Степаненко И. Основы теории транзисторов и транзисторных схем (1977), страница 14

(1-78б) тл В том случае, когда поле отсутствует или когда его ролью заведомо можво пренебречь, полагаем Е = О. При этом выражения 1 Легио заметить, что уравнения непрерывности являются развитием уравнений накопления и рассасывания (1-47)„ Последние рассматривают явления только во времени длн заданной точки, тогда как первые благодаря наличию члена дш / рассматривюот явления н ио времени, и в пространстве и потому явлнются уравнениями в частных производных 1см. (1-7В) и (И9)1. (1-78) упрощаются и носят название уравнений диффузии: др Р Ро дор — — + 17 —.

дг тл Рде' ' (1-79а) до л — ло дол (1-796) то Уравнения (1-79) позволяют достаточно строго анализировать многие типы полупроводниковых приборов. В тех случаях, когда полем пренебречь нельзя, пользуются полными уравнениями (1-78). Если напряженность Е меияегся вдоль оси х (т. е. если в полупроводнике имеется существенный объемный заряд), приходится дополнительно привлекать уравненгге Пуассона, которое в одномерном случае имеет вид: (1-80) где Х вЂ” плотность заряда ', ео — электрическая постоянная (табл.

1-2); з — отиоситтльяая диэлектрическая проницаемость. В общем случае Х = г) (р+ гггд ~— л — гт'",). (1-81 а) Поскольку в условиях нейтральности Х = О, можно считать, что объемный заряд есть следствие и р и р а ще и и я концеитрацийвправойчасти(1-81а). Если с'тепеиь иояизации примесей иеизмеииа (т.

е. г1г'ао,=сопз1), то Х = гг (Лр — Лл). (1-81б) Решение системы уравнений (1-78) и (1-80) в общем виде невозможно. В каждом конкретном случае приходится вводить те или иные упрощения. В следующих параграфах рассматривается несколько примеров таких упрощенных решений, которые одновременно позволят ознакомиться еще с некоторыми важными свойствами и параметрами полупроводников. $-гз.

ОБЪЕМНЫЕ ЗАРЯДЫ И ПОЛЯ В ПОЛо'ПРОВОДНИКАХ Диэлектрическая релаксация. Пусть в ограниченном объеме полупроводника удалось сосредоточить избыточные коицентрации электронов и дырок, так что образовался объемный заряд с плотностью Л. Под действием возникшего поля заряд будет рассасываться, т. е. носители будут покидать тот начальный объем, в котором оии были сосредоточены. Такое рассасываиие заряда под действием с о б с т в е и и о г о поля носит название диэлектрической релакспг(игг, или релаксации Максвелла.

г В элеитродинаиике плопюеть зарина обычно обозначают через р. В полупроаодниноаой технике такое обозначение нежелательна, тан нан оно принито длн удельного еопротииленин. При анализе диэлектрической релаксации пренебрегают рекомбинацией носителей и их диффузией, чтобы вьщелить явление в чистом виде. Следовательно, в правых частях (1-78) можно опустить все члены, кроме последних: др дЕ дв дЕ дг 1«дх ' дг 1 "дх ' Вычитая второе уравнение нз первого, подставляя г(Е»г(х из (1-80), Х из (1-81б) и учитывая (1-35), получаем уравнение релаксации ': д (др — лл) о вг е»»е = — — (Ьр — Ап).

Решением является экспоненциальная функция Др Лп (Лр (О) Ьп (0Ц е — г»те (1-83) где (Лр (О) — Ьп (0)1 — начальная избыточная концентрация и т, = еез»о (1-84) — время диэлекгпрггггеской релакеацигг. Величина т, характеризует время, в течение которого нарушена нейтральность полупроводника: через (3 — »4) т, объемный заряд практически рассасывается и нейтральность восстанавливается. Кан видно из (1-84), время релаксации помимо диэлектрической проницаемости зависит от удельной проводимости или удельного сопротивления.

Например, если р = 1 Ом см, то для германия и кремния т, = 10 ге с. Такое крайне малое значение типично для процессов диэлектрической релаксации и является одной из основ ивазинейтральности полупроводников (см. конец с. 31). С ростом удельного сопротивления время релаксации увеличивается н у собственных полупроводников (особенно кремния) должно, казалось бы, достигать сравнительно больших значений. Следует, однако, иметь в виду, что наличие избыточных электронов н дырок в возмущенном объеме приводит к уменьшению удельного сопротивления на этом участке и, следовательно, согласно (1-84) способствует уменьшению времени релаксации.

Поэтому даже в собственных полупроводниках при сколько-нибудь значительных возмущениях значение т, обычно имеет порядок 10 " с. Изменени»е удельного сопротивления полупроводника на том участке, где по тем илн иным причинам скапливаются избыточные носители, носит название эффекта модуляции проводимости. Этот эффект играет значительную роль в полупроводниковых приборах, особенно при больших сигналах (см., например, и' 2-8).

