либо равно Л/ (а) — Л) (Ь), либо меньше Лл (а) — /у (Ь) на четное число. При подсчете Л/(а) члены последовательности, ровные нулю, вычгркиваюп!ся.

Если и ]н [Ы~ О, то[л['(Ь)заменяю!лен на ( — 1)1 ' эйп [и' (Ь). э ко «еа аа«сэва (2), э«илюши«мх между а и Ь, «счетно а и / ф) иметь прага«оп«дойные «ли ил«четиа э зависимости от того, будут аи (а) и ади«а«оные знаки. (й) Отделение действительных корней: метод Штурма. Пушпь для данного двйствшпельного алгебраического уравнения (2) без крптньос 1.6-2) Л) (х) есть число перемен знака в последовательности значений многочлснов (члгньь сбраи[алощиеся в нуль, нс учитывалотся)л [э (Х)=[(х) ь (Х) [1 (Х) )э (Х) [! (Х) [ (х) у1 (Х) [г(х) (э( ) 1 6 /, (Х) = Уз (Х) [э (Х) — !4 (Х) еде при 1) каж 1 д ' 1 дый многочлен / (х) ешпь взятый с коэ44ицигнтом — ! остах 0 ток (п. !.7-2), полрчасмый пРи делении /;, (х) но Д 1(х); ллнотчлен .[и (х) ф еапь постоянная Тогда число дейспмитгльнь, й, н,на ных мглсду двулт дсйствшнельными числами а и Ь)а, не являюи[имися кор.

няки уравнения (2), равно Ал (а) — П(Ь). Метод Штурма пр«ме««м и а том случае, если дл«удсбстэа вычислений ~ла«ея-либо иэ мэогочлеэаэ /,(х) а аписа«аом выше процессе эамеа«ть мэотачле«ом Р( [х) = );[х)/Ь Ы) гд Л (х) — поэож«тель«а«постоянная ил«многа«де« ат«ос«тель«а х. положитель«ы« при а ~ к ( Ь, э остаэшиес«много ьте«м получить, исхода «э р.(х), а «е иэ / (х) 1' ! Падоб«Ую же апеРацаю можно ««оаь пРоделать над любым «э маогечле«ьэ Р (х) «т Д есл«ура««ение / ы)=О имеет к р а т э ы е кер«и, то / [х) и/ (х) «мект сбщ«а делитель (П 1,7.Э) В ЭТОМ СЛУЧас МИОГОЧЛЕЭ /а(Х) Иа ЯВЛЯЕТСЯ Пьета«а«аз, «М(а) — Ы [Ь) ЕетЬ ласло «ьр«еа эежду а и ь, пр«чем «аждыя «Рат«ма корень считаетсэ только один раэ.

1.7. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ И ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДРОБИ 1,7-1. Разложение миогочленов на множители (см. также и. 7.6-6). Если многочлен р (х) может быть представлен в виде прои. ведения миогочлецов [1 (х), [э (х),..., / (х), то эти многочлсны называются множителями (делителями) мпогочлена Е (х).

Если х=х, — корень кратности т произвольного множителя ]! (Х), то ои является и корнем кратности Л[) т многочлепа р (х). Каждый (действительный или комплексный) много«лен [(х) степени и относительно х может быть единствеяныл! способом представлен в виде произведения постоянной и и линейяых множигпглей (х — аь), именно а [(х)ыаэх«+а!ха 1+...+аа лх+а«юаэП(х — хь), (1.7-1) Л=[ где ха — корни многа!лена [(х); корню хь кратности ть (п. 1.6-2) соотвгтс(п- вуетта множителей (х — хь) (теорема о разложении миогочлеиа н а м но ж и те л и).

Каждая пара мно)кителей [х-(па+ива)] и [х — (аь — иоь)], соответствУюгцаа паРе комплексных сопРЯженных коРней ха=-аа+лю и а Хь=аа — /Шь (СМ, таКжЕ и, !.б-ба), МОжЕт бнтЬ Обьслнисна В ДсйетантЕЛЬНЫй квадратный мно)китель [(х — аь)'+ лоьЧ. 1.7-2. деление многочленов. Остаток. Частное р (х)//(х) от деления много- члена р(х) степени Ал иа многочлен /(х) степени и(/у могкет быть представ. лена в виде ь (),) Аллы 1 л,х)ч -1-...

+Лм ](Х) алх" -1- а,х" ' -, '. ..[- аэ =:(Ььхн-"+ Ь х / "-'+ ... +Ьм-и)+ — '„(1.72) где остаток г) (х) есть многочлен степени, меньшей, чем и. Коэффициенты Ь ь и остаток гт (х) определяютсп однозначно, например с помощью процесса деления углом (алгоритма деления).

