Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров, страница 10

Наиболее важпыс определения и формулы, спениальио выделенные лля наиболее бысгрого их обозрения. 2. Основной текст, состоящий из окатого и сия»восо остра основных рез) льыпоз. 3, Более детальное обсуждение допели~«тельных вопросов, выделенное мелкам шрифтом. При таком построении включение этого магернала не нарушает сзруктуры основного изложения. Главы с 1 по 5 дают обзор основного курса колледжа *) по алгебре, аналипссы чсстсп геометрии и анализу; глава 4 содержит таюлсе изложение интегралов Лсбега и Спзилтьеса и рядо и интегралов Фурье, а глава 5 — вгнзпарнззй анализ.

Главы 6, 7 и 8 посвящены кривалинеиньслг квсрдссяазпилц функция.и квлспленснагв переменнсгс и преобразованиям Лапласа. разбавлен навык материал по квн чяым интегральным преобризввонстм и г превбраеозаншь. В главах 9 н 1О излагаются абьсннсвеяные дссссзференциальяые уравненил и драчягяия с частньмш производя»с»«и, включан мел«оды интегральных преобразований, лсетад харвнпсерисппш а теаршо потенциале; проблемы собственных значений тракту«отея в главе 15.

Глава 11 существенна нзмениласьи в дополнении к обычной егории вкстремима " класси еского вариас1иаяясга иасисления здесь добавлены разделы по лиягтюиу '1 Лза срсмерьс с«с«с.с«с»у с осч .су курсу м«ссмзтнка, изучаемому» мзсзи. ьзуззх, гарин Пз ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ АМСРИКАКСКОЛ!У ИЗДАКИЮ и нелинейному лрограммироеанию, теории игр, теории антил!а,гьного упраелснил, принципу максимума и динамическому программированию. В главе! 2 вводятся элементы современного абстрактного язьжа и описывасшя конструкция мателгатических моделей, таких, как груши», колы(а, поля, еекпшрные пространстяа, булеэы алгебры и метрические пространстэа. Изучение функциональных пространств, продолженное в !4.й главе, позволяет расширить применение ме!охов функционального анализа к краевым задачам и проблемам собственных значений в главе !б. Разделы, имеющие дело с более специальными темами, не претендуют иа полноту; их цель заклгогается в том, чтобы познаконить читателя с сущностью определений и побудить его к чтению современной специальной литературы.

В главе 13 рассмотрены матрицы; здесь добавлены новые пункты по матричным методам решения сисгпем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и по теории устой«тости Лялун(на. В главе !4 рассмотрены линейные секторные пространсгпеа, линейные преобразоэания (линейные оператор»(). задачи о собс(пеенных значениях и описывается применение матриц для пргдстаэхения математических моделей. Дополнен материал по предсгпаехению вращений, в связи с сто важностью для физики. Главз 1б содержит изложение ргзделов, связвняых с проблемой собстеенньт значений, включая зада~у Штурма — Лиугиллч, краевые задачи для двумерных и трехмерных областей и линейные интегральные уравнения.

Главы !6 н 17 соответственно касаются тензорного анализа и дифференциал( ной геомелгрии н включают описание плоских и пространстэенньгх линий, поссрхностей и кривизны простронспыа. В связи с иозрастающей ролью статистических методов глава 18 представляет довольно детальное изложение теории вероятностей и включает заноно написан. ное введение и »аварию схучайньгх процессов, корреляционных функций и спектрот Глава !9 касается важнейших методов магпематической стапшстики и включает подробные таблицы формул, описывающих специальные выборочные распределения, В навои главе 20 расспотрены конечно-разностные методы и разностные уравнения и изложены основные мепюды численного анализа.

