Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров, страница 15

1.10-! приведены выражения для радиусов описанной и вписанной окружностей и для площади некоторых правильных многоугольников. 1.10-3. Круг (радиус г). (а) Длина окружности 2иг, площадь пг-'. (0) Центральный угол, равный !р радианам, определяет дугу длиной ггр, сектор с площадью гаер)2, хорду длиной 2г яп (грг2), сегмент с пло!цадью гэ(!р — яп ср)12.

(с) Площадь между окружностью радиуса г, и заключенной внутри нев (не обазительно концентРической) окРУжностью РаДиУсз г, Равна и (г!+гт) Х Х (», — ге). 1.!0-4. Призмы, пирамиды, цилиндры и конусы. (а) Объем призмы или цилиндра с основанием Вз и высотой й равен й51, (0) Объем пирамиды или конуса с основанием В! и высотой й равен йбгг3, (с) Объем усеченной пирамиды или конуса с основаниями Вы 32 и высотой й равен й (В!+ у' В!Ва+ Ве)!3. (б) Боковая поверхность прямого кругового конуса с радиусом основа.

ния г и высотой й равна пг)' г' + )Р. !.10-3. Тела вращения (см. табл, 1.!0-2). 1,10.0, Правильные многогранники. В таблице 1,!0-3 приведены основные злсменты всех правильных многогранников. Таблица !16З Рить правильных многограниичов 1'!липа р бр ! Раппа а..ою ! егггаующве нисла и граней, л ге шпн и к ребер сг ".(апы торэ!улой Эйлера Н -1- !г — !1 =.. 2 ИЗ ;. О, У'и) У'з '-1гт !64 —" 1 Ь Х Ь' 5(5-Ьйр 5) .

!'-1Г ! Формула Яй-ера справедлива дла любого выпуилого нного!.Равнина !.11. ТРИГОНОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ !.11-1. Вводные замечания. Прямоугольные треугольники. Тригонометрия на плоскосзи опвсывает соотношения между сторонами н углами плоских треугольников в терминах тригонометрических фупкпий (п. 21.2-! — 2!.2-4); ааметим, что все плоские фигуры, ограниченные прямыми ливиями, можно рассматривать как комбинации треугольников. Так как каждый плоский треуголь- л ник можно разложить на прямоугольные треугольники, то наиболее важными тригонометрическими соотношениями являются соотношения между сторонами и углами д г=лт прямоугольных треугольников. Прямоугольные треугольники.

В каждом прямо- Ь угольном треугольнике (рис. 1.11-1) с катетами а, Ь и гипогенузой с: угольный треу! оль. А+В=00', ае+Ьа=ел (теорема Пифагора), ! яп Л = соз В = —, яп В = сов А = —, Ь с с' !3 Л=с10 В = а, 10 В=с!0 А= —. 5 Ь' а' 1.!2-!. 112 сшернческля триГОнометрия (1.11-4) ! - —,Г 2 р(р — о) (!.11-5) +Ьг 2 <д— В -!-С 2 Ь+о Ь вЂ” ь (1.1 1-6)  — С <й —, 2 (Ь+с) 3'.и —, = а соз А  — С 2 (Ь вЂ” с) соз =а яп:, Л .  — С 2 (!.

11.7) = 4)< згп — 31п — 31п — =р <Š—,- <й ° - 18 .. Л . В . С А В С 2 2 2 2 2 о ьб+ь А В С Р= 2 2 2 г = 47( соз —. соз — соз— Условна суШествоаанпп решеннв использованные Оормульь <Л+ В+ С= !ВМ) Даны (1.11-9) Сумма двук сторон должка быть больше третьей Л, В„С па (2) клн (3) 1 Трн стороны а, Ь, с =2)(з Ип А мп В зш С= о — =рг, 4Н ВА.С „А — ' — = 30" — —, 2 2  — С вЂ” на (3) нлн (7), затем 2 В н С; плм В, С нз (3) н (4): 351ПА (к В = —, с — Ь сот Л' а нз <3) плн <4) Две стороны н угол между ннмн Ь, с, А (1.11-10) Ь, ь мз (3): Л= !3Π — С Одна сторона н два угла о, В, С нз (3)! Ь Мп Л а мп В задача имеет одно реше нне, если Ь ь; два решення, если Ь( с, ее)п В (Ь; одно решение, еслн Ь (ь, се(пВ Ь; прн ЬШе, с а1п В ) Ь решеняя нет Две стороны н угол против одной на ннх Ь,с,В ьыпВ в!и С= Ь А = 130' —  — С ГЛ.

!. ЭЛЕМЕНТЛРНЛЯ ЛЛГЕБРЛ, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ !.11-2. 1.11-2, Свойства плоских треугольников. В каждом плоском треугольнике (рис. 1.11-2) сумма углов равна 180Е Сумма любых двух сторон больше третьей сгороиы, против большей из двук сторон лежит больший угол. Треугольник на плосности единственвыы образом определяется (с точност ью до преобразования симметрии): 1) тремя сторонаыи, А 2) двумя сторонами и углом, закл!Очеаным ыежду и ними, 3) стороной н двумя приле!кашами к ней углами. В кап!дом плоском треугольнике трн бнесектрвсы его утлое пересекаются в центре Ы вппсанной окружпостн. Трн перпендикуляра к его сторонам, проходяшнх через середины этна сторон, пересекаются в центре Г оппсаппой окруькностн, Трн пе. дианы пересекаются в центре тяжести б треугольннка Тря высоты треугольника пересекаются в точке Н, леькап<ей на одной прямой с точками Ра б, прячем Йб ! ПР= 2.

