Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров, страница 18

Другие способы задания прямой. Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде х=як(+х„, У=а„(+Уе (à — пеРемениый паРаметР); (2.2-4) при этом а кз — акуг акуг — и а=, Ь= (2.2-5) а ' ак у=в у ак аку„— а, кз .> ! (ак)з 1 (а )2 а сов 8= Ш )Г(ак)з 1 (ау)2 а з!ПО=в (2.2-6) "= Ь (ак)аж (а, ]2 ' Если знак корня выбран так, что р)0, то начало координат будет лежать справа от направления, в котором точка (х, у) перемещается по прямой при возрастании С 2,Уравнение прямой в отрезках.

Прямая линия, пересекающая ось Ох в то п(е (п, 0) и ось Оу в точке (О, Ь) (см. рис. 2.2-1): — -с ь = ! (а -г- О. Ь ~~ О). (2.2-7) Аг +В,у+С=О. (2.3-10) с! — с ж У А)4рп( (2.3-1 !) (2.3-12) хз ук 1 =О. (2.3-2) (2.3.3а) (2.3-3Ь) Аг Вх Сг Аз Вз Ск =О, Аз Вг Сз (2.3-14) !г+ чу+ 1 = о сизый (2.3-7) 62 ГЛ. 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НД ПЛОСКОСТИ 2 г-!.

Уравнение прямой в полярных коордиватах: р (А соз !у+ В з)п )р) +С = 0 нли р сок(гр — 6) = р, (2.2-3) где А, В, С, р и й имеют тот же смысл, что и в п. 2.2-1; р, !р — полярные координаты. 2.3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК И ПРИМЪ|Х 2.3-1. Точки и прямые. Расстояние б от точки Р, (хю уа) до прлмой А -1-В (-С=О, определенное по величине н знаку, мо'кет быть найдено по форм)лс Акв — 'Пр,фп (2,3-1) )'А»+ В* где знак перед радикалом противоположен знаку С.

Иногда б называют отклонением точки от прямой; отклонение положительно, ссли начало каординат н точка Ро(ха, уо) лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно, если по одну сторону. Три точки (х), ут), (хз, у») и (хз, уз) лежат на одной прял!ой в л;ом и )полька е том случае, если (см. также п. 2.2-!) 2.3-2. Две или несколько прямых. (а) Двв прлмыв А,х+Всу+С)=0 или у» й х+Ьг А»х+В»у+С»=0 или у=к,х+Ьк пересекаются в точке (Ь) Угол утз,нгждгу двумя пересекающимися прлмылги (За) и (ЗЬ) определя. ется формулой (2.3-3) )гП углом у при этом понимается угол, на который нужно поверну~ь (3 , 'вокруг точки пересечения прямых поотив часовой стрелки до первого совмещения с прямой (36).

Поменяв местами Ьд и )гз, получим тангенс сме)кного угла у»,=л — угз зг (с) Прямые (За) и (ЗЬ) параллельны, если А,Вз — АзВ,=О или Ьхв йг, (2,3.6) и перпендикулярны, если 1 А»А»+В,В2=0 или йх= — - —. (й) Уравнения прямых, проходящих через точку (х), у,) под углом у к прямой (За); — ' (х — х) у-у = — '' (х — х). (2;3-8) 2.3, ВЗАИМНОЕ РДСПОЛОЖШ1ИЕ ТО'1ЕК П ПРЯМЫХ П частности, нормаль к прз»юй (За), проходящая через точку (х„у ) впуск лн»тон ) Рав).с,!.!2.1 и, 1 У вЂ” уг=- (х — х,) или у — у,= — (х «,) А (2.3-9) (с) Уравнение л)осоз прямой, параллельной (За)! Ртстоллив б л)глоду параллельными лрлмыни (За) и (10): Если в (11) з)тк пеРед РаДикалоы пРотивоположен авакУ Сы то й бУдет положительвым, когда начало координат н прямая (!0) лежат по разные стораны от прямой (За), (1) Уравнение жабой прлмой, проходки(ей через точку лгргсечения прямых (За) и (ЗЬ), имеет внд (Агх+ В!у+ С!)+т (А»к+В»у+С») =О, где "к — постоянная (см.

