Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров, страница 14

Есви д(х) н 7'(х) — действвтельпые мпогочлевы (ц. 1.6-6), то зсе коэффициенты Ь»Н гв(, дь) в окоячательном разложении на элементарные дроби деьстаптельпы. Квжд!ш рал:!опальная фднкчил от х (п. 4.2-2, с) мажет быть пргдстав.Ыиа в видо сдзгмш миагаелвла и хонвчнога числа влемвипшрных дробей (сы. )акх!с п. 7.6-8). Разложение па элементарные дроби играет важчую роль н связи с ннтегрнроваппем (п.

4.6-6, с) и иьтегральнымп прсобразопаниньш (и. 8А-6). 1.8. ЛИНЕЙНЫЕ, КВАДРАТНЫЕ, КУБИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ 1.8-1. Решение линейных уравиеинй. Общее уравнение первой степени (лгкейное уравпепие) ах=Ь или ах — Ь=О (а~О) (1.8-1) пз!ест решение х= —. (1.8-2) 1.8-2. Решение квадратных ураввеиий. Квадратное уравнение ахз+Ьх+с=О (а-лО) имеет корни — Ь чс !гэз — чс' Х!л= 2о где в случае, когда а, Ь и с — любые комплексные числа, У Ьз — 4ас есть одно пз значений квадратного корня. Есз!и уравнение (3) действительно, то его корин х, и хз либо действительные разлитые, либо действительные равные, либо комптекспые сопряхшппые в зависимости от того, будет ли (и.

1.6-5) !)= Ьз — 4ас соответственно полоук пелен, равен нулю плп отрицателен. Отметим, что х,+х,= — Ь,'а и х,хз=г('а. 1Л-3. Кубичиые удав!гения) решение Кардано. Кубнчное уравнение ха+ ахв+ Ьх+ с = 0 (1.8-5) о подстановкой х=д — -- приводится к <неполному» виду "з о' дз-г-Рд+О=О, Р= — з+Ь, 4=2( — ) — — +с. (1.8-6) (зу' з Корпи дг, дз, дз енеполпогоз кубпчного уравнения (6) равны АФВ .Л вЂ” и д! = А+ В, дед = — — ~ 1' — ТГ3, 2 2 (4 Гл 1, элементАРИАЯ АлГеБРА, ГеОметРиЯ и тРиГОБОметРиЯ 1.9.1.

Т/ р о р 2у — со» У з з' т/ р /а и) р „= — 2у — — соз) — Ш вЂ”, (!.В-В! где сое а (ь) если 0 з, р>а, т ю — 2)''Р/В с!к 2а, Рт,» )гв/з (с12 2о.! 1 УЗ со»ее 2а), (!.В-9е) ,.;„Г( ...) „..~,=,,...,) ~1 где (с) Если О > В, р(в, то и, = — 2)г — рш соме 2в, рт,» = )Г- та (соево 2а -!-!у 3 с!К 2а), О л-Вь) " --'У( — ')' (» — ") где У 'к 2 ))о)< 4) Бо всех случаях берется действительное значение кубичного нория. 1.3-5.

Уравнения четвертой степени: решение Декарта — Эйлера. Уравнение четвертой степени хе+ ах" + Ькх+ сх+ й = О (1.8-10) подстановкой к=у — — приводится к енсполному» виду и 4 уе+ руз+ ду+ г = О. (1.3-11) Корин у, у, у, у енеполного» уравнения четвертой степени (11) равны ории у), уз, з 4 из вы ажеиий одному Р не У г, -Е )/гя 4- )/га, (!.8-)2) в ко!орых сочетания знаков выбираются так, чтобы удовлетворялось условие )/ )/ У (1.8-13) причем г„ гя и га†корни кубичного уравнения ре 4г 2 !В б4 га+ — гз+ — г — — = О. (1.8. 14) 18-6. Уравнения четвертой степени: решение Феррари. Если ух — произвольный корень кубичного уравнения у4-дух+(ас — 4й) у — а'й+4Ь й — ба=О (1.8. Еб) причем в качестве А н В берутся любые значения куби*шых корней нз соответствующих комплексных чисел, удовлетворяющие соотношению АВ= — р,'3. Если уравнение (6) действительно, то (в тех случаях, когда это возможно) следует брать действительные значения этих корней.

Если куби«мое ура»и»миг (б) дгйстаип!альма, то омо имеет или один дейстаитсльмый корень и даа со р пряж»нных иоиалгхсмых кормя, или три дсйсп!»итгльмых корня, по крайней мере даа из которых равны, или три Разли«мых дейстаитгльмьт корня а заасииоапи с мости от пю»о, будет ли () соотестстасмно положительно. Равно нулю ила отрицательно. В последнем случае (епепрнводимый» случай) можно восползоваться ме)одоы п. 1.8-4,а. Отметим, что дискриминанты (п. 1.6-5) уравнений (5) н (6) равны — 108 О. 1.8-4. Кубичные уравнению тригонометрическое решение, Пусть «неполном> кубичное уравнение (6) действительно. (а) Если Ц(0 (енгпрнподнмый» слу !ай), то р ( 0 и 19 ОИОТГМЫ УРАННЕ!Н)И (резольаенты уравнении (10)), то четыре карая уравнения (1О) находятся как корни двух квадратных уравнений хз+.2 к+ — = е ) ( 4 Ь+Ут~ к +, 1 У! — с/) х+ ег й, (1.8-16) где подкорснное вырзженне и правой части является полным квадратом, Ор. пегим, что днскрнминанты (п.!.6-5) уравнений (!0) н (15) совчадзют.