Глава 21 представляет по существу собрание формул, описывающих свойства высгиих трансценденттчх функцш1. Авторы надеются и верят, что эта книга даст читателю удобный повод детально позпаколппься с матемапгческимн методами и таким образом расширить свой кругозор и взглянуть на своп специальные знания с более общей точки зрении, ГЛАВА 1 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ (ПЛОСКАЯ И СФЕРИЧЕСКАЯ) 1,1. ВВЕДЕИИЕ. СИСТЕМА ДЕЙСТВИТЕЛЪНЫХ ЧИСЕЛ Действнтельное число 0 (нуль) обладает свойствами а+О=а, а ° 0=0 (1,1.2) дли каждого действительного числа а. (Единственное) противоположное число — а и (единственное) обратное число а г = 1уа для действительного числа а определяются соответственно так: а+( — а) =а — а=О, аа 1= ! (а ~ 0).

(1.1-3) Лс.1ить но нуль нельзя. По«ге»гэ «ээгсбрээческпх» свойств (1), клесс положительных целых, нхэ э»тур»льни». чисел 1, 2,... обладает сэайствэи упорядоченности (п. 12.6-2; э бээыпэ. гэи» т, эшт, если э= г —,х. где х — некоторое пэтурэльнээ чисэа) и полной упорядэч»э»эсть (кэыдээ эеп)стае множество натуральных чисел имеет ээнмэньшиц элемент). т»э»»ттээ нээ эрэ»ы 0» ««ге», «»герт»э» число 1 и д»х чэждэгэ иэ г»ээх эюэч»«тээ и г"эре г(эе ээ нэм элэнэпт и+1„«эзер»кит эсе нэтрратчнэ «ьг»а (и Р и и ц и и и о хьэдукцкэ).

с»ээээээ ээтурэлыгых чпсеэ могут быль выведены пэ ояти авеном пецпр: П 1 сеть иэгурээыгээ чвсхэ; 2) дээ квжд»го натурального числа Ж суэ(естэует един«гэ»эиоь следу»»шээ ээ вви э»гур гэьэээ числа 5(эи 3) 5(э)Ы11 4) вэ 5(п) = 5(т) следует н =-»п " И ч'гььт нэ«гэ пр пй(эп пээээв индукции. (прп егэ формулировке элемент, «Кээдуюшггп ') Си. тэкжэ пэдстрэгкэе примеч»рве к и. 12.1-2. ) тернии «Л й)ггэч В (пэ ээгхэагкв уээб)эг») оэвэчээт, гто нмэгт несть эли Л, или В, элэ Л и В ьиес;э.

Вгэт тернг;э'п(;ггчеггяетск в д.'льэейшэн очень часто. 1,1-1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ. Эта глава посвящена алгебре') действи- тельных и комплексных чисел, т. е. изучению тех соотношений между дейст- вгпельными и комплексными числами, и которые входит кояечное число сло- жений и умножений. Уравнения, основанные на таких соотношениях, рассмат- риваются здесь даже и в том случае, если при фактическом их точном число- вом решении нельзя обойтись конечным числом сложений и(или умножений*). Определения и соотношения, изложенные в этой главе, слу)кат основным ору- дием во многих более общих математических моделях (см.

также п. 12.1-1). 1.1-2. Действительные числа. Сложение и уыпожение действительных чи- сел обладзют следующими свойствами. Если а в Ь вЂ” действительные числа (алгебраические, рациональные, целые, положительные целые), то таковыми же являются а+Ь н аЬ (замкнутосгпь), а+Ь=Ь+а, аЬ=Ьа (комму(пативность), а (Ьс)=(аЬ) с=аус а ° 1=а (единица), а (Ь+с) =аЬ+ ос (дистрибутивное(пь), из а+с=у-,'-с следует а=Ь, из со=об, сфО, следует а=Ь (сокращение). 31 1.2. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 1,3-!. о= Нш [1+ ! ) =2,718261828." л елг (1.2-10) л(л+ 1) 2 (26 — 1) =по, 2=1 (1,2-1 1) ле(л+ 1И 'д, "йо= о о=! (22 — 1)о = по (2 по — 1) о=! л Х ! л ь(о+О л+! л+! о=! Бесконечные ряды см.

