Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 83
Текст из файла (страница 83)
[т] В оригинзле ошибочно стоит «ассоциативного». [в«] Здесь не требуется, чтобы Е не пас редут в еим о следовала за О; возможны последовательности ОАВЕ, АОВЕ и т. д. Случаи же, когда, напротив, Оследует за Е,всегда можно устранить, так как последовательность, по теореме 5, опрелелиется с точностью до замены ей обратной последовательностью. пгимечлння 165) 464 пРИМЕЧАниЯ [66) [ы] В виде примера докажем справедливость в числовой системе Дезарга правил 15 и 16 ф 13. Этому доказательству мы предпошлбм несколько замечаний, Пусть иам даны в плоскости а две прямые а и а' н пусть на прямой а имеется некоторая последовательность точек А, В, С, ..., К, 7..
Из этих точек мы проведбм прямые, параллельиыв друг другу, ио ие параллельные прямой а' (и ие совпадающие с а). 1очки А', В', С',..., К', В' пересечения этих параллелей с прямою а' мы назовем проекциями (параллельиымн) точек А, В, С, ..., К, 7.. Лемма 1, Из аксиом 1г а, 11 и (Уа следует, что проекции точек на прямой а' располагаются в том же порядке, что и проектируемые точки иа прямой а. Другими словами, если иэ трех точек А, В н С, взятых иа прямой а, точка В лежит между А и С, то на а' точка В' лежит между А' и С' (черт.37). До каза тел ь ство. Так как точка С лежит вне отрезка АВ, то точки А и В лежат по одну сторону от прямой СС'.
Так как прямые АА' и ВВ' параллельны СС', то точки А и А', В и В' должны лежать по одну сторону от СС' (см, примеча- нне [М)), а следовательно, точки А' иВ' лежат по оди) сторону от прямой СС' (см. то же примечание), т. е. точка С лежит вне отрезка А'В'. Точно так же докажем, что точка А' лежит вне отрезка В'С'. Следовательно, точки А', В', С' расположбиы в том же порядке, что и проектируемые точки. С лед с та и е.
Если отрезок АВ прямой а не пересекается с прямой а', то проекции А', В' точек А, В напрямую а'лежат по одну сторону от а. Справедливость этого утверждения в том случае, когда прямые а н а' параллельны, очевидна, так как если бы А' и В' лежали по разные стороны от прямой а, то прямая А'В', т. е. прямзя а', пересекалась бы с а.
Если же прямые а и а' пересекаются в некоторой точке О, прнчбм гочка В лежит иа отрезке АО (черт. 37), то, в силу леммы 1, точка в в' В' лежит иа отрезке А'О, т. е. отрезок в А'В' ие пересекается с прямой а, а следовательно, точки А и В лежат по ( ( о.иу сторону от а, Лемма 11, Пусть точки А и В прямой а проектируются с помощью Черт. 37. одного пучка параллельных в точки А' и В' прямой аь, а с помощью другого пучка параллельных — в точки А" и В" той же прямой а".
Если иа отрезке АВ ие лежит точка пересечения прямых а и аа (в частности, если эти прямые параллельны), то точки А', А", В', В" расползгаются иа а" так, что В" следует за В', коль скоро А" следует за А'. В силу следствия из леммы 1, пары проекций А', В' и А", В" находятся либо обе по одну сторону от прямой АВ, либо но разные стороны от иее. Рассмотрим первый случай и положим сначала, что точки А" и В' лежат по одн сторону от А'. Допустим, что лемма неверна, т, е.
что точка Ва лежит по ту же стооону от В', что и А' (черт. 38). Прямая АА", в силу аксиомы 1Йа, пересекает ВВ' в некоторой точке, скажем, Р. Так как точки В' и А" лежат по одну сторону от А', то луч АА" лежит по ту же сторону от АА', что н прямая ВВ', а следовательно, точка Р лежит на луче АА". Точка Р, принадлежа лучу АА", должна лежать по ту же сторону от АВ, что и точка А", а следовательно, в рассматривземом случае, по ту же сторону, ВВ'. что то и точка В'; таким образом, точка Р лежит иа луче В'.
В этом случае В' и В" лежат по одну сторону от АВ и ВФ лежит по ту же сторону от ВВ', что и А', т. е. что н А. Поэтому точка В', а значит, н луч ВВ" лежат внутри угла АВВ', иа сторонах котооого находятся концы А и Р отрезка АР и, следовательйо, луч ВВ" должен пересечь отрезок, принадлежащий параллельной ему прямой АА". Мы пришли к противоречию.
Положим теперь, что точки А" и В' лежат по разные стороны от А'. Утверждение,' что лемма 11 неверна, означзет в этом случае, что точки А", А', В', В" могут располагаться иа прямой.аа в указанном порядке. Ио при таком ва в' в Черт. 39. Черт. 38, расположении (черт. 39) луч ВО прямой ВВ", дополнительный к лччу ВВ", проходит по ту же сторону от ВВ', что и прямая ААг, а луч АР прямой АА", дополнительный к лучу АА', лежит по ту же сторону от АА', что и прямая ВВ'.
С помощью рассуждения, совершенно аналогичного прелыдущему, докажем, что в таком случае прнмые АР и ВО пересекаются, т. е. придем к противоречию, Во втором случае, когда пары точек А', В' н А", В' отделены друг от друга прямой АВ, а следовательно, и точкой С пересечения прямых а и аа (черт. 40),справедливость леммы очевидна. 30 д, гильберт пгнмкчлння (65) Докажем теперь, что если Ь > а, то Ь-1-с> а+с. Производим следуюшие построения (черт.
