Степаненко И. Основы теории транзисторов и транзисторных схем (1977), страница 11

Как видно из (1-41) и (1-42), р ав и о вес ноге времена экизни электронов и дырок в общем случае резко различна. Это объясняется тем, что скорости рекомбинации обоих типов носителей одинаковы (так как они рекомбинируют парами), а концентрации но и р, могут различаться на много порядков. С использованием времени жизни условие равновесия (1-40) запишется следующим образом: (1-43) т» тр о Еще одну форму записи того же уравнения (1-40) можно получить, нсполь. вуя вероятности нахождения электронов и дырок в той или иной зоне. Рассмотрим отдельно запись левой н правой частей (1-40) прн таком методе.

Пусть вероятность наличия электрона в верхней части валентной воны есть Р„э. Тогда вероятность наличия дырки в той же части зоны будет 1 — Раэ. э Отопил следует„что коэффициент рекомбинации г есть вероятность аа. хвата элентрона в единицу времена п р и еда ни ч ной ко н не нтр анин дырок. Такой вывод подтверждается структурой коэффициента г Яг г=п, от, где пмвф — эффективное сечение захвата электрона о д н и и из атомов, содержащих дырки; ог — средняя тепловая скорость влектронов (1-27). Если иэ этого равенства выразить концентрацию дэ и подставить ее в левую часть (1-40), то величину»пер» можно записать как скорость рекомбинации электронов: )~за= Сзйвэ(1 сз ).

(1-44а) Коэффициент С„= гМ по аналогии с величиной грм рассмотренной при юлюде (1-41а), есть вероятность захвата электрона в единицу времени при р„= Хе, т. е, пРи Условии, что веРхнва часть валентной эоны пРотЯженностью 4». пуста. Обратная величина Сз)г = т„есть среднее время жизни электронов при том же условии, т. е. в ярко выраженном (идеальном) дырочном полупроводнике, Время жизни г, в отличие от т„пе зависит от концентрации подвижных носителей, т.

е. является параметром м а те р и а л а. Исполыуя вероятность наличия электрона в нижней части зоны проводимости Г„, = пэ/Мм можно записать левую часть (1-40) как скорость рекомбинации д ы р о к: ~рэ Сгпре~ (1-44б) где С „= гК» — вероятность захвата дырки при и = г)„т. е. при условия полностью заполненной нижней части воны проводимости протяженностью ~р Обратнав величина С„-,~ = т „есть среднее время»кивни дырок в ярко выраженном (идеальном) злектройном полупроводнине, не зависящее от концентрации подвижных носителей.

Поскольку величины г1 и г1» одного порядка (см. 4 1-5), времена жизни т,м п т тоже близки друг к другу, хотя и могут различаться в несколько раэ. Правую часть (1-40) можно представить в такой же форме, как (1-44), если рассматривать генерацию носителей как»обратную рекомбийацню». Соответственно скорость генерации можно записать либо как скорость генерации злектонов: Р д =С„хр) (1 — Р„,)=с„хй(„ (1-45а) лйбо иак скорость генерации дырою и»а='Спх~~с~л» Срх)'» (1-45б) Коэффипиеиты С„и Спи — вероятности генерации соответствующих носителей при условии, что зона проводимости пуста, а валентная зова звполнена. Значения С„ и С >и близки друг к другу.

Уравнение (1-40) можно записать в разных формах, приракнивая выражения (1-44) и (1-45). При этом устанавливается однозначная связь между коэффициентами С и С : и' ад лп»1 т (1-4ба) с =с р 5)с и =Х»е ° -п,)эг (1-46б) х Буква Р с черточкой означает »интегральную» вероятность, поскольку Речь идет о наличии электронов или дырок на л юбо м из уровней воны (в интервале йю отсчитанном от граничного уровни). тогда как буква г без черточки означает вероятность наличия носителя иа о и р е д е л е н и о и уровне воны (см.

4 ).й). Вта веРоатносп х Равна отношению фактической концентРации дыРок Рэ к концентрации Х: сл»= р»/)ч» Выражения (1-46) позволяют записать скорость генерации в виде яе — гу,у,~ %»(%к. Таким образом, сушность «вероятностного метода» сводится к следуквцему: скорость рекомбинации записывается как произведение концентрации рекомбинируюших носителей на вероятность наличия д р у г о г о типа носителей в соответствуюшей зоне; козффицнент пропорциональности С, равен вероятности рекомбинации (в единицу времени), когда условия рекомбинации оптимальны, т. е. когда верхняя часть валентпой зоны пуста (в случае рекомбинации злектронов), либо когда нижняя часть зоны проводимости полностью заполнена (в случае рейомбинации дырок).

Аналогично записывается скорости генерации носителей. Обе скорости можно приравнять и установить связь мегкду козффициеятами пропорциональности. йеравиовесиое состояние. В неравновесном состоянии, когда скорости генерации и рекомбинации неодинаковы, происходит накопление (или рассасывание) неравновесных носителей со скоростью, определяемой разностью д — (т: "-„";=Ь-~(пр); (1-47а) -- =аг — г(пр).

