Степаненко И. Основы теории транзисторов и транзисторных схем (1977), страница 8

Если выразить концентрацию примесей через удельное сопротивление (см. 2 1-8), то после преобразований формулу (1-226) можно записать в палуэмпирической форме: Концентрация дырок в этой области получится из соотношения (1-19б) при )тд' =- Жл: (1-24б) Подставляя найденные значения концентраций в формулы (1-18), легко получить уровень Ферми в области высоких темпе- ратур: тря=фа+Юг)п~ ~ 1 — -) + 1 + — ~. / (йгд 1а )уд ) :12л; / йлД ' (1-24 в) Очевидно, что выражения (1-24) являются обобщениями выражений (1-21).

Если в выражении (1-1йб) положить р = О, подставить в него Ж«из (1-205) д и решить получающееся квадратное уравнение относительно л, то концентрация электронов в области н и з к и х температур (Т ( Тд) имеет вид: л=~(//( — ') + — '" е ' — — '~д ' . (1-25а) В области с в е р х низких температур, когда можно превебречь членами )Ч,/4 [атому случшо соответствует пренебрежение единицей а знаменателе (1-20б), т. е, условие )у*„«; И 1, формула (1-25а) упрощается и переходит в следующука ~/ «ч«1Уд гфг (1-256) Таному значению концентрации л соответствует согласно (1-1За) уровень Ферми: гр„ф, д'д ф =гр — — + — 1и —.

и — « 2 2 2Х» (1-25в) Нетрудно убедиться, что шкледнее слагаемое в формуле (1-25в) стремится к нулю, когда Т-«О, т. е. уровень Ферми прн нулевой температуре расположен посередине между уровнем доноров и дном зоны проводимости. Полезно также заметить, что формула (1-25б) имеет большое структурное сходство с формулой (!.15): по существу плотность уровней Х заменена нонцентрацией 1«д, а ширина запрещенной зоны ф = ф« — ф.,— шириной «запрещенной зоньй ф«д —— =- ф« — грд. Такой результат вполне естествен, поскольку в области сверхйиэ. ких температур собственные носители практячески отсутствуют и «поставщнкома электронов являются только донорцые уровни, играющие роль валентной воны.

Мы рассмотрели коьщентрацию носителей для отдельных участков температурного диапазона. ОГ«цее выражение для концентрации л и с твенно для величии р и гр. можно найти, подставив в (1-105) значение йге (1-20б) и значение р из (1-16). Получающееся при этом полное кубическое уравне е относительно л в принципе решается, во решение слишком громоздко и им чисто теоретическое авачеиве.

Случай дырочного полупроводника, в котором р ~ь п, нег необходимости рассматривать столь же подробно. Главные особенности акцепторной примеси видны из рис. 1-16. Если акцепторы полностью ионизированы и температура ниже критической, то вместо формул (1-21) получаем аналогичные соотношения, характер- ные для ярко выраженного дырочиого полупроводника: Р=А1а,' (1-26 а) п = и,'!Л',; (1-2бб) грл= гре — грт 1и —. = гр — грт!п —. и 1Уа (1-2бв) ггг 1Ч„ Как видим, уровень Ферми лежит тем ниже, чем больше концентрация акцепторов и чем меньше температура. Остаются в силе понятия температуры ионизации и критической температуры.

Для их определения в формулах (1-22) следует ЗамЕнить А!а на Йаа 1а)а на 1')„и гР,„На гР„. Аналогичная замена параметров в формулах (1-24) и (1-26) позволяет найти концентрации в области высоких и низких температур и затем определить уровень Ферми. (Ре1 'г'Е1 Рис. 1-17. Зогшне диаграииы неоднородного полупроводника (а) и однородного полупроводника при наличии внегянего алектрического поля (6). Все предыдушне зонные диаграммы соответствовали однпраднылг полупроводникалг, в которых примеси распределены совершенно равномерно.

Разумеется, однородный полупроводник является некоторой идеализацией. Более того, часто специально создают неоднородность внутри кристалла в виде градиента концентрации примесей, что придает полупроводнику свойства,' необходимые для ряда приборов. Посмотрим, каковы особенности неоднородных полупроводников.

Пусть, например, в полупроноднике типа и концентрация доноров изменяется от А1, до Аг„ < )Ум. Согласно (1-21в) разность гре — гре уменьшается с уменьшением концентрации й)а. Поскольку в равновесной системе уровень Ферми во всех ее частях одинаков, зонная диаграмма должна иметь такой вид, как на рис. 1-17, а.

Электростатический потенциал гре вдоль неоднородного полупроводника меняется. Следовательно, в неоднородных полупроеодн х имеются в н у т р е н н и е электрические поля, в которых возлгсяген дрейф носителей. Однако в отсугствне в и е ш н е г о поля дрейфовые потоки носителей равны противоположно направленным диффузионным потокам тех же носителей, обусловленным градиен- том их концентрации (в общем случае —.