также п. 2.1-9, с). Обратно, каждое уравнение вида ()2) определяет прямую, проходящую через точку нересечения данных прямых. Если (За) и (ЗЬ) параллельны, то (12) определяет прямую, которая в сваю очередь им параллельна. Совокупность прямых, опредсляемых уравнением (12) прн различяых значениях параметра д, называетсн лу !кол! прямых, а точка нх пересечения — центром пучка. Если базисные прямые (За) и (ЗЬ) пучка заданы нормальными уравнениямя (п. 2,2-1), то ( — й) равно огиогиению расстояний от любой точки прямой (12) до базисных прямых; прн д=-) н д= — 1 полученная прямая служит биссектрисой угла между базис.

ными прямыми пучна. (й) Для того чтобы три пряные А!к+В!у+С)=0, Азх+Вау+Сз — О А тасВ +С =О (2.3-13) переселились в одной точке или были параллельна, необходимо и дотлааючло, ч.пабы т. е. чтобы левые части уравнений (13) были линейно зависимы (п. ! 9-3, а), 2.3-3. Тамг»нцкгкьные коардннагы. Уравнение оор»д»лк»т пряную линию (» ч). числа й к ч называются»е ганг»нцкалькымн )кнкеаными, окюккераеыык) каардкнагоын. еглн точечные координаты х, р фккснраь»ны, а Ъ Ч рксснктркоаюгск «ак переменные, та 05)»тгнаннгс» урконанкен точки 1», р), т.

е. тачки вересечання всех орячых 05). Снннетрня ургкненнк 05) относительно та!»чкых н т»нгенцн»льных ноарднн»г влечет зк сОбой ваагн»тот»не (дооасткеннасть) между геар»- н»нк, атно»ящкввнся к о»»никону рксналаженню точек н прямых (оо. 2.3.1 н 2.3-2) Уочкненне Р(Ъ ч) =о ооределяет »»неистов пряных, которое, вообще говор», имеет огибающую, зкокскщую от вода функцвщ у (Ъ г)) (о, 11,'1.2). 65 Т а б л и и 2.4-1 где ап а„аы А = аз! азз азз (2А-2) ам атз азт ам а!2( !=ам+азз, 0=Азз=-~ Пера мнимых пз раллельиых примак (на адно" ксйстип тельной тезки) А')О Иецентральные крнзые зтерспэ порядка (без центра или с не-, определенным центро О Пара действительных параллельнык прямых О =О Парабола А' -,О в этой таблице (2.4-3) О= — О Одни дейстиитель.

на» прямая (парэ гпзпазтнх прямых) ! А'=О еткуда следует чте ! аы аы ! 1)аы аы (2,4-8> 64 ГЛ, 2, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ 2.4-1, 2А. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА (КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ) 2А-1. Общее уравнение второй степени. Кривые второго ноэядка (конические сечения) определяется уравнениями в~арой степени относительно денар!он ~х прямоугольнь)х координат. Общее уравнение второй степени относительно х, у имеет внд ан хт + 2а! эху+ азауэ -,'-раях+ разчу -1-азт = 0 илн (тих+а!ту+а!э) х+(аз «+аз~у+ ам) у+(аттх+аз уЧ-аэз) =О, (24.1) шв=аы (С 2=1, 2, З! 2.4-2. Инварианты. Для любого уравнения (1) трн вели пщы нвляются нлзаоиантама относительна переноса и поворота осей (2.1.6), (2,1.9> и (2,1-!О), Эти инварианты определщот свойства кривой второго порядка, не зависящие от ее полол(ения на плоскости. Г>нзарнант А, э также иногда А = 8А, назызают длскраминакпюм урззнси»я 11). 2.4-3.

Классификация кривых второго порядка. Табл. 2.4.1 содержит классификацию кривых второго порядка, основанную на их ннвариантах (2.4-2); А' является инвариантом относительно поворота осей (семианаарианглоп), 2А-4. условие подпои« незырсжденных кривых атсрагп порядка. Дзе незырождеа. ные кривые зтераго порядка (А т О>, заданные уранпсинами видя (1), нэдэбны, если Ю вЂ” О ля каждого из уравнений (т. е если эбе крнзые — параболы) «ли если О щс т. дл я каждого из уравнений н етнсшення аы:аы:аы дл» этик уравнений ссзпадзю . 2,4.8, хкрантеристнческаи кзадратнчиая ферма н характеристические урэзненне.