(1-476) Неравновесные концентрации п и р можно представить в виде п=п,+Ьп; '( Р=ре+АР. ) (1-48) где Ап, Ьр — избыпючпые концентрации. Знак приращений Лп и Лр соответствует знаку приращения скорости генерации, если эту скорость представить в виде а = аз+ Ла. (1-49) Сохранение нейтральности полупроводника (см. з 1-7) предполагает равенство избыточных концентраций и нх производных: Ля=Ар; (1-50а) »)и Ир »(( бг (1-50б) Условие (1-50б) сразу приводит к выводу, что в чюрмулах (1-47) должно иметь место равенство д„= д„, т.

е. скорости генерации электронов и дырок одинаковы Соответственно уравнения (1-47а) и (1-47б) оказываются идентичными и не имеет смысла анализировать раздельно поведение и з б ы т о ч н ы х электронов и дырок, так как функции Лп (1) и Ьр (() должны совпадать. Поэтому ниже рассматривается только поведение электронов. Подставим в (1-47а) выражения (1-48) и (1-49), учтем (1-40) и согласно (1-50а) заменим Ьр на Лп, Далее положим Лп ч, и„+ р, (чтобы избежать нелинейности уравнения) и выразим концентраций р, и па через времена жизни т„и т„с помощью (1-41).

После этого уравнение (1-47а) можно привести к виду И (Лл) лл — — йл Ж (1-51 а) Если положить Лд = О, получится частный случай, который называется уравнением рассасывания носителей: л (лп) ьп г (1-516) В уравнениях (1-51) через т обозначено неравновесиае время жизни из быто ч н ы х носителей: =( — '.+.—,') '=.:":,) (1-52) в условиях нейтральности неравновесное время жизни о д и н а к о в о для электронов и дырок. Очевидно, чта т ближе к м е н ь ш е м у из двух равновесных времен жизни г„и тр. Например, для электронного полупроводника, у которого йь ~ рь и т„~ тр (см.

(1-41)), получаем т =тр, для дырочного полупроводника, наоборот, т = т„. Иначе говоря, изменение и з б ы т о ч и ы х концентраций происходит с посгоянной времени, близкой к равновесному времени жизни н е о с н о в н ы х носителей. Если Лд = сапе( (ступенчатое изменение скорости д), то решением уравнения (1-51а) будет зкспоненциальная функция Ьн (Г)= — Ьйт+ ~Ьн (О) — Ьйт) е (1-53а) где Ьн (О) — начальное значение избыточной концентрации.

Решением уравнения рассасывания (1-516) также является эспаненциальная функция Лн(г)= Ьн(0)е (1-536) где в правой части стоят мгновенные значения величин. Однако практически удобнее измерять значение Лн в р а з н ы е моменты времени г, и г,; тогда из (1-536) следует: г а Рекомбинации иа ловушках. При ловушечном механизме рекомбинации (см. рис. 1-23) уравнения (1-51) и (1-53) остаются в силе, Уравнение рассасывания и его решение лежат в основе измерений времени жизни (1о). Так, из (1-516) получается общее определение. г= — —, Ьл вл,ж ' (1-54) но время жизни т имеет другой вид. Анализ ловушечной рекомбинации удобно провести «вероятностным методом», т.

е. с помощью выражений типа (1-44) и (1-45). Будем считать, что концентрация ловушек А)г мала по сравнению с концентрацией примесей ', а их энергетические уровни одинаковы и характеризуются потенциалом грь Вероятность заполнения уровня гр«определяется формулой (1-26) при гр = фь т. е. имеет вид «: ! г = о — чг ег 1! (1-55) ол лг =С гтггг С ки (1 гг) г)р — = С„А), (1 — Р;) — С„РРь (1-56а) (1-566) где С„я =- гэ(т', и Сря — — глйгг. Рассматривая с т а ц и о н а р н ы й режим (г(иМ = О; г(рог(( = = О; и = и;, р =- ре), используя для и„и ро выражения (1-7) и подставляя (1-55), можно из (1-56) получить соотношения (1-57а) рг С =С г* по форме такие же, как при непосредственной рекомбинации (1-46а).

Однако в отличие от концентраций и' и р' концентрации иг и рг х В том случае, когда концентрация )тг сравнима с концентрацней прнмесных атомов нлн больше ее, становится недействительным угловне (Ьбба), так как ловушки прн этом не только играют роль центров рекомбинации, но н вносят заметный вклад в общее число свободных носителей наряду с основной примесью (1101, с. 288). Индекс г — от слова (гар (ловушка). > Приближение (1 ба) для функции гг неправомерно, так как уровни тг н ~р часто блнэкн друг к другу н даже совпадают, Согласно рис.

1-23 уровни ловушек в процессе рекомбинации играют роль «валентной зоны» по отна|пению к зоне проводимости и роль «зоны проводимости> по отношению к валентной зоне. Поэтому в формулах (1-44) естественно заменить Г„, и Г на гь а гч, и 1ч', (в выражениях для Сл) на А)ь В процессе генерации совокушюсть з а н я т ы х ловушечных уровней играет роль «залег«гной копыл по отношению к зоне проводимости, а совокупность п уст ы х ловушечных уровней — роль «зоны проводимости> по отношению к валентной зоне.