Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров, страница 12

аьл аы а„... ага (1.6-6) л а ., а а а .. о 41 лг ''' лл »1 лз '' «гн ООО»ггьшьг зж ал„ап, -[- аа,ш а„, ... алл апз алг "° алл бых д О ... о ь ь т\ жз '' ньы 11 О12 ''' 1Л о л, ... а„ ь ... ь „, ь 22 ''' 2» 1„(1-111 жз ''' глшь о а гп лг ''' лл т1 а,т+ Ььз "° агл + Ьш аы а, 2» а,ы алл Ьы Ь, ам аз, ... азп ан аы ... ап, аз, агз ., ат (!.Ь-й) а„, ап, ... алл а»2 алз " опл 66 ГЛ ! ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1,5.4. ! Б 4 Дополннтельные мнморы РззложеннеЛаплзса р д .

Оп е ел»тель т-го порядка М, л зю»йся нз опредглнтеля л-го порндкз р(т л), еслн из него вы'ьсркнуть «зкнг- попуч' 'ц» сн" .л„бо „т „,„бцо» нззы»ветс» минором т.„о»прядке о»1ж. либо л — т ст(ьок н кзнне-л л — т сто. цо, Д""ты" . ' Р ,е 'кл, ст окн и „,лбцы сокр»не,шнегн » МР н,зыз»ют,, получзющ»йся, если нз О выьгрх»1 трм» н ол допел»»тель»им» м» орем»: з чзстном ~лу'ьзе т=ль = . «е 'г — н есз строк з »,Ь ...,й — номера стол цоз, вход н 3 ех (ихн гтохбнсг! определите л О, Тогда Р равен ьэльльг ь нз л ш згг- зоомнм хю мг т гтне ихн с о. М, зг мх г зльнк ст ° окак (л.ш д и и ММ" ггггозмежньы нино»аз т-го лерхдко М, снглогзжгнььмх Р гннн сьлзхбнак), на нх илге слн ° ггхие злггн б дел гнгнмл М" (зозхозкгнлг Лаллыл но ь гька.м<нн сьлрекаль нхн столб»он), Определитель и- 0 7 лнтель и-го порядка 0 имеет С главных миноров т-го порядка, и диагональные эле, менты которых являются н диагональными элемеьшами О.

1.6-6. Различные теоремы. (а) Величина 0 опргд литсля (1) нг меняется при любой из слгоующпх операций: 1) загоне строк столбцами и столоцое строка»и (перемене мгсльазш индсксое ! и й е равенстве (!)); 2) четном числе лерельен местами любых двух строк или люМи двух столбцов; ц) прибиелгнии к элементам любой строки (или столбца) соотеь тшлетрощ х эхынгнтое какой-лп'ю другой строки (или соотвгтстанььо слюлбца), уз»ношенных ни адно и то же число сс, (Ь) Нечетное чисю пгремен лгестами любых двух строк или лю гух столбцов раенсслльно умножению опредглитсля на — 1. (с) Умножение всат элементов какой-либо строки или столбца ка множитель сс равносильно умножению определителя на а.

-го яо ядка 0 (6) Если элементы ]-й строки (или столбца) определителя п-го порядка ьп ьл ль с, пю опрсдглитель 0 ра. лредстивлены в види сумм ~,' с„„~~,' с,з, ..., ~ сгт р г=! вен сумме к,, одре е и 0 п делителей л.го порядка. Все элеменльь! каждого из опред й О, . оме элемгнтоб )-й строки (столбца), совпадают с соопшетстеующими этментами определителя О, а е )-й строке опредглипьел, ьт я0 . оят элгмгйты с,г с,з, ..., с „. П р и м е р. ! 5 АЛГЕБРУ! !ЕЕГО1Г УР(БНШП!Я ОгШНЕ ТГОРГМь ! (е) Опрьдазилгель раасн куно, геш 1) есе элглснтьь какой-либо его строки илн гтолгм(и ригпы нулю, 2) ссотесьпсьыейьюи(гге элементы киких-лаоо дгус ьго строк или столб!(ое раеньь и,ьи же пропорциональны. 1,6-6.