1.9. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 1.9-1. Системы уравнений. Решением некоторого множества (системы) уравнений Й(к„х„...)=0 (1=1, 2, ...) (1.9-!) илн ~ атхз =Ь, (1= 1, 2, „и). (1.9-2) «=! аонк!+ алххт+... + а„„-„= Ь„ Если опредслитель системы (2) аы ам ... аья ам ам "° азл (1.9-3) 0=бе! (аи) = не равен нулю, то система (2) имеет единственное решение О„ кй= — (Ь=!, 2, ..., л) (правило Крамера), (1,9-4) где 0з — определитель, получающийся нз 0 при замене элементов лыо аза, ...

..„и„й й-го столбца соответствующими свободными членамв Ь„ЬВ, ..., Ь„, илн л 01, ~Р ~А(аЬ( (й=), 2, ..., л), (1.9-5) г ! ат алх ..анл где А;з — алгебраическое дополнение (п. 1.5-2) элемента аы в определителе 0 (см, также пп. 13,2-3 и 14.5.3). 1 9-3. Линейная независимость (см. так)ке пп. 9.3-2, 14.2-3 и 15.2-1, а).

(а) т уравнений (1(х,, х,, ..., к„)=0 (! 1,2, ..., т) или т функций !1(хт ХЗ, Х„), ОПРЕдЕленйык при всеХ зиачвииЯХ х), Хз, ..., Х„, ЛннейНо С НЕИЗЗЕСтНЫМН Км Кю ... НаэмнаЕтеа МНОжЕСтВО ЗиаЧЕННЯ НЕИЗВЕСНГЫХ Кю х,, ..., удовлетворяющих одновременно каждому нз уравнений системы (1), Система (!) Решена полностью, если найдены все такие решения. Чисто ыожно последовательно исхлю!апю неизвестные к, из системы (1), например разрешая одно из уравнений относительно х/ н подставляя полученное ныр»жение в оставшиеся уравнения. Число уравнений и неизвестных таким путем уменьшается до тех пор, пока нс остается решить оано уравнение с одним неизвестным.

После этого пропесс повторяется в обратном порядке, для нахождения второго неизвестного н т. д. Решения можяо пооиерить подстановкой. Чтобы исключить хо сиажем, не двух уравнений ), (хо к,) 9 н 1» (хо к,) =9, где 1, (хо х,) и 1, (хо х,) — много«лены относительно х, и х, (и. )Л-З), РассматРинеют обе атн фуйянни иав многочлены относительно х, н со тавлюот их рееультант й (п.).7-3) Тогла х, лолжно удовлетворять уравнению 11 = Э 1.9-2. Системы линейных уравнений: правило Крамера. Рассмотрим систему и линейных уравнений с п неизвестными к„ кя, ..., х„: аих +имя +..+а х — Ь, аюх!+ах»хе + ° ° .+ах х =Ьт, Нас~пать радиус оппсаппай пару папств радпус впасаппой пврупппгтп а Г— Ч паап стпрпн и ! Грэвпэьний ив ау ау го а ьп и а ! ха(п (и/Ш (1.9-9) (Г (пл ) — '„, Уз тре) гп ьппп — У2 Квадрат ~/ 1 У'Ь а' г —; —, — Г 2-;-)О уэ 4 Пптпугаэьппп а 2 — и' Уй и У'з Шестиугольник п~/ !+ —, 2 2 )гб+ )'Ь аэ'() 1-) апсьппугпвьппк г — пай .и УУз — (1+Уз) двсптпугпаьппп 4о гл, 1.

влгмпнтлрнлп ллгпврл, ггомптрнп н трнгономптрнп 1.2-4. независимы, если т из того, что ~3~ л([1(х,, х,, ..., х„) шО при всех значенккх г=( х,, х„..., х„следУет, что Л(=да=...=-два=О. В ротивном случае эти т уравнений нли функций) линейно зависимы, т. е. по крайней мере одно из вих может быть представлено в виде линейнол коьбинации остальных. Это всегда имеет ыесто в тркаиальном частном случае, когда одно илн более из уравнений Л (х(, ха..,. 2„) =0 есть тождество. и и однородных линейных функций ~ ашхй ((=1, 2, ..., п) ли)ийяо ягэазий=! симы а том и только а том случае, если йе! [а(ь] У-0 (см. также п.

