Степаненко И. Основы теории транзисторов и транзисторных схем (1977), страница 6

1-2); Т вЂ” абсолютная температура; В'я — энергия, называемая уровнем Ферми '. В дальнейшем будет удобнее выражать энергию не в джоулях, а в электронвольтах илн просто в вольтах (численно эти величины одинаковы). Чтобы перейти от одной размерности к другой, достаточно разделить энергии »Р' и иТ на элементарный заряд д (см. табл. 1-2). Сделав такую замену в формулах (1-1), получим: шннстве случаев уровень <рл залегает глубоко, т. е. соблюдаются неравенства ' срс — грп ~срг: (1-4а) тря — %«> грт. (1-46) где гр, и ~р — потенциалы «дна» воны проводимости и «потолка» валентной зовы (индексы происходят от английских названий этих зон: сопдггс11оп Ьапд и па1епсе Ьапд). При температуре Т = О К функция Тл (рис.

1-14) имеет ступенчатый характер, это соответствует уже известным фактам: валентная зона полностью заполнена (Р„ =- 1), зона проводимости пуста (Е„ = О). При температуре ТФОК ступенька функции г'„ сглаживается и получается конечная (хотя и крайне малая) вероятность нахождения электронов в зоне проводимости. Одновременно вероятность нахождения электронов в вапентнои зоне Рис. 1-14.

Платность уровней энергии, ДЕЛаЕтсЯ нЕМНОгО Меньше едифункция нероятности и концентрация нины. В последнем случае носителей в собственном полупроводнике. удобнее пользоваться в е- роятностью отсутст в и я электронов на уровнях или, что то же самое, вероятностью наличия дырок: (1-5) еэг +1 Учитывая неравенство (1-4а), нетрудно убедиться, что в зоне проводимости, где гр — ~рп ) О, экспонента в выражении (1-26) намного превышает единицу и функция Е„упрощается: Р Ю вЂ” Ю Р Е "т (1-6л) Аналогично, учитывая неравенство (1-46), убеждаемся, что и в валентной зоне, где ф — грп < О, экспонента в выражении (1-5) много больше единицы и функция Гр также упрощается: е ю Р» (1-66) э Если обозначить левые части неравенств 11-4) через й, то практически адэт эти неравенства будут означать а ) 2,3 гр, так как тогда а ) 1О л 1 а эт и а < О,! ««,1, что вполне досгаточно для соответствующих пренебрежений н упропсеннй.

Функции (1-6), которые являются частным случаем распределения Ферми — Дирака (для области энергий, достаточно отличных от фя), называются распределением Максвелла — Болт(мана. Это распределение представляет собой основу теории полупроводников. Концентрация свободных электронов в зоне проводимости определяется интегралом п=2 ~ Р(ф — ф,)Р„(ф) йр, вс где подынтегральное выражение есть количество заполненных уровней в элементарном интервале энергий с(ф, расположенном в зоне проводимости, а множитель 2 означает, что на каждом уровне могут (по принципу Паули) находиться два электрона. Подставив (1-2а) и (1-ба) под знак интеграла, после несложных преобразований ' получим: вс ея и = Р(.л 'г (1-Уа) где Хс — — 2 ~ г г ) 0,5. 10'а ( — ") Тх~г — эффективнол плотнсспть состоял й (на 1 смз) в эона проводимости '.

Из (1-7а) следует, что Ыа есть максимально возможная концентрация электронов в невырожденном полупроводнике, получающаяся при условии фг-з-ф,. По физическому смыслу величина К(, близка к плотности энергетических уровней в зоне проводимости (на 1 см') в полосе энергий от ф, до ф, + фг, что можно подтвердить интегрированием функции (1-2а) в соответствующих пределах. Концентрация свободных дырок в валентной зоне определяется интегралом р=2 ) Р 1 — (ф — ф )1Рр(ф)( — йр).

в т В пропессе преобразований интеграл приводится к виду ) е ч) ч с(ч=) и/2, а где ч=(ф ф)(ф . е Если пологхить фг>фы то из ((-7а» следУет качественно правильное соотношение н ) )ч, характерное для вырожденных полупроводни. ков (см. $ 1-6) и металлов. (»днако в атом случае для к о л и ч е с т в е н н о й опенки п выражение (Ы7а) непригодно, так как оно основано на Распрекеленни В»акапелла — Больпмана, которое действительно лишь при фр ( ф (см (( 4а))г Подставив сюда (1-2а) и (1-бб), после преобразований получим: (1-7б) где И, 2( лг ~) ~0 5.101г( — в~ Тг|г — эффективная плотность состояний в валентной зоне 1на 1 сиг). Из (1-7б) следует, что И, есть максимально возможная концентрация дырок в невырожденном полупроводнике, получающаяся при условии «гр -г <р,.

По физическому смыслу И, близка к плотности энергетических уровней в валентной зоне (на 1 смг) в полосе энергий от гГ, до Ч~, — %т. Поскольку энергетические зоны, как правило, имеют несколько экстремумов (см. рис. 1-11), то эффективные плотности состояний, как показывает теория, больше приведенных значений: последние следует умножить на число экстремумов. Так, для кремния и германии, у которых имеется соответственно б и 4 минимумов в зоне проводимости и один максимум в валентной зоне„ получаем данные, приведенные в табл.