в 4,8. 1.3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Отиетнм: (1.2.16) (1. 2-17) ГЛ !. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ !Л О Особый интерес представляют десятичные логарифмы с основанием 10 п натуральные (лепероаы) логарифиы с основанием е — трансценл ентное число, Логарифм 1ол, а обозпачаетси символом !па, а 1ой а — символом 18 а. Отметни; !о 1па= я =!п10 ° 18а=(2,30259...)18а, ~ !н е !Я а= — "' =18 е ° 1п а=(043429...) !па. ~ нг !о 1.2-4. Факториалы. Факториал п) произвольного целого числа п)0 определяется формулами: л 01=1, п1= Ц 2=1 ° 2 ° 3...(п — 1)п (п) 0). (1.2-12) о=! В п.

21.4-2 приведены приближенные формулы для вычисления факториалов М при больших п. 1.2-6. Обозначения сумм н произведений. Для любых двух целых чисел (положнтевьных, отрицательных илн равных нулю) и и ттап т ~ а ==-а +а«+,+...+ат +а (т — и+1 слагаемых), (1.2-13) Ц =:=а а ...а а (т — и+1 множителей). (1.2.14) ТТ а о= л г«гл' лг лг т т' г«' г« аыел Ч~~ ~~ аон Ц Ц а,. = Ц Ц ани (1.2.15) 1=па=«' О=л'1=л ! «а=л' О=л'г=л Бесконечные ряды см. в гл. 4.

!.2-6. Арифметическая прогрессия. Если а — первый член, а д — настоянная разность между следующим и предыдущим членами, называемая разнос!«ого прогрессии, то а,. = ао -[- )е( (] = О, 1, 2,...), = гза '= (2ао+п )= 2 ( о+а«) л+ ! л г 2 (=о 1.2-7.

ГеометРнчесиаа пРогйессин. Если ао — пеРвый член, а г Ф 1 — постоан- ное отношение следующего члена к предыдущему, называемое зламенатсим прогрггсии, то а =лог)(1=0, 1, 2,".), а;= (1= О, л л ! гл+! л — л е зллл Я а = ~Н~ аог)=ао 1 „= ! — г ° 1=-о )=о - 0 бесконечной геометричесхоеи прогрессии см. п.

4.10-2. 1,2-8. Некоторые числовые сумиы (сы. также [4.6]). л л Х йо «1«+ !) (2«+ !) ~т 2 1)о «Нле — Н з а 1 а ! (общую фоРмУлУ для сУмм ~ йм см. в п. 4.8-5 6). а=! Х 1 ! 1 1 1 2 12-1- О (О+2) 2 [! 2 (л-1. Н 1«-Ьа)~' 2=1 1.3-1. Вводные зшаечания (см, также п.

7.1.1). Комплексные числа (иногда называемые мкимыеги числами) не являются чнсламн в олемснтарпом смысле слова, применяемыми при подсчетах и измерениях. Опи составляют новый класс математических обьектов, определяемьш описанными ниже свойствамн (см, такгке п. 12.1-1). Каждому комплексному числу с можно поставить в соответствие единственную пару (а, Ь) действительных чисел а и Ь и обратно. Суима и пронзведенпе двУх комплексных чисел с, — (а,, Ь,) и сз — (ао, Ьо) опРеделаютсн соответственно следУюшнм обРавом: с, + со (а, + ае, Ьт+ Ьо) н г,го — (атаев — Ьтбо,а,Ье+аоЬ,). Действительные числа а содергкатся в классе конплексных '!поел в качестве пар (а,О).

Мниман единица 1, определяемая Условием ! - (О,!), Удовлетворяет соотношениго 12— (1.3-1) К- гюкдое комплексное число с (аЬ,) мажет быть записано в виде гул!мы с=а+(Ьдействнтельного числа а — (а,О) и чисто мнимого числа ьб — (О,Ь). Действительные числа а=-Ке с и Ь= 1ш с соответственно называются действительной частью и мнимой частью комплексного числа с. два комплексных !иола с = а+ (Ь и с = а — еЬ, имеющие одинаковые действительные н протнвоположн"е мнимые части, называются сопряженными комплексными числами. в той Два котгпленсных числа с,=.а!-1- 1Ь, н с,= а,.„'- (Ь, равны в тон н толыго т.