Умножение определителей (сы. такгке и. !3.2-2). Произведение двух опрсделптеле» п-!о порядка йе! [а,»] н йе! [Ьт] равно 1,5.7. Изме»гнне порятзз опэсдеэнттгй. Лзнны,! опредглнтгьь моькно слз,ьу:», ьм образом ззпнсзть н сиде опргдглитгзн более нысокого попььдкз: о л ... [ ]о ь,, л о 'гл ~ 21 22 ' зл 2 ппоиззольны Этот процесс нох,по позтоплть ткач»ко !модно рш Де»НОГО ОПРЕД2ЛЬЫ ЗН НИОГДЗ 1Ю К»О ЬОННЗИЬШ С ПО»Оп, .О ЬООПЬО ЦНЬНЗ а 1л 11 "1З ' . Нььн зп и 22 ''' 2ж э !.6. АлГеБРАичесКие УРАВнениЯ: ОБЩие теОРемы !.4-1.

Вз и од ые зззшчзн»я. Решение злгебрзнческнх урззнений нмеет особа ззжн знзченнз з связи з с теы, что к этому знпу от»ос»тел хзрзктеристн ьескне урззнення гнсьо» тзм лннезнььх дифференциальных урззвений (сн. тзкжз пп. 9.4-!. 9.4-4 н !4.8-5 . Об д .

ов ьек' (зозннкзьощзя, взпьзнмер, нрн нсследоззннн устой ьнзостн) может зздзч» от стев»я н н .. ! щзя н уче з етодзмн п. !.5-5 н,нл» п. 7.5.9. НР»блнжеььььоь Решение УРззнен» смзтр»»»ется з лп. 29.2-! — 29.2-5. э»лен» рзс- 1.6-2. Решенне уравнен»я. Корни. Решнть уравнение (см. также п. 1.1-4) !'(х) = О (1.6-1) с неязвестным х — значит найти знафення х (корня уравнения (1), нуля функ"»я ((х)), улоалетворво(пне этому уравнению.

Решение можно провернть подстановкой. 1 6-3. Алгебраические уравнения. Ураененне (1) вида 1(х) ='-азх"+а,х" 1+...+ал,х+ал=О (аз~О), (1.6-2) где коэффн не сн алтей анч фф цненты а,— действительные илн комплексные числа, называет- Р ческнм уравненнем степени и е нензвестным х; ( (х) — многочлеп 1.4-6. О,....О о . ... о 3 О „, О заиг«е Т, Т, Тл уа Т„( ха 21 217» 7'78 '' ул зуа 1 аа зг 1 (!.6-7) и.ю зз зг зз зз аз ( — 1) ь и в т =а >о, т =, т =( а( аа аз аз О а, О а, аз О .„ 0 'а о о аз аз а! аз аь а4 аз ат аз аз а4 аг аз 2а, а, за, и. ,(а, а Тз = >аз аз ,аь а, аз (1.6.8) уз=1,2, .- «) (166> з)г= ( „) Аа„а„— 1 аг М - за — 1 41 хз зх " зрг а (а — 1) =(-1> — И й, >'), (!.6-6> г 2л — 2 =ао за — 1 з«за+) ...

»2л — 2 где » — ! 1 х, х -. х, .и — 1 1 х х.,* - хз и (хь хм,.„х„)- х хз „,и — 1 28 гл. !. Влгмеитдщ)ди Алгебрд, гхоз)етрия 1 и триГОНОметрия 1.4.!. а напальная функциа; см. такж и.. ит 4.2-2, д сте пенн а относительно х (целая рац т:' фу — иобо ный член миогочлепа 7.6-8). Коэффипиент а„— свобод . ь 76 !) — и с ) ~О А.зтб айгс т> т р ", орень кроен(исти т латать т ииг тпгпсни ахмет Р, рень кра, . раз (основная те рез л тео ема алгебрь! л!йогочлемов).

алисе р з. т нсе корни вместе с нх кратностяин. »геб зических уразиеаий с цела иге 4 з ц глз. я»ляюа!и* я «ар«»чп з» р .. л , еитзмв называются ажебра з б ьчес1~»ззн числами (вса щ '...:*; гл зффици ~ т — а. гбр е числа, та карщг зсе ещ е тз«же з«же а. !.1-2) Общие фарм>лы, выражающие карг1 . "- ': ° е лько «а«ечиае числа сл ~мрф»«а~~у и гадерлгащ»е та ела сл... гь и», с ествуют талька дл и» * ! Ч Й~а к~юи «»ы~~~~ и 18') 1 8-3 и 1 8-4) я четверга) (ура»пени» че-.зер пения. а. 1,8-!). второ.