градиентом химического потшщиала). Поэтому результирующий поток отсутствует и соблюдается больцмановское равновесие (см. 5 1-6). Для сравнения на рис. 1-17, б показана зонная диаграмма однородного полупроводника при наличии внешнего электрического поля (напряженность Е = Йрл/г(х та же, что и на рис. 1-17, а). Если в силу условия квазинейтральности принять концентрации носителей неизменными вдоль оси х, то будут неизменными и химические потенциалы, т. е.

«расстояния» уровня грл от краев разрешенных зон. Тогда согласно (1-18) получаем г(грл/г(х = =г(грн/г/х,т,е. имеетместо градиент уровня Ферми, как и должно быть прн нарушении равновесия (внешнее электрическое поле вызывает протекание тока) '. Наличие градиента уровня Ферми обусловливает принципиальное отличие данного случая от предыдущего (рис. 1-17, а) несмотря на внешнее сходство «перекошенных» ванных диаграмм. Заметим, что наличие внутреннего электрического поля, вообще говоря, означает нарушение условия квазкнейтральности, однако если поле почти постоянное, то объемные заряды не существенны. Все сказанное действительно и для полупроводника типа р с учетом специфики расположения уровня Ферми. Легко, например, убедиться, что при убывании концентрации акцепторов слева направо зоны искривляготся не вверх, как на рис.

1-17, а, а вниз. Зонные диаграммы неоднородных полупроводников строятсн по формулам (1-21в) и (1-2бв). 1-8. ПОДВИЖНОСТЬ НОСИТКЛЕЙ Удельная проводимость любого тела зависит не только от концентрации носителей, но и от их подвижности в электрическом поле. Подвижность носителей, по определению, есть их средняя направленная скорость в электрическом поле с напряженностью 1 В/см.

Соответственно дрег1фозую скорость можно записать в виде п,р — — г»Е, Постоянство дрейфовой скорости носителей в однородном поле (Е сопя() специфично для твердого тела, где имеются различные «препятствия» движению. В вакууме, где таких препятствий нет, движение заряженных частиц в однородном поле равноускоренное, т. е. понятие дрейфовой скорости отсутствует. Направленное движение носителей в твердом теле под действием поля сочетается с их хаотическим (тепловым) движением. Последнее характери- г Отрипзтельио заряженные злектроны, которые двигзются против поля, можно представить себе нз диаграмме в виде тяжелых шариков, «сизтывзющихся» по наклонному дну зону проводимости.

Положительно заряженные дырки„ которые двигзются по полю, можно предстзвить себе кзк легкие пузырьки, звсплывзющисз но нзклонному потолку «жидкойз валенпюя зоны. зуется средней тепяаеой скоростью .,-Ь з~тм. (1-27) зависящей от температуры. Если принять Т = 300 К и и* = т, то иг =10' см/с.

При не слишком сильных электрических полях дрейфовая скорость намного меньше тепловой или, как говорят, температура носителей определяется температурой кристаллической решетки. В этих условиях подвижность можно выразить формулой р= — -1 о е 1«р «р ~а (1-28) т где 1, — среднее время свободного пробега частицы; 1,р — средняя длина ее свободного пробега (для кремния и германия 1,р —— = (2 —: 5) 10 ьч с и 1,р = 0,02 -г- 0,05 мкм. Величины 1,р и 1, характеризуют частоту столкновений носителей с теми илн ийыми «препятствиямн>. В результате таких столкновений происходит изменение скорости и направления движения носителей, т. е. их рассеяние. Теория показывает (7, 10), что при нулевой абсолютной температуре в идеальной кристаллической решетке рассеяние не имеет места.

Иначе говоря, атомы решетки как таковые не являются препятствием на пути движения носителей. Истинными препятствиями являются лишь к о л е бл ю щ и е с я атомы решетки (в корпускулярной интерпретацни— фононы), а также атомы примесей и дефекты структуры. В области очень низких температур интенсивность тепловых колебаний мала, количество фононов незначительно и рассеяние обусловлено главным образом дефектамн решетки и н е й т р а л ьн ы м и примесями (нейтральность примесей является следствием низкой температуры, меньшей температуры ионизации).

В области обычных рабочих температур рассеяние обусловлено главным образом фононами и и он из и р о в а н н ы м я примесями. В этой области подвижность р можно представить состоящей из двух компонентов рс и рп связанных с реэультирую. щей подвижностью формулой ' и + и (1-29) Очевидна, что результирующая подвижность определяется н а н м е н ь ш и м из компонеатов )хс и )ьп Анализ показывает 12, 4, 7, 10), что при решето ч н о м рассеянии 1,р 1/ (т*) ' Т. Тогда из (1-28) с учеюм (1-27) следует соотношение (т*)-а~а 7 -а~а (1-ЗОа) > Инленсы Ь н 1 врон«ходят от начальных буна в словах Ьа1аса — решетка н 1оа — нон. При 'и о и н о м рассеянии получается соотношение т: пг (иа)-ма Т"У-' (! -306) где йà — концентрация ионизированной однозарядной примеси. Из соотношений (1-30) видно, что подвижности рс и рп а следовательно, и результирующая подвижность р обратно пропорциональны эффективной массе.