41). Йа стороне Ох угла хОу откладываем отрезки ОЕ=1, ОА=-а, ОВ=Ь, ОС=с, На другой стороне Оу того же угла откладываем отрезок ОЕ' = 1 и проводим прямые АА')(ВВ'((РЕ',САГ((ОЕ' иЕР',(АЯ ((ВВ((ОЕ. йусть прямые Е'Р, А О, В'Я пересекают прямую САГ (они ей не параллельны в силу аксиомы !т7») в точках Мы Мэ, Мз. Из е г л е с и е г е э е ее»а се Черт. 41. Черт. 40. точек Мп Мэ, Ма проводим прямые, параллельные ЕЕ'. Пусть эти пртмые пересекут ОЕ в точках Н, К, Е. Согласно определению сложения, мы будем иметь: ОН=с+1, ОК=с+а, ОЕ=с+Ь.
Условимся записывать точки оси Ох всегда в таком порядке, при котором точка Е следует за О. Так как Ь > а, то по определению (и в силу предыдушего условия) В следует за А. Согласно лемме 1, точки С, Н, К, Е должны быть расположены на пряной ОЕ в том же порядке, что и точки С, М, М, М 1 2 э на прямой САг, а значит, в том же порядке, что й точки О, Е', А', В' на прямой ОЕ', а значит, в том же порядке, что и точки О, Е, А, В прямой ОЕ. Последнее утверждение означает, напр мер, что точка Н лежит между С н К, если точка Е лежит между О и А; но из этого утверждения отнюдь ешй нельзя заключить, что точка Н следует за С, когда все точки, взятые на оси Ох, будут записаны в условленном порядке (т.
е. так, что Е следует' за О), Последнее заключение следует иэ леммы П. Действительно, прямая Е'Р парзллельнэ ОЕ, а потомч к точкам О, Е, С, Н, служащим проекциями точек Е' и Мь применима лемма !1, т. е. Н следует за С. Теперь доказано, что порядок следовании точек С, Н, К, Е На осн йх'будет такам же, как у точек О, Е, А, В,не только с точностью до замены на обратный (что было доказано выше), но и совершенно точно. А так как В следует за А, то Е следует за Д, чем н доказывается требуемое. пгимкчлння [65 — 67~ Докажем теперь, что если а > Ь и.с > О, то ас > Ьс (черт.
42). Откладываем отрезки ОЕ=ОЕ =1, ОА=ОА'=а, ОВ= =ОВ'=Ь (так, чтобы при этом АА')) ВВ'() ЕЕ) и ОС= с так, чтобы точна О не лежала на отрезке ЕС (т. е. с > О) Далее, из точки С проводим прямые, параллельные ЕА' и ЕВ'. Пусть эти прнмые пересекают ОЕ' соответственно в точкзх К' и Е. По определению умножения, ОК' = ас и ОН = Ьс. Так как на отрезке ЕС нет ни одной точки прямой ОЕ', то, в силу леммы П, Е' следует за К', если В' следует за А', что и требовалось фактически доказать. ел (ы) Во всех этих соглашениях сле- ерт. 4 .
дует иметь в виду порядок множителей. Например, системы (и:и:ю:г) и (иа:иагшагга) ие представляют одной н той же плоскости. (т] Наметим путь проверки аксиом ! и 1У . ч Пусть в некоторой числовой системе законы 1 — 11 й 13 вы. полнейы; другими словами, числовая система представляет собою некоторое поле (вообше говори, некоммутативное). Нам придется установить сначала некоторые соотношения из алгебры этого поля. Р.ссмотрим линейное преобразование произвольных элемен- ов поля х, х,..., х в некоторые новые элементы х, хэ,..., х по закону: х' = апхт+амхт+ .
° ° + аз»х» хт — — аттзт+ а ~ха+ ° ° ° + азах» х» —— а»тхт+ аютт+ . + а»»х»' Коэффициенты преобразования (из того же поля) предполагаются стоящими слева, что в некоммутативном поле суШественпо. Нас будет интересовать вопрос о сушестаовании о бр атно го п р ео 6 разо в а н и я того же типа,т.е. вопрос орешении этой системы уравнений относительно х„..., х„. Теория детерминантов в некоммутативную область не переносится, а потому вопрос этот мы должны решить заново. Те оре м а.
Раекосилэкы следующие утверждения: 1) ке сущестаует такил. значений хь хэ, ..., х„(из которых хоть одно отлично от нуля), которые обращают Ф э нуль хт, хя, ..., х„одяоереженко; 30» 469 пгимкчдния (67) пгимкчлння (67), 2) ке существует таких элементов Ь|, Ьг, ..., Ь„(из «о- торых хоть один отличен от нуля), чтобы имело место Ь|х + Ьгхх+... +Ь„х„'=0 при любом выборе зкпчеяий х|, хг, ..., х; в 3) преобразование (1) обратимо. Лругими словами, для него можно указать преобразовакие вида х! —— - а!!х|+... + а,„х'т (2) е такими козффициектами а|р что система (1) в точности зквивалектяа системе (2), т.
е. когда удовлетворе«а одна, удовлетворе«а и др)мая. Заметим, между прочим, что утверждение 1 означает, что столбцы матрицы (1) линеййо незавнснмы с п р а в а, а утвер- ждение2 — что строки матрицы (1) линейно независимы слева. В коммутативном случае утверждения 1),2) и 3)разнося|раны необращению в нуль детерминанта преобразования. Для п = 1 преобразование имеет внд; х! — — ах|, и ка- ждое нз трсбований 1), 2), 3) означает, ойевндно, одно н то же: и т О. Заметим, что, в силу закона 5 $ 13, для а ~ 0 существует такое число — его мы обозначим а-1,— что аа-1= — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
