Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров, страница 17

(2.1-4) п»р» -». пр» р -ь Хр» »и.».п ! -!-х Гл. 2. дпдлитРГнескдя Геометрия ИА плос!(ости В частности, если ха=уз — О, то 5 — — ~ 1= — (х,уз-х,у,). 1]х, х,] ' ~ У, Уэ ~ (2.1-?) У У Уе 2 У=У+Уо ) х=х — хо, нли х=х+ха, Рпс 2 1-8. Параллельный пере пос осей ноординат. М звнення (8) допускают еще одно встолповаппе. 'р в Если рассматривать к н у яак коорднматы отпоснтсль. ио пери оиачальиой системы ноорднпат (т.

е. гнстепы Оку), ), та тонна (к, у) может бюп» ), Окапав негр'мни из»ггочаи гк, Уг Р ) л и лаггои(и переноса на — к, в направлении осп — у» в паправленпи осгг Оу. Применсане этого ;, образования к каждой точке некоторой пло. — У бекай превой можно рассматривать как преоразонанис переноса кривой. 2.1-6. Преобразование декартовых при- р моугольиых координат при повороте осей, Пусть к, У вЂ координа некоторой точ- УЗ(в ', кя Р относительно декартовой прямоугольной системы координат.

Пусть х, усяд у — координаты этой же точка отиосительх йо новой прямоугольной системы коор- хсмр~ ] у дипат с тем же началом, расположенной оп(осительно системы Охр таким абрахе(ау зом, что угол хО . ду ол хОх между осью Ох и Рис. 2.1-4. Поворот осей координат. осью Ох равен 0; угол отсчитывается в положительном направлении (рис. 2.1.4), При одинаковых единицах масштаба на осях координаты х, У связаны с ко- ордин ипатами х, у следующими формулаэги преобразования: х=х соей+у яп 0, у= — х яп0-]-усозб, (2.1-6) илн х=х сов 0 — у яп 0, у=к яп 0+у соз 0. ассыат нзать к, у п к, у как «оарднпаты двух различных точек относительна инат, то формулы (9) определят преобразованяе поворота иа гол — 8 запрут начала координат, переводящее точну (к, у) в тачку (к у). , -, 0 й перенос н поворот координатных осей.

г.ели начало координат системы ху иэ Ох иэ п. 2.1-6 не совпадает с началом системы Оху и В (аченпе 5 положительно, если направление обхода Р,Р,Рз сонпадает с поло. . тел яым (против часовой стрелки) направлением вращения. 2.1-6. Преобразование декартовых координат при параллельном пер пе сносе осей. Пусть х, у в координаты произвольной точки Р относительно декартовой системы координат; пусть Х, у в координаты этой же точки Р относительно другой декарто- К вой системы координат, оси которой соответственно параллельны осям первой системы и направлены так же, как они, и начало которой имеет относительно системы Оху коордн.

паты хш у,. Если на осях этих систем вьюрапы одинаковые единицы масштаба, то координаты х, у связаны с х, у следуюшимя формулпии преобразования (рнс. 2.1-3): 2.1. Еэедпп(е и основные понятия ураэнеэнч прсооразопа- !(еег отнссптелыю послсдгшй координаты хю у то (нэ грпюпгают нпд х=-(х — х„) со. О+(У вЂ” 1»с) яп 0, = — (х — х,) гн 0+(У вЂ”, ) НС.'1 х = го+ х соз 0 — У 8(п 0, у=-уо-';к яп 0 — усозб. ! (2.1-10) х=р сов 6, у=р яп (р, р=)гх .

-УТ (6 р=-„-, х~'=О. (2.1-1!) Имеют песта следующие формулы (р, и — полярные коордпг:аты); 1 Расстащгие д между тачками (Р,, Ч») н (Рм Ч»); д = )г р'-' -1- р'-' — 2р»р» соз рр» — Р»). 2. Площадь треугольппка с всршнвамп Р (рь Ф»), Р (Р». »Р»), Р» (Р». 'Р )1 Э [о»р гп (Г» 'Р ) -1- лРюп РР Ч») лл з(п (»Р»»Р»)1 2 Пл ю) (2,)Н З) В частности, если р, =б, то 1 э = — [р,р, мп вр» — Ф»)1. 2 (2,1-!4) О знаке э см и 2,1-44 0 кругла криволинейных спстсиах координат см, в гл, б. гчорнулы (10) нозэсгяют найтп зависимость ые)кду координатами то (кн п л(обык диу правых декартовых прямоугольных системах координат с од;1- паг(оными единицами масштаба на осях. Формулы (1С) опредэлнют тэнже преобразования перепаса и вращения, переводящие т;чпу (х, у) в точку (к,у), где обе точки рассматраа ются з одной и той же систю:е координат 3 а м е ч а и п е.

ПреобРазоваипа (8), (9) н (19) не изменяют расстояния ГО м лгч ш умя точкэип вг,г пели неу угла, определяемую г]ормулоа (2). ссаэиютгния, гоги»с.- .»»»)ги(иг содержалгт гэк»пда»ой ггоиюпаии, иг иэмгняютсг при пр образо»анин пгагнага и ио эрота, т. г. иггариаггтп г аэтогтчг.юиа этик лргсбраэаеаггий (см. така»с пп, (2.1-8, 11.1-4, 14д-з). 2.1-6, Полярные коордмиаты. Пояяриан система координат иа плоскости вадается точкой О (полюс) н направленной прямой Ох (полярная ось). Е каждой точкой Р плоскости, на которой задана полярная система координат, можно связать определенную пару чисел р, гр (полярные координаты).

Полярный радиус р есть длина отрезка ОР, а полярный угол 6» — раднапизя мера угла хОР, отсчитанная в направлении, противоположном вращению часовой стрелки (см. рис. 2.1-2). Угол ф определен с точностью до слагаемого 2йп, где й — л(обое целое ч(юло.