1-1. Заметим, что интегрирование до <р = + оь в случае электронов и до <р = — со в случае дырок приближенно, поскольку функция (1-2а) действительна только вблизи границ обеих зон. Однако результат получается правильным, так как функции Г„и р„очень быстро убывают с удалением от зонных границ. Например, на «расстояниях» (4-5) ггг от границы, когда распределение (1-2а) еще соблюдается, функции г' составляют всего около 1% их граничных значений. Заметим еще, что эффективные плотности И, и И, различаются, но не сильно (для кремния и германия Й,7И = 2,8 и 1,7 соответственно).

Поэтому иногда полагают И = И,. Наконец, заметим, что экспоненциальные множители в формулах (1-7) по существу являются в е р о я т н о с т я м и нахождения электронов или дырок в соответствующей зоне, так как величины и/И,, и р /И, суть отношения фактических концентраций к максимально возможным. Легко убедиться, что произведение концентраций пр не зависит от положении уровня Ферми и определяется только температурой и шириной запрещенной зоны: пр = И„.И,в т~®~г — 0,25.

10гг ('— "га) Тгв ~г~~т, (1-8) где Ч, = гс, — Ч~, — ширина запрещенной зоны. Значение гр, несколько уменьшается при увеличении температуры с температурной чувствительностью 3 104 и 4 ° 10 г В/'С соответственно для кремния и германия 1101. Из формул (1-7) легко получить отношение концентраций следующем виде: г(е — чр) н-= — е ег (1-9) Р рте где — потенциал середины запрещенной зоны„который иногда назы- вают электростатическим попгеит(иолом полупроводника 121. 1-6. УРОВЕНЬ ФЕРМИ Уровень Ферми, как мы убедились, играет важную роль в теории полупроводников, а значит, и полупроводниковых приборов.

Поэтому имеет смысл уточнить это понятие. Уровень Ферми выше считался известным, с его помощью вычислялись концентрации свободных носителей. На самом же деле уровень Ферми является функцией этих концентраций, а концентрации предварительно оцениваются из тех или иных соображений (см. 5 1-7). Величина Фр определяется теми интегралами, из которых получены выражения (1-7)..Используя (1-2б) и (1-5), эти интегралы легко привести к виду — =тр (1-10) .1' и б' е1 (г'ег)+1 где для электронов Ч.=(Ф вЂ” Ф)/Фг, У =Фр — Р; т.=п7Р( а для дырок Чр =- (Фе Ф)7Фг' Хр = Фе — Фр~ тр = Р!7(з. Величину у,, определяемую интегральным уравнением (1-10), в статистической физике называют химическим потенциалом Ь, 9). Физический смысл этой величины состоит в следующем.

Химический потенциал является однозначной функцией концентрации соответствующих частиц. Поэтому наличие разности химических потенциалов означает наличие равности концентраций, а разность концентраций, естественно, вызывает перемещение — диффузию частиц в направлении от большей концентрации к меньшей.

Таким образом, химический потенциал характеризует в о з м о ж н о с т ь диффузии свободных частиц (заряженных или незаряженных), подобно тому как электрический потенциал характеризует в о 3- и о ж н о с т ь дрейфа свободных частиц (если они являются носителями заряда) г. т и физике полупроводников дреафом называют движение зариженнык частиц в электрическом поле, Учитывая приведенные выражения для Х„и Х„, приходим к выводу, что потенциал Ферми, отсчитанный от границы той или иной зоны (т'. е.

без учета потенциальной энергии), есть химический потенциал соответствующих носителей. В общем же виде потенциал Ферми есть алгебраическая сумма электрического и химического потенциалов: М=%+Хл' (1-11а) грр= Ч» Хр (1-11б) Отсюда следует еще одно название величины фр — вле»строхимический потенциал.

Градиент потенциала Ферми, будучи суммой градиентов электрического и химического потенциалов, позволяет одновременно характеризовать оба типа движения носителей — диффузию н дрейф. Как следствие в условиях равновесия, когда направленного движения носителей нет, должно иметь место условие пгад ~рр = О, т. е. ~рр= сопз1. Постоянство (егоризонтальность») уровня Ферми в равновесной системе является одним из фундаментальных соотношений теории твердого тела. Заметим, что условие ~рр —— сопз1 не означает постоянства каждого из слагаемых щ, и Х„или ~р и Хр. Иначе говоря, в равновесной системе могут иметь место градиейты электрического и химического потенциалов и соответственно дрейфовые и диффузионные потоки носителей, но эти потоки должны взаимно уравновешиваться 1боль»(маковское равновесие) . Чтобы выразить химические потенциалы у и Х, а вместе с ними и потенциал Ферми через концентрации и и р, нужно решить интегральное уравнение (1-10).

В общем виде интеграл в левой части не берегся, однако в двух важных частных случаях получаются простые решения 15, 7). 1. Положим Х( 0 и 1Х( ~~»срт. Тогда, пренебрегая единицей в знаменателе подынтегрального выражения, легко получаем простое уравнение ех'~г =ч, решениями которого будут химические потенциалы (1-12) Х =<рг1п —.

Р и„' Учитывая исходные предпосылки относительно Х, приходим к выводу, что попученные решения справедливы при условии ч ч 1 (практически при ч ~ 1). Полупроводники, у которых выполняется это условие, т. е. концентрация свободных носителей меньше эффективной плотности состояний в разрешенной Термин «уровень Фермин обычно используется для равновеснбго состояния системы, в котором значения (1-13а) и (1-136) совпадают.