Середины сторон, основанпп высот к середины перваков, соеднняюшкх Н с каждой на вершнп треугольника, лежат ва одной окртжпосгн (окружяьсто детяти точек, охружногаы Фей!арбека). Центр атой окружкостп есть середнна отрезка НГ. 1.11-3. Формулы для решения треугольников. В нижеследующих соотношениях А, В, С являются углами, ле)кащими соответственно против сторон а, Ь, с треуголш!ика. Площадь треугольника обозначена через Б; )( и г являются соответственно радиусами описанной н вписанной окрук(настей, ар= = — (а+ Ь+ с). Табтвца ! !11 Решение плоских треугольников (Все остальные случан получаются циклической перестановкой.) Для того, тобы получить все формулы, необходимые для решения тре.

угольников, нужно произвести одновременную пиклическую перестановку А, В, С и а, Ь, с. Табл. 1.11-1 позволяет вычислнть все стороны и углы треугольника по определяющим его стороаам и углам. аз =ба+ с! — 2ЬГ соз А = (Ь+с)а — 4Ьс соз' — -(тгоуел!а сосилйгое), (1.11-2) з Л 2 о Ь е ап! В а!и с 27' (г"!соуса(а аннусов) (1. 11-3) с =а соз В лл Ь соз А (ашорсльа о просхйнлх) 3<п А = -)- <Р ь)'Р '), сов '4 = 1/Р (и — а) Ьь 2 Ьь г=(р — а) <й —,„=Π— Ь) <ЕЕ=(р — с) !Е-,,- А В С 5= —.аЬ 3<п С= — Ьс 3<п А = — ас Ип В= 2 Длина зысоть! да= — (.с рй ) Ьь 1 а= зй 2 о Длина багссктрусы ша= )тгбс(а-(-Ь-~-с) (Ь+с — а). 1 Длина медианы то= — Р'2Ьз-1-2с' — аа.

1 1. 12. СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ 1,12-1. кратчайшее с ведение. Сферические треуготьниан. На поверхности ша . б ра стоян11е межд) дву я точками намеряв.я вдочь 0 р)жно„! р ОЛЬШОГО К руга, т. е. окружности, плоскость которой проходит через центр явля<отса т шара (геодезической, п. 17.о-(2). Вершины сферического треугольника н сфе ячеек очнами пересечения трех лучей, выходящих из центра шара, сфер еской поверхности. Сторонами а, Ь, О сферического треугольника 112. сфернческдя тш!гонометрня 62 гл ! Влемрнтдрндя длгеерд, геометш!я н трнгономртрня !.и-к !.12-4. иазываюг те углы между лучами, которые меньше 180' "). Каждой стороне т еугольника соответствует дуга большого круга на ионерхиостн шара Р (рис. 1.12-!). Углы А, д, С сферического треугольника, противолежащие сторонам а, I Ь, с соответственно, представляют собой, по у определению, меньшие, чеи 160, углы между дугами больших кругов, соответствующими !У --- ---.

ранам треугот ика, или углы между -Ъ. А ' плоскостями, определчемыми даннымн луь чами. / ь В + 1 Сферическая тригонометрия занимается иэу- '1 чевием соотношений между сторонамн н угламн «фернческнх треугольников (например, на поверхности Земли н «а небесной сфере) Однако фианки н инженеры во многих задача» предпочитают вспользовать преобразования вращения (п.

14. 10-1), а ве сферическу>о тригонометрию !.12-2. Свойства сферических треугольииков. Каждая сторона и угол сфери')еского треугольника по определению меньРнс, !.12 1. Сфери>вский трет- е 160 Геометрия на поверхности шара является неевклидовой (см, также п. 17А)-13)! 0 360, аждом сферическом треугольнике сумма сторон заключена между 0 н 36 оль- умма углов ззключена между !80' н 540. В каждом сферическом треуг . ьнике против большей стороны леж>ш больший угол Сумма любых двух с оран т больше третьей стороны, сумма любых двук углов меньше, чем !30 плюс третий угол.

Сфс ический треугольник едннсгвениым образом определяегся (с точностью ч"=Р до преобразования симметрии); !) тремя сторонами, 2) тремя углами, 3) двумя сторонами и заключенным между ними углом, 4) стороной н двумя прилежлшими к ней углами. 3 а м е ч а и и е, Для каждого сферического треугольника можно определить большие крутя, играющие роль перпендикуляров, проведенных через середины сторон, биссектрис, медиан н высот.

Плоскости трех большнк кругов каждого типа пересекаются по прямой. В полной аналогии с описанной окружностью алоского треугольника существует описанный прямой кругшой конус, содержащий три прямые линни, определяющие треугольник; ось этого конуса есть арямая, по которой пересеиаются плоскости перпендя- е сынык через середины сторон. Существует также »писанина Орльоа круговой конус, касающийся трех плоскостей, соответствующих сферическому треугольнику; ось этого конуса есть прямая, по которой пересекаются плоскости биссектрис, «Радиус» описанной окружности н «радйус» вписанной окружности представляют собой углы, равные соответств оответственно половинам угла» прн вершинах первого и второго конусов если я — радиус шара, то плон(адь Вл сферического треугольника выражаетс фор- а мулой — Лэе )т = 0.12-1) где в — сФерический эксцесс (нзбыток)! в А+В+С вЂ” и, О .12-21 измеряемый в радианах, величина и = 2п — (о+ а+ с) называется с4юричесним дефектом, полярный треугельннк, соответствующий данному сферическому треугольнику, Оп.