Остаток г,(х) отсутствует в том и только в том случае, когла много- члеи [(х) является делителем (п. !.7.1) многочлеиа р (х). Остаток, получаемьлй при делении ллобого многочлена [(х) на (х — с), раьсч [ (с) (теорема Безу) 1 7.З Общие делители и общие «ории дау» мносочаеноа, если м«ьгачлеи я [х) ««ласте« общим делителем (м«омитеаем) м«огочлеэоэ Р (х) и / (х), то его кар«и «ад«ются ьбшич«кори«ми эт«х масгочле«оэ От«ошеи«е [1), каи «числовую дробь, можно сокра- тить «а любо« об~и«а миь ««тель чисаитела «эиаме«ател«.

Миогоч чеэы Л (л) = А,х)Ч вЂ” Лх -[- ... пь ЛХ /(х) =члх „ч," +...+а и, и !.з-з. и (Г, )).—— Лй) ! Ам О Айг 1 ЛМ О Аз А А О А, А, Лз Ам 1 Ам О О О Лз А, Л, „, о е О л-1 л ол — ! ол О ае о, о, О о, о, аз с, оз ° ггл т„ О.7.3) (разую таит много ьчевоз Г (.с) сзвдлио оресты Нысст место формула м л 1)пппб.

Р)= — Ало~ П П (а,,-д!), г=-! 1=! Л (Гч 1) = (— (1.8-3) (1,8-4) где А= )у — —.! )у'() (1.8-() 42 гл, !. Влемрнтлрндя Алгегрй, геометр !я и тригонометрия !.7-1. ют о к агией мере одев об:дий корень (п, такам озразом, общий лелнтель иену- левой стегани) в том и только в том случае, если определитель и р д и ! (ди раасн нулю. П протвино» сдучае Г (х) п ! Ы) -а а. н 87 — соответственно корни л (з) н ! (х). гда ат н б, бшг велиглсла (общий множитель наибодьшсй степени) миогочленоз шт быть г' ( еделен однозначно с тонностью до постоянного мвожнтела и чож иай ен следующйм образом, делим 7 (х) не г, (к), где г, (г) определен формулой ( . - ] !.7-2 получасы остаток г, (х).

Затем делим г, (х) на получившейся остаток г, (х) и продолжаем л р, пока некоторыи остаток, скажем, гй (х), не окажете» разным нулю тогда остаток г), г, у к г (г), умноженный на произвольный постоянный миожвтель, н б дет искомым нан оль ы !большим общньг делителем. Если г, (л) .= О, то наибольшим общны делителем будет саи многочлен 7(х), 1.7-4.

Разложение на элементарные дроби. Любое отношение д (ХЦ (х) миогочлена я(х) степеви т и многочлена )(х) степени и ) т без общих корней (п. 1.7-3) может быть следующим образом представлено в виде суммы л элементарных дробей, соответствующих корил!в хь (кратности ть) много- члена 7(х): т„ ь 1=! й гг Е (д "ь) Ковффийиситы Ьв ма!хна нпйти сдним из следующих методов или хсв кол)би- на!(игй втиг методов: 1, Если п!э=1 (хь — простой кореиь), то Ьь)=д(хв)77'(хь). 2, умножая обе части равенства (4) на 1(х) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенлх х в обеих честях полученного равенства. 3.

Умножал обе части равенства (4) иа 7(х) и последовательно дифференцируя полученное равенство. Пусть Ф» (х)=-7" (х)1(х — хь) — х Т а Ь, Ь, ... последовательно находлтся нз соотношений огда ьть»т„-! " д (хв)=Ь! ьфа (хь), й' (хь) = Ьйтьфг (хй) + Ьвт зфь (хь), йы (х!) =Ь„т ф" (хл)+2Ьйть !фа (хь)+2Ьвш,гр),(хь), й (ХЬ) = Ь)„„„гр Ь (Хй) + и йбйтй- зфь (ХЬ) + ) х ! т)г (ть 1) Ьйтй-зфь (хь)+ ° ° +и!й(Ьвгфь (хь). (т), — 3) \ З ЛННЕН1!ЫЕ. КВАДРЛТНЫЕ. КУВ11ЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ 43 Влементарные лроби, соответствующие произвольной паре комплексных сопряжсцеых корней аг,+!шг, и ач — йо(, прзтностп ть, обы(но соедш!яются в к -1- с'1, д-ьвв, "' ((х — а),)зжшЦ ' 1(х алЯ+шьзг) ((х — ай)з-)-гг)з1тй коэффициенты сь в дг, могут быть определень! непссредствевно описанным Оыше 1(стадом 2.