Точка (р, 0)) по определению совпадает с точкой ( — р, ф .е- и); это условие связывает определенную точку плоскости с каждан нарой чисел (р, 6») не только при положительных, но и при отрицательных значениях р. Для полюса О величина гр ие определена. 3 а, е ч а а и е. П отлн*пщ от денартосой системы, полярная система ноордннат пе )станаэлпвает взаимно однозначного соатветстввя можду парами чисел (р, »Г) » там пют плоспост~. Одааяо в большинстве приложенпй возизкающэп в результате агота неопределенность мажет быть устранена.

Если полюс н полярная ось совпадают соответственно с началом О а ось(о Ох прямоугольнои системы координат (см. Рнс, 2.1-2), то при условии, что для измерения г, х и У использованы рав(ые единицы масштаба, декартовы и солярные коордчнаты связаны следуюшнми формуламэ преобразования: 6! 22 ППЯ>ЩЯ ЛИНИЯ 2Л.Э. 00 гл. 2. лиялитинескдя геомепия ил плоскости где Х вЂ” отличная от нуля постоянная, совпадают.

(6) Параметрическое задание кривых. Плоская мож т быть задана также двумя уравнениями х=-х((), у=у(г), кривая (2.1-16) где ! — переменный параметр. (с) Пересечение двух кривых. Значения координат х и у, кото. рые одновременно удовлетворяют уравнениям двух кривых ф, (х, у) =О, (ра (х, у) =О, опр д е еляют л>очку пересечения этих кривых.

В частности, если уравнение ф (х, 0)=0 имеет действительные корни, то они служат абсциссаин пересечения кривой ф(х, у) =0 с осью Ох. Егля (к ) — зализам стезззв л (з. ( (-3), та яряззя Ч (х, у) =- а пересекает ась Ох (ззз н люаую прямую лазаю, и, - з т а, 2,2-0 з очках (кразах з-гг зарядка); алззка незатарме нз зтнк тачек пересечения могут сазпзлать ялз быть мнемымя, Для любого дейсгзятзльнага Х урззненяе Чз (к, у)+Ха> (х, у) = 0 определяет кривую, аразад ю, аразадящую чеаез томми зсресеченяя (Лзйетзятельиые нля мнямые) Лзук крвзык ()7).

, (, у) . р. (», у) = о (2 )-(2) уаозлетзарязтся каардаиатзмя точек, принадлежащих любой яз зрязяк 67), а не тдазлегзаряется «аараянатзмя других та>зк. 2.2. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ 2,2 1. У авиение прямой линии. Каждое уравнение, линейное относительно рав ени декартовых координат х и у, т. е. уравнение вида Ах+ Ву+ С= О, (2.2-1) . 2.2-1). А В не равны нулю одновременно, определяет прямую линию (рис, 2. -1).

Обратно, каждая прямая линия может быть определена линейным ур с- анипнем (1). При С=О прямая проходит через начало координат, Особенно важное значение имеют следующие виды уравненнн прязюй. 1. У ние прямой с угловым коэффициентом. Пряравне О ис, 2.2-1 мая, образующая угол ф с положительным направлением оси Ох (рис, .

-1) и пересекающая ось Оу в точке (О, Ь): у=у +Ь, й=(й р. Коэффициент й называется угловым коэффициентом прямой. 2.1-9. Снособы задания кривых (см. также пп. 3.1-13 н 17.1.1). (а) Уравнение кривой. Уравнение вида ф(х, у)=0 или у=((х) (2.1-15) удовлетворяется координатами точек, принадлежащих определенному точеч- ному множеству, В большинстве случаев, представляющих интерес„это точеч- ное ино>к"ство образует кривую (см. также и.

3.1-13). Обратно, заданную кривую можно определить уравнениеи (15), которое должно удовлетворяться коордянатами всех точек кривой и только этих точек. Возможсв случай, когда кривая имеет более одной ветви. Крнвьш, опредсляемые уравнениями ф (х, у) = 0 и Х ф (х, у) = О, 3. Нормальное уравнение прямой, Пусть р — длива перпендикуляра, опуи(енного из начала координат на пряыую, а 8 — угол (измеренный в положительном направлении) между положительным направлением осн Ох и направлением перпендикуляра, у апу)пенного из начала координат нз прямую (см, рис.

2.2-1). Тогда уравнение прямой имеет вид у=Ь х соз 0 + у ап 0 — р = О. р В=00") 4, Уравнение пучка прямых с пентром в точке(х„ у): Ряс. 2.2.). Урзззгияе прямой. у — у,=я (х — х,). 5. Уравнение прямой, проходящей через две дани ы е (несовпадающие) точки Р, (х,, у,) н Р,(хз, у,): х у 1) х, у, 1(=О. х, у, 1 — нли у — уг к — к, у — у, к,— к, Если прямая задана общим уравненнем (1), то отрезки а и Ь, отсекаемые ею на осях, угловой коэффипнеит Ь, расстояние прямей от начала координат р, сов 0 и з!п 0 выражаются через коэффициенты А, В н С следующим образом: а= — —, Ь= —, й=(3ф= —.—, (р=8 — —, (2 2 2) Л' В' В' С А В Во пзбех(анне неопределенности анан перед радикалом выбирается так, чтобы соблюдалось условие р ) О. В этом случае саз 0 н ма 0 являются нззрззляющями «аснзусзмя аалажзтгльяай зармзлз прямай — перпендикуляра апущензага нз ззчзлз нааряяззт зз прямую (см, а Ш)-2) Если С=а, га выбор аалажнтелш>ага назуззлезня зз зарчалз араиз- волен 2.2-2.