Степаненко И. Основы теории транзисторов и транзисторных схем (1977), страница 7

В неравновесном состоянии значения (1-13а) и (1-13б), вообще говоря, различны, тогда их называют соответственно каазиуроаннмн Ферми для электронов и для дырок: ~рп и «рп 12). $-7. ЕОпцентРАция нОсителей В собственном полупроводнике концентрации свободных электронов и дырок одинаковы: и = р. Тогда из формул (1-9) и (1-13) следует, что при любой температуре уровень Ферми собственного полупроводника расположен вблизи середины запрещенной зоны (см. Рис, 1-14), т. е, ~рп, = <рне.

Подставляя и = р в формулу (1-8), легко получаем концентрации свободных злектро нов и дырок в собственном полупроводнике (индекс 1 от английского слова 1п1 г(пз(с — настоящий): ни ч'в и =р =)/К)т) и тот=0,5.10«е( ~") Та~та '"т. (1-16) Равенству концентраций и«и р«соответствует на рис. 1-14 идентичность кривых, характеризующих концентрацию свободных носителей в соответствующей разрешенной зоне. Зависимость собственных концентраций и~ и р~ от температуры очень сильна н обусловлена в основном изменением температурного потенциала в показателе экспоненты, а не степенным множителем ТчИ.

Столь же сильно зависит собственная концентрация от ширины запрещенной зоны при данной температуре. Так„ сравнительно небольшое различие в значении <р, у германия и кремния (0,67 и 1,11 В) приводит к различию собственных концентраций при комнатной температуре более чем на 3 порядка (см. табл. 1-1). Сравнивая (1-8) и (1-15), соотношение (1-8) мспкио записать в более компактной форме: (1-16) ир=и';, которую и будем использовать в дальнейшем.

Соотношение (1-16) говорит о том, что увеличение концентрации одного типа носителей сопровождается уменьшением концентРации другого типа носителей. Так, для электронных полупроводников, у которых и ь иь имеем р ~ иь а для дырочных полупроводников, у которых р,', =иь имеем и ~ иь * Строго говори, срг Рпт Тп+ -д — 1п е1 Рл+О,чсгг, однако вта поправка практически несущественна. Используя формулы (1-16) и (1-7) и полагая Рт', =- Х, нетрудно выразить концентрации и и р через собственную концентрацию и;: ее ее и =- пе ч'т (1-17а) (1-17б) ел ее р=пе и Отсюда легко получить потенциал Ферми в двух формах: гре= гре+ грг 1п —; (1-18а) (1-18б) гре= грв — грг1п —, Р лг С помощью выражений (1-18) легко еще раз убедиться в том, что у электронных полупроводников, у которых и ы пг и р 4 пь Рис.

1-16. Плотность уровней энергии, функния вероятности и коннентрании носителей в примесвом полупроводнике р-типа. Рис. 1-15. Плотносп уровней энергии, функния вероятности и конпентрания носителей в примесном пслу- проводнике л-типа. уровень Ферми лежит в верхней половине запрещенной зоны (рис 1-15), а у дырочных полупроводников, у которых р,>~ пг и п = пы — в нижней половине запрещенной зоны (рис.

!-16) «. Для того чтобы определить потенциал грв по формулам (1-13) или (1-18), нужно знать концентрации свободных носителей. При оценке значений и и р используют условие нейтральности (точнее, к в а зинейтральностн) полупроводника. Зто важное условие обосновано в работах (2, 11) (см. также й 1-12) и формулируется следующим образом: в однородном полупроводнике не может былие суи(есгпееннвгх некомпенсироеанных обьемных зарядов ни в равновесном состоянии, ни при на ичии тока.

Поэтому в общем виде * Поскольку энергетические уровни нримесныя атомов совпади«от, пл«пность »тик уровней на диаграммак карактеривуется бесковечио уакими и бесконечно высокими «пикамн«, олыпадь которых равна коннеитрапии доноров или акпепторов. Математически такие «пики» описывается б.фун"и"ей фз д И ел — ед 'гг +1 (1-20 а) Подставляя в (1-20а) значение грл из (1-13а), после небольших преобразований получаем: Фд л 2. — ееадгет+! )чд х Ионизация примеси может быть либо следствием перехода носителя в одну из разрешенных зон, либо захвата его примесью другого типа (см.

рис. 1-13). з В качестве функции гд использовано общее выражение (1-26), поскольку расположение уровни Ферми относительно уровня доноров не ограничено условиями типа (1-4) и, следонательно, использование упрощенного выражения (1.ба) недопустимо. Коэффициент 2 нри экспоненциальном члене является результатом более строгого анализа (см. 161). условие нейтральности для единичного объема записывакгг так: р+ ӄ— (и+ ))1;) =. О, (1-19а) где Флз, !!1," — концентрации ион и з и р о в а н н ы х доноров и акцепторов '. Уравнение (1-19а) говорит о том, что концентрация частиц, несущих положительный заряд (дырки и ионизнрованные доноры), равна концентрации частиц, несущих отрицательный заряд (электроны и нонизированные акцепторы).

Для электронных полупроводников, не содержащих акцепто- ров, и =))!„"+ р. (1-19б) Для дырочных полупроводников, не содержащих доноров, р=))1",+и. (1-! 9в) В случае равновесного состояния к уравнению (1-196) легко прийти путем следующих рассуждений. Разделим концентрацию свободных электронов на дзе часты: и=ид+и, гле концентрация ид обусловлена электронами доноров, а концентрация и электронами валентной зоны.