1.9-5). палев Общее утвгрждаппа: т пэ~ вразлад лппгйних ~дупхчпа ~' „а,, х), (г =-1, 2, ..., т) ь=! гпагбпа пгэавигппи в твм и тампа твм случае гсги (гпкпгппп|рпцэ [а. ) илггт ринг т (п. 12.2-7). 11) (1) (! ) (8) т множеств, ка)кдое из которых состоит из и чисел х( ', хг, ..., х„ (2); ...; х(т), хр"), ..., х(т) (например, решеанн системы уравне. ннй илн наборы компонент гл штук и-мерных аекторон), линейно независимы, есле нз ~' )у.х(г)=0 ()=1, 2, ..., и) следует Х =й =...=-дт=О. (1.9-7) ! Зпю выпэлядетсл в том и толью том случае, если (тНп)-а)атрица х(()1 имеет ранг т (и.

!3.2-7). ( 1.9-4. Счстемы линейных уравнений: общая теория (су(. также п. 14.8.10). Система т линейных ураэягппй с и ягиээгстпыми х(, 22, ..., хп ~а)ьхй=Ь( ((=1, 2,..., т) й=) имеет решение в том и только а том случае, если матрицы < г а( а ... ат а, а ...а(п г ( атри а снстеиы и расширенпан матрица системы) имеют один и тоги же ранг (и. 13.2-7). В противном случае уравнений яшоэмгстяы, Единственное решение, о котором говорилось в п, !.9-2, существует, если г=-т=п. Если обе матрицы (9) имеют ранг г~т, то уравпеннн (8) линейно независимы при г=т н линейка зависимы при г и., т (п. !.9-, а), В случае г(т некоторые т — г уравнений можно выравнять в виде лииейньп( коыбйнаций остальных г уравнений (независимых), и им удовлетворяют реше- ний этих г уравнений. Линейно независимые уравненак определпют неко.

торые г (т неизвестных как линейные функции остальных и — г неизвестных, остающихся произвольнымн. 1,9-3. Системы линейньж уравнений: и однородных уравнений с и неиз- вестными. В частности, система и однородные линейных уравнений с и яеиз. згстяыми и ~а;йхй 0 (1=1, 2е, и) (!.9-Ю) й=! (.Ш-1. )Лз ООГМУЛЫ, ОННСЫПЛГОЩНГг ПЛОСКНГ тНГУРЫ Н тГПЛ имеет Гтигяиг, отэипяш от триэиаэьпого (пулевого) решения ху=-хв=...= =-х„= —.О, а пол и шогьхо в том случиг, если ))=йе1 [а(а]=0 (см.

также и, !.0-3, а). В тпоп случае суа(естгугш )почяо я — г .гипгаяо независимых реи(гяий х((), 1 '1). и Х(„'); Х(2), Х(Е), .и Х(2)3.3 Х'," Г), Х(П '),..и Х(" '), гдг Г-ранг Мати рицы сиспиль( (и. !.9-4). Наиболее оби(ин рси(еяигм гпсгда ладлетсл и — г х)=--~к~~сгх~г) ((=1, 2,..., и), (1.9-11) )=1 еде г; — пропчволыт(г логтолпяыг (см. также и. 14.8.10). () апжяолг часпшогг случае, когда г=п — 1, х,=сАш, х,=-сАа,, ..., х„=сА(ет (1.9-121 гд)э Аь; — алгебраическое дополнение (и.

1.5-2) элемента аь) в опргдглипмле 0 (причеп й забрано тах, что хотя бы одяо из Аь) ()=1, 2, ..., п) от(и(яо от яулл) есть решение при любой произвольной постоляяой с. Это значит, что есг отяошгпил хйхь опрсдгмяы одяозяачяо; решения (12), получающиеся прн раз(пшпых таких значенпнх й, тождестненны (см, также п. 14.8.6). 1.10, ФОРМУЛЫ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ПЛОСКИЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА 1.10-1. Трапеция (стороны а, Ь, с, й( а и Ь параллельны; высота й есть расстояние между а и Ь; площадь 5); 5='-(а,-Ь) й, й= —,ь)гэ(з — а-(-Ь) (э — с) (э — а), гце а="— " Трапеции является параллелограммом при а=Ь (тогда с=й) и ромбом про а = Ь = с= — й. Т а б и н ц а 1.10-! Правильные миогоуготьники (дугина стороны равна а) ! !! ТРИГ;И1ОМГТРИЯ 1!1 ПЛОСКОСТИ яр!сплав:эй ю'! го Рапи !х !с опт!а Радиус ранги описан!гоп сФеры Радиус списаны Ы Площадь поверхности евера Е рапп,с!о- ! а Гет !аэлр и — )'6 !2 а у'3 а з'з а 2 Куб б каодрагоа Гаа Оатаэдр 8 рэеносто.

ровна тре- уг н!ьанноа — 12 и 2 -, 1гб саа У'1 Таблица 1\Р2 Тела вращении допеааэдр' ! пра! альных пнгнугольнв оп аа 2П рапнгнгороапнх гре. уго.!, нинов НЕОСЭЕДР " 1 гВ з'оз — (в+у'5) 5 12 5а' УЗ ннв (1.!1-1) 40 гл, 1 влпыпззтз ийя ллгпгрл гсаьрвтшгя и тригоиохзгтри 1.1ьцц 1.10-2. Правильные многоугольники. В табл.