кз т тай от«- третьей (»убичиые уравнения, ип 1.8- и . - ) в ч в«ми н «азффициент«м«Симме ричеек«е фуи»цни ' .4-3), х хю ..., и ° а ване«ля (2) связаны с ега«азфйи«зь (п. 1.4-3) карие. хь хю ..., и Циеатамв ае, аь ..„ал слеДУюЩ . Р е,, ...,, ю им образа»: а ,— =(-!>'ЕА (А=В 2,..., и>, (1.6-3) з ... + а«5 = О (А = 1, 2,, „ л), (1 6 4> Ааз+аь !з, +ай 2», + .. +аз!э= а а м 4 Ньюмана (1.4-11). Отметим Рзвеистэз ( .

- ! пред 1.6-4! отваля|от собой другой вариант ферми» азиен«я. Дисяр»мииант А алгебраического 1.6-5. Дис«римин«нт алгебраичее»ага уравнен««. «с*и«то«з«юте» из'г зим» корней х> ур«знеиия (квадратные карпи порядка и р«сем«тр ней с разным«инде«сами) 2 П ( — х )з = аул — 2 [!у (х,. х,, х„) Р = з 16 АЛГГБРА11ИЕСКПЕ УРАВНЕНИЯ: ОГЩИЕ ТГОРГмы ад »зете» аплезгмииглем Вагмеаманза> гюр»ей «»ага»лена ) (х)(з,=п) и и б, Г) — рюдхьта»ж (и. 1.1-3) м«агачлеаз ! (х) и ега ,„а»э»ад»ай (и.

4 5.1) Г (х). Дне«рвмиааит А есть симметричес«ая фуи«ция «арией ль „.',, „хтг азр«Щ«юЩ«аса з нУль з там «талька з тач слУчае, егл» ! (х) имеет га кРаи. < .» мере одни «рзтиь й иере»ь (необходима»вл»~а»огас» обцим караем ! (х> я !' (4)! си. т..;л.е и. !.6.6. к>. 1.6-6. Действительные алгебрапчесиие уравнения и их нарна. Алгебраическое урспненпе (2) назыэается действительным, если все его коэф(рнпиепты гю)ствнтсльные числа. Соответствующий действительный аиюгочлен >'(х) при гссх действительных значениях я принимает действительные значения. Д',тя отделения корпеи (действие, которое предтестнует приблпжснпому реп!г! Оо уравнений, п. 20 2-!) полезны ннгксследующйе теоремы. [) теоремах (!!) - — (!) корень «ратности т рассматривается как т корней (а) К о и п л е к с н ы е к о р н и.

Комплексные корни дгйслиительиого алгебрли (ггхого уравнения пояаллются парах«и комплексных соарюхсниьгх часе,! (ц. >,8-1). Допел!анте юног а)гебра!тгсхое уравнение нечет»оп стль ни всегда ихггь! хат» бы ог)ин дгйсглзг!>)меьиый корень. :Ес корни урапиения (2) по модулю не превосходят числа >у=[->-г— Л ,' а, ! где А — наибольшее пз чисел >а,),! аз(, ..., а„', это празило справедлипо п для ураэпснпй с комплекснымн коэффициентами.ч (Ь) Теорем а Р а уса — Г у р з и па Число корнеи с положительной дсйсюгп!«ель»ой частью деистзительнаго алгебраичгс«ого ураененил (2) раано числу «Тммен знака а любой из посхгдоеательиостей (и предполол(энни, что т! о;личны ст нуля) (элснспты ап отсУгстиУ!Ощне з УРазпепии (2), полагаем Равными нУлю) Если среди Т; есть равные нулю, то подсчет усложняется (см. (!.2)). К р п т е р и й Р а у с а — Г у р о и ц а.

Для того чтобы все »ории дгйтпаигюлы!»го >раанснил (2) имели огприйательные действитехьныг чагл!и, нсобходтю и джтг!таино, ч!гобы аьтолиялись нераагнстла т,>о, т, о, т,. о,... т„>о. 113 полоягигельиости всех Т> следует положительность всех коэффпциснтсз а, уравнения (2). А л ь т с р н а т и в н а я ф о р м у л и р о а к а. Все корни дейсгтил!геьного урт!змгггГО! (2) и-й степени их!еют отрииательную дгйсамительную часть а г!Ох! и !«ольха 6 том с,!учае, если лто верно для уравнения (и — !)-й спилена и ха-1 а'ха — ! а(х» — 3+а'хл-4+ л-! Г а' 1 .а-з :-=а х" т+(аз — -' аз1 х" '+ а х"-з+( а, — —" аз !лл 4+ ...