многие пзжные свайстяа кривых зтпрегс ппрядка могут быть изучены при ппмащн характеристической квадратичной формы Рэ (х, у> = аых'+ 2аыху+ аыу', (2.4. 41 сопгзетстзующей уравнению (1), В частности, иевырежденная «ризая нтсрсгп ппр»дка А ДО) эказызаетс» дейстзнтельным эллипсом, мнимым эллипсом, гипербэлэй или пира. плэй и заиисампсти ет того, будет ли Рэ (х, и) полсжительвс определенной, стрица. тельна епределэинпй, неопределенной ил» пплуапрсделеннзй «задратичией фпрмпй, чтэ устан станзилиаается пп корням Ап А, ее хааактэаигтичзскэээ уров«э«их 1'ы" "-'— =О или А* — >А+О=О. азз азз — А А А язл»ветс» сэбгтээнннмн зна ~гю лми дейстпительнсй сичыетрзчесной мат.

Корни , , язл ~ (а 1 (пп 18.4.8, 18.8.2) н, «ак следствие зюго, зсегда действительны. эх заметим, что ни»ар«анти ! н О кривой зтерега парадна следующим образом ьы рзжаются через керни хзрактеристическсга уразнеяи» (8); >=А,+Аы О=Лзд,, Отсюда следует, что если один из «арией Ап А, равен нулю, тс О= О, а есле А, = — Аз, 2.4-1>, 2.4-6. Центры и диаметры кривых второго порядка. (а) Диаметром кривой второго порядка называется прямая, являющаяся гео пч метр ческнм местом середин параллельных хорд.

Говорят, что диаметр сопряжен хордам (а также направлению хорд), которые ои дел т ол н поп ам, 2.4-8. 24. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА (КОНИЧЕСКИЕ Опт!ГНИЯ) Классификация кривых второго порядка Диаметр, сопряженный хордам, образующим угол О с положительным направлением оси Ох, определяется уравнением (а(,х+аыУ+а(з) соз 8+(аз,х+азгУ+ам) мп 6 =0.

(2.4-6) (Ь) При 0 Ф 0 все диаметры кривой второго порядка пересека!Отея в одно« точке — центре кривой (другое определение см, в и. 2.4-10). При 0=0 нсе диаметры параллельны или совпадают. В случае 0~0 кривая втоРого порядка называется центральной. Координаты центра (х„ у,) епрсделя|птся уразиениимн аыхэ ' аыуэ+ам=-о, сыхэ-!-аээуэ-(-акт=О. (2.1-21 Если криза» центр«пылая, тс перевес (21.8) «а~зла кссрдипзт в ее центр (8> приэеднт урэзне«не «рпксн к зпд> А аых'-1-2аыхд ' аыу'+ — =О, Л (2.4-2> где х, д — кезрдинзты относительно иеной системы, (с) Кажаый из двух сопряженных диаметров центральной хривой второго порядка делит пополам хорды, параллельные другому диаметру (см. также п.

2.5-2, е) 3 Г. Керн и Т. Керн 2.1.7. ут = — 2Рх — (1 — 62] хе (р ) 0), (2.4-14) 3 я=в е 31-!. а) (2,4-18) кооодп нюты фокуса: и 3. а у=О. (2.1-!8) А А Ьз= — — — = — —,—, х',х.' А А А Ат х' — "-,— = 1 (гипербола), (2»П!2Ь) ! А А Аа О Х,А] А А аз= — — — = —— Ь, О уа = 2рх (парабола), (2.4-! 2с) ГЛ. 2.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ 2.4-7. Главные осн. Диаиетр, перпендикулярный к сопряженным ему хор- дам, называетс ь я главной осью криво,'3 нторого зарядка и является осто сим- метрии кривой Каждая центральная кривая второго порядка ( Ф ) имеет две в е взавь»но перпендикулярные главные осп, либо каждый дпачстр является гл я анной осью; в последнем случае кривая является окр?н(3 о л.. - . ! .е есечс- П ()=О рнвая ииеет одну глзвпу)о ось (си. табл 2.4-!). Точки Рер с ния кривой второго порядка с ее главными осями называютс вер л..., з: я щинамн втой крквой.

Главвыс осн имеют вапРавленве собстаенвмх векторов матРвцы [а!9] (3, 9.==1, 2) (см и 34.6.6) Иначе говоря, направляюпп»е косинусы со»9, 31пе нормален к главным осям (п 2 2-3) удсвлетсоряют уравнениям (С, — Х]СО»9+С»аа(аз==33, а„еже-';(ам — )за)ПО=О, 32 - ) » 4-(О п„— а т нуля корень уравнення (5). Направления главных осей и со»он. Где Х вЂ” отлпчаы от нуля кор мн к пьое ето ого поряд» .'3сл жепных нм хард называются главнымн ьаппаеленпя н р; 3 р . с мем у полови!тельным ».вправлением оси Ох и кажды.