Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров, страница 16

еделяется тремя лучамв, перпендикулярными к плоскостям, связанным со сторонами к Есле один сферический треугольник поаярен относительно другога, то н второй будет полярен относительно первого Стороны одного нз пал рных от- я иосительно друг друга треуг г треугольников дополняют углы другого до 1ао'. Таким образом, ф м ла, относящаяся к сторонам и углам треугольника, может быть преобразована в теорему нлн формулу об уг.эах и с>попонах поляРною треугольника *) Если одна из этнх углов равен 1ао, то сферический треугольнин вырождаетса в полуокружиость большого круга.

Пример найти стороны н углы прямоугольного сбкр>:еского треугольника,зная гяпотенузу с и сторону а Эта задеча имеет решение тоаььо при условии Б>О а -'= ».О; тОгдэ 12 а . ми а ОО» В = ..—, э!О Л =— !в с' э:пс' соз с соз 0 —— СОЗ О 3 а и е ч а н н е, Есаи а меньше, равно нлн болыие Рис. 1,12-2.

Правила Непера, 90', то и Л соответственно меньше, равно илн больше яо', н наоборот Если даны а и А, то задаю имеет решение только ь том случае, когда предыдущее условие выполнено и, кроме того, э1н а =з!О Л; если а А Л, то решений два Если даны Л н В, зада~а имеет решение только прн выполнении условий 90'< А ->- .1-В<2>щ н — 90'< Л вЂ” В <90* (см О 1.12-2) Сфеоаческнй треугольник со стороной, равной 90', называется квадрантным тре- угольником н в>ожет рассматриваться как поаярный треугольнни прямоугольного сферы.

чесиого треугольника, Ко всем задачам, включающим решение сферических треугольников (прямоугольных или косоугольных), аастоятельно рекомендуется делать эскиз, ясно показывающий, будут лн различные углы и стороны меньше, равны плн больше 90', 1.12-4. Формулы для решения сферических треугольников (см, также рис, 1.12-1), В следующих ниже соотношениях А, Е, С являются углами, противолежащими соответственно сторонам а, Ь, с сферического треугольника. «Радиусы» описанного и вписанного конусов обозначечы соответственяо через г и р.

Формулы, иг включенные а перечень. мазут быть па,!учены одновременной цикличгскои лгргаиаиавкои А, В, С и а, Ь, с, Таблица 1.12-1 позволяет вычислять стороны и углы любого сферического треугольника по трем подходящим образом заданным сторонаы и)или углам, Неравенства, отмеченные в начале п. 1.!2-2, должны быть приняты во внимание, дли того чтобы исключить посторонние результаты ири решении треугольников. — = — = — (теорема синусов), з(п а э)п Ь з)п с ып А ыпВ з)н С (1.12-3) сова=соя Ьсоас-1-шп Ь и!п ссозА (теорема косинусов для старин), (1,124) сов А = — соз В соя С+а!п В з!п С сова (теорема косинусов для углов), (1.12-5) Ь+с В~ЬС а 2 2 2 2 Ь вЂ” с . В.).С а .  — С 1Я 2 Яп 2 =(Я 29(п в с, ) (аналогии Непера) !Е соз = с!Я вЂ” саэ 2 2 2 2  — С .

Ь->-с А . 0 — с, !Я вЂ” — — 91п — = с(Я вЂ” Яп — ' 2 2 2 В '/ (1.12-6) 1.12-3. Прямоугольный сферический треугольник. В прямоугольном сфе. рическоч треугольнике по меньшей мере один угол, например С, равен 96'1 иротнвоположная сторона с называется гипотенузой. Соотношения между сто. рона!и! и угламн прямоугольного сферического треугольника могут быть кы плачены пз следующих двух мнемонических правил )!с!шва: Б диигримл!г >ш рис. !.)рл2 синус любого из ухазаииых а игд углов ронин 1) У>роизагдгиию тикгснгов двух углов, прилежа. и;их и исму иа дииграл>иг, 2) праизждгиша ьагииугаа двух углов, приап>волгжищих гл(у па диаграмме.

!.!2-1. 112 СФЕРНЧЕС!»А5! ТРИГОНОМЕТР!Я 85 ТрблнЦа 1„1'-1 ! (аналогии 1(сломбро ! и Гаусса) Решение сферических треугольников (см, формулы п, 1.12.4 н рис. 1 12-П (1.12-7) Даны ! 1 Трп стороны а, Ь,с Л ск (формулы головин„ы» углов) (1.12О8) Трп угла А, В, С а, пе Две стороны и заключениыо между ними угол Ь,с, Л (1.12г9) Два угла и заключенная иежду ипма сторона В, С, а !.12-10) (1.12-!!) Две стороны н противолежащий одное пз них угол Ь,с,В становятся особенао удобнымн для использованы новые тркгонометрн- 1 Ьат л = — (1 — соз Л). (1.!2.12) 2 два угла н противолежащая одному иа ннх сторона В, С, Ь 4 ГЛ 1.

ВЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.!2-5, Я1П вЂ” 51П: = жп -- соз А ° Ьщс . а  — С 2 ШП СОБ СОЯ СОЯ Л Ь-'гс а  — , 'С 2 2 2 Л . Ь вЂ” с . а .  — С СОБ 2 Я)П Я!П 21П 2 2 2 СОБ — СОЯ вЂ” = СОБ —, ШП вЂ”, А Ь вЂ” с а . В)С 2 ' 2 2 алгьфг Лл-В. С 2 Б!П вЂ” = Л Бп»(5 — п)5»п(5 — с) 2 51пЬюпс С05 — = Л 5!Л55»п(5 — а) 2 51ЛЬ»)пс а — со5 Я со5 (Х вЂ” Л) Я!П— 2 5\ИВ»»ПС а соз (Л вЂ” В) соь( — С) 2 ып В 5)п С С!Е ~/со5 (5 — Л)соз (Я вЂ” В) соа (5 — С) — соз Л 1( 5!»» 15 — а) 5!п (в — М ып (5 — г) 5!П З С!а Л =5)п (» — а) ! а соз (5 — Л), 2 (ср ~ 2 с(хг С !д — = 4 Ь 5— Л е (н 2 .(Е 4 ) + ... (уров!генис Лшилье). 5 1 5 — а 2 2 Некоторые тригонаметри »вские соотношения гь»чнсление с помо»цью логарифмов, если в них '»-скпв функции чета А = 1 — соз А, сочегз А = 1 — з»п Л, Такнм образом, если имеются в налячии таблицы функции Ьач, та для ешеиня с рвчсскнх треугол пикав мажнО использовать следующие фо 5»улй; 5!п 5 — Ь в!и а— Ьз» Л= ( ) ( с), Ьач а =Ьач (Ь вЂ” с).5.5»п Ь юпс Ьз» Л.

(1.12-13) Другие впало '»ь гн'»! »е соотношения можно получить циклической перестановкой. 07 21, ВВедение и ОснОВные памятия 2, !.4. ГЛАВА 2 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ 2,1. ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 2П-1. Вводные замечания (см. также п. 121-1). Геометрия занимается изучением объектов, которые могут быть в том или ином смысле отаждествлены с тачками, и представляет собой математическую модель, воспроизводящую отношения между этими о» этими обьентлмн.

В основе каждой геометрической сис!емы лежит определенные аксиалю!. Они могут быть выбраны таким о разом, ч о ы соответствующая модель отражала свойства реального физишского пространства. Однако задачей геометрии является также логпчесное построение самых об и .;атическнх систем, в том числе и таких, которые не всегда отвечают наглядным представлениям. В онилилшческой геометрии точка определяется системой чисел (ее координат), и, следовательно, геометрические факты записываются в виде соотношений ме»кду координатами. Главы 2 (аналитическая геометрия иа плоскости) и 3 (аналитическая геометрия в прострпнсгве) следуют тому способу изложения, который принят в ольшинстве эле. б т е элементарных курсов: основные понятия геометрии предполз- а ейся гаются известнымн и п ымн и просто переводатся на язык алгебры, станов щ ! вследствие этога средством исследования геометрических форм.

В гл. 17 к атко изложен и использован более глубокий метод, состоящий в построении различных геоыетрических систем на основании заданных аксиом. В пп. 17.1.1 — !7.1-6 содержатся краткие у у г сведения из дифференциальной геометрии плоских Рйу! кривых, включая определенна касательной, нор- мали н кривизны. г»/лу / 2.1-2. Декартова система ноординат.

Декартова ! скстема координат связывает с каждой точкой Р плоскости, на которон выбраны две направленх ные прямые (оси координат) Ох и Оу, пересекаюд щиеся в начале координат О (рис. 2.1-1), пару действительных чисел, абсписсу х к ординату Рп«. 2.1-!. ПРВГЮВ Дввпрт«» у; при этом пишу! Р(х, у).