Так как уход каждого электрона из валентной эоны сопровождается образованием дырки, то и„= р. Так квк уход электрона с до- норного уровня сопровождается образованием ионизированного донора, то л = )тэ, где )тэ — эффективная концентрация ионизированных доноров. С уче- л д' д том этих согиношений равенство и = и„+ ие переходит в условие нейтраль. ности (1-196). Аналогичные рассуждения для дырочного полупроводника приво- дят к условию (1-19в). Прежде чем использовать уравнения (1-19), необходимо опре- делить концентрации ионизированных примесей. Значение й!д можно найти из следующих соображений. Вероят- ность заполнения донорного уровня <рд равна г'„(<рд). Тогда 1 — г"„(фд) есть вероятность отсутствия электрона на донорном уровне, т.

е. вероятность ионизации донора. Умножая эту вероят- ность на Ф„находим искомую концентрацию ионизированных доноров з: Здесь ф,» =- р, — ф» — «расстояние» между донорными уров. ними и зоной проводимости, которое можно назвать остен«(иолом ионова«!ии доноров. Учитывая, что вероятность иониззции акцептора есть вероятность заполнения акцепторного уровня, т. е.

Г„ («р,), нетрудно получить аналогичные выражения для концентрации ионизированных акцепторов !ч'",. Для этого в формулах (1-20) достаточно заменить «««, на )у„ фе — ф, на ф, — фе, о на р, !1, на М, и «р,„ на ф где «р = ф« — ф, — потенциал ионизации акцепторов. Перецдем непосредственно к оценке концентраций свободных носителей. Рассмотрим сначала электронные полупроводники.

В типичном электронном полупроводнике выполняется неравенство о,л р. Кроме того, в рабочем диапазоне температур донорные атомы практически полностью ионизированы, т. е. й«;, = Й«. Тогда из соотношения (1-196) получаем концентрацию свободных электронов: (! -21а) которая, как видим, определяется концентрацией примеси и, сле- довательно, не зависит от температуры. С помощью (1-16) легко получаем концентрацию свободных дырок: р = о»«/)у„ (1-21б) которая согласно (1-15) очень сильно — экспоненциально — зави- сит от температуры. Наконец, из (1-!8а) или (1-13а) находим уро- вень Ферми в типичном электронном полупроводнике: Жд И» фе= фе+ фг ! «« —" = ф«+ фг(п ол ° « (1-21 в) Выражение (1-21в) позволяет сделать вывод, по уровень Ферми лежит тем выше, чем больше концентрация доноров и чем ниже температура.

Простые формулы (1-2!) широко используются на практике. Однако следует иметь в виду, что они действительны в ограниченном температурном диапазоне: с понижением температуры степень ионизация доноров уменьшается и принятое равенство Л'« = )Ч« становится менее строгим. С повышением температуры увеличиваегся концентрация собственных носителей и постепенно нарушается принятое неравенство о» р (электронный полупроводник превращается в собственный). Обозначим через Т, и Т, нижнюю и верхню«о границы температурного диапазона, в котором действительны формулы (1-21); назовем Т, температурой ион««за«(ии примеси, а Т, — критической те»тературой полупроводника.

Положим, что полная ионизация соответствует условию Лк = 0,9 !»'„. Тогда из выражения (1-206), в котором можно принять о = Ф„* = 0,9 й!к, находим температуру ионизации в следующей неявной форме г: )чс (Г,) грг (Тг) 1п 16дг грга Л (1-22 а) Это трансцендентное уравнение решается методом последовательных приближений. Подставляя для германия гр„= — 0,01 В и полагая йга = 10"„получаем Т,=64 К. Для кремния при гр„= 0,05 В и той же концентрации Л'а получается Т, = 145 К. С увеличением концентрации доноров температура ионизация возрастает, но практически она всегда меньше нижней границы рабочего диапазона полупроводниковых приборов ( — 60"С или 213 К).

Положим, что превращение примесного полупроводника в собственный соответствует условию и = 100 р. Тогда нз (1-16) легко находим: и = 1О и;; р =- и,/10. Если подставить эти значения в (1-196), принять Лгл = Уд, а концентрацию и; выразить с помощью (1-15), считая )г) = Х,„то после преобразований получим критическую температуру в форме, аналогичной (1-22а) '.

(Т ) 1 1агчс (г ь) чл г я дг (1-22б) Т,('С) =273) — 1), гт+!я р (1-23) где для кремния М = 10; т = 4,53; для германия М = 6,6; т =- = 4,63, а р выражено в Ом см 1121. Оценим концентрацию носителей и уровень Ферми за границами температурного диапазона Т, — Та. Если в выражении (1-196) положить гтй = Л'л", р =- п';/и и решить получающееся квадратное уравнение относительно и, то концентрация электронов в области в ы с о к и х температур (Т ) Т,) примет вид: (1-24а) 1 Допущение и — Уь вытекаег на (1-19б), поскольку В области иванна д температур неравенство и ~ р сохраняется и даже усиливается. а ДопУщение )гг~~= да опРавдано тем, что в области высоких темпеРатУР степень иониаации доноров согласно (1-2аа) воарасгаег. В 4юрмулу 11-22б) подставляют вначепия гр с учетом температурной чувствительнссги (см.

с. 2б) ° Для германия с концентрацией доноров Уа = 10га получается Т, = 360 К, т. е. около 90'С. Для кремния при той же концентрации примеси критическая температура существенно выше и составляет окало 250'С. Эта ив яетея одним из важнейших преимуи)еств кремния кик мипгериала для полуправодниковьгх приборов. С увеличением концентрации доноров критическая температура растет.