Прялшя, проходящая че ез точк»» Р йарзллельио оси Оу, пересекает ординат, Отревпп Ое, и через у а. я,пахояОе, — едивппы мвсштвев вв ась Ох в точке Рс Аналогично пр ма, р дава», щая через точку Р параллельно Ох, пересекает Оу в точке Р". Величина направленного отрезка ОР' =х (поло»кительнап, если направление ОР' совпадает с направлением О, и ательиая в противном случае) н определенная зналощшным та точны Р. спасо ом величи б .

вел чина ОР"=у называются декартовыми коордкиа ми В обшей (носоугольнай) декартовой системе координат угол ю между осами х и у мож О О м жет принимать значения 0м.ю(п(правая система) нли — п «и ~0 (левая система). Если для измерения отрезков ОР' и ОР" " испальзуютса различные еди ые е инины длины, то система кооРдинат назывэе ся общей декартовой или аффиниой. пасть нв чети е «вадраижа [рпс 2 1-1). Ласпвссв» полоОсв паардвввт делят плоскость н тир и х,, вспаважевпыв в «ввдрвптвв и . ат е . житвльвв длв точек (х, р). Р О ардппвтв р положительна длв тачек твх !! и !!/, Ранив нулю для точек асп р; рд (2.1-2) Координаты середины отрезка Р,Р,.: 2 ' 2 (2.1-5) х- При 0 ~7»< са точка Р лежит внутри отрезка Р,Рю а прн — 1 сд < 0 п — со(дм — 1 — вне его.

Прн )[=0 точка Р совпадает с тачкой Р,, а прн й — й! са точна Р стремится к точке Рв. Формулы (4) сохраняют смысл при Х= — 1, если прямая дополнена несобственной или «бесконечно удаленной» точкой, которая делит любой отрезок этой прямой в опюшенни, равном — 1.В 1. Площадь 5 треугольника с вершинамн Р[(х!, у!) Р (хв. ув) Рв(хв ув) определяется формулой ,)х» у, ! 3 —, к, у, 1 =, (х!(ув — ув) ч-хв(уз -у!)-, 'хв(у! — ув)). (2.1.6) хв у„ ! ( в лввдрввтвх ! и !!, атрвпв»епыы длв точек в навар»в»вх !О и !у, рввпв нулю двя »а;еи а«в а» Нв»»вам ивара»п»вт «лужи» тачка [а, а) 3 в м «» в в и е Лввиптп«а«пвп геометрия пв «вкхвдавай пла«ка«тв па«ип!»ирр«»п ° »»пмво аппазва«ае «аа»ввт«твиа между тачками првмай и депстввтельвыиа числами [«ваардииаюнав» а««»аии, ап«иаир п«пр»рива««ат, «и твпжв и.

4.3.!). р 2.1-3. Правая декартова прныоугольная система — — — Р/х,р! координат. В правой декартовой прямоугольной снеге- у Р ! ме координат направления осей выбираются твк, что р поворот оси Ох на и,'2 в положительном нзправлении, т. е. в направлении, противоположном враще- х нию часовой стрелка, совмещает полуось полажнтель- З! и — х— ных х с полуосью положительных у.

При этак условии координаты х, у равны соответственно расстояниям Рв' 2 1.'2. Ов"вми иа ординат: првввв д«пвр- динатных эсен Ох н Оу до данной тачки /» тавв»»рвчауга»ьпвп в определенным по величине н знаку (рнс. 2.1-2), палврввв. В этой главе, если не оговорено противное, всегда применяетсн правая декартова прямоугольная система координат. 2,1лй Основные формулы в декартовых прямоугольных координатах.

1. Расстояние (/ между точками Р, (хы у,) и Рв(хв, у,) й= У'(хв — х)в+ (у, — у)'. (2.1-!) 2. Угол у между двулш направленными отрезками Р,Р, н Р,Р« саз 7— (к» вЂ” к,) [х« — х,) ! [р, — р,) (р» — р,) (х — к,) /ьщ р) у"(х к)»-ь[р — р)» Нзпрвввпющпл»в косинусами ввпрввлвппага атр«вкв Р,Р, называются васину«и углов а в и = — — и, аарвваввввыв а»резкам с палажнтельвымв ввпрввлвппвмп х У 2 ваардвввтвыв осей; х, — «» саз ах= 1' (х» — х )» а- (р — р»Р сал и 5»п и у 1' (х, — х,)'+ (р» — р,)' 3. Координаты х, у точки Р, делящей направленный отрезок Р,Р, между точками Р,(х,, уд) и Р,(хв у,) в отношении Р,Р: РР,=т: п=д! 1, определяются формуламн юх,.[- пх, х, -',-Хх, т -!-и 1-ь! — са ( 7 (+ со.