а Ооыино в литературе структуру оеьемного заряда не расшифровывают, а ваписывшот уравнение (г-82) в виде зр ., о = — д(тЕ ' — — р «г»ье где р — плотность объемного заряда. ц) г1,а(стяг' Р() ар(от) и закончится через время, равное примерно Зт, (рис. вл( ) 1-28, а). (,г Ц г1л(я) Предпологким теперь, сз) что в том же дыРочном „л,.) йТ б) полупроводнике начальное возмущение представляет Рис. Р28. схематическое изображение про- собой избыточную ионцен- пессоа диэлектрической релаксации э при- трацню электронов Лп (О) месиом (дырочэом) полупраэодиике. при Лр (О) — О Тогда ре о — исхолное возмущение вмзвено осиовимми носителями: б — исхолвое возмущение вменено лансация будет состоять в ееосновиммн носителями.

нейпгрализаг(игг (компенсаг(ии) заряда электронов Лп (О) дырками, приходящими под дейст- воем галя из внешнего объема, где их очень много. Процесс нейтрализации описывается выражением Лр = Лп (0) (1 — е зпв), т. е. характеризуется у в ел и ч е н и е м концентрации Лр от 0 до Лп (0) и заканчиваегсяз как и в первом случае, через Зт,. После этого с гораздо меньшей скоростью„ определяемой временем жизни т, будет происходить рекомбинапия электронов и дырок, скопившихся в области возмущения ' (рис. 1-28, б).

Таким образом, если начальное возмущение вызвано о с н о в- н ы м и носителями, то процессы рассасывания объемного заряда и избыточной концентрации происходят с одной и той же малой постоянной времени т,. Если же начальное возмущение вызвано Из структуры выражения (1-33) следует лажный вывод о двух вариантах механизма релаксации. г1 именно, предположим, что полупроводник д ы р о ч н ы й и в нем создано начальное возмущение Лр (0) при Лп (0) = О. Тогда, поскольку электронов вокружвощем объеме очень мало и они не могут нейтрализовать (скомпенсировать) возмущение Лр (0), релаксация будет состоять в бр(р)яфр) у м е н ь ш е н и и концентрации Лр благодаря уходу избыточных дырок из начального объема.

Процесс рассасывания будет описываться выражением Ит.) Лр=Лр (0)е ц'в л Заметим, что яейтрэлкзация э п р и и ц и п е ие мажет быть полной, иначе нельзя было бы объяснить наличие градиента коццеитрации дырок между рассматриваемым объемом и основной частьм кристалла. В дейстэительяости остаетси иеболыпой иескомпеисироэаииый ааряд электронов, поле которого и поддерживает градиент концентрации дырок. Имеиио иеполиой комоепсацией заряда объясняется термин клаэлиейтральиость. Электрическое пале, обусловленное яепалиай коигеасацией заряда, будем ивзыаэть аслтгълзжммлз.

<рг= фт1п — = — фт1п — . ~о Ра тч и« Подставляя найденное значение «»„в (1-17), получаем искомые зависимости а (~рв) и р («рв): л=л«е 'я'~т, р = р«л~ т"» т,' (1-85) потенциал фк отсчитывается от середины запрещенной зоны в ней- тральной части полупроводника, Зависимости (1-85) позволяктг решать уравнение Пуассона. я е о с н о в н ы м и носителями, то нейтрализация объемного заряда заканчивается столь же быстро, с малой постоянной времени т,„а рассасывание обеих избыточных концентраций — значительно медленнее (уже в условиях квазинейтральности) с постоянной времени т.

Второй вариант процесса является одной из основ транзисторной техники, Начальное возмущение может выражаться не только в увеличении, но и в уменьшении соответствующих концентраций. При этом в уравнении (1-83) меняются только знаки при избыточных концентрациях; характер процессов остается прежним. Введение (<впрыскивание») н е о с н о в н ы х носителей в примесный полупроводник называ~ст гиджак«(п«й, а их <отсасывание» с образованием «отрицательного» возмупв.ния — экстлрак«(лей.

Зффект поля. Пусть между металлической пластинкой и полупроводником задано напряжение У (рис. 1-29, а). Такая система представляет собой своеобразный конденсатор, у которого одна из обкладок полупроводниковая. На этой обкладке будет наведен такой же суммарный заряд, как и на металлической, но в отличие от металла заряд в полупроводнике не будет сосредоточен на поверхности, а распределится на некоторое расстояние в глубь кристалла. Распределение заряда, электрического поля и потещиала можно опенить, используя уравнечие Пуассона (1-80).

Специфика задачи в данном случае состоит в том, что плотность заряда Х не является заданной. Она согласно (1-8!) определяется ко;щентрациями подвижных носктелей, а эти концентрации в снов очередь зависят от распределения потенциала «рв. Поэтому прежде всего остановимся на зависимостях и («га) и р (фв). Заметим, что в рассматриваемой системе полупроводник, несмотря на наличие внутреннего индуцированного поля, находится в состоянии больцмановского равновесия, так как чет результирующего тока. Значит, уровень Ферми во всех частях полупроводника постоянный: «эл = сопз1. Для определения этого уровня воспользуемся формулами (1-18). Обозначим концентрации носитегей и электростатический потенциал в правой, невозмущенной части полупроводника (рнс.

1-29, а) через п„р„и <рв«и положим для простоты ф⫠— — О. Тогда из (1-18) находим Рассмотрим сначала собственный полупроводник. В атом случае в (1-81а) следует положить )()де = Иа = О и подставить концентрации (1-85), считая по — — Ре = пр Левую часть (1-80) 1 тра ()у (ес Ь е,( Рис. 1-29. Эффект полн в полупроводниках. Схема аксперкментз (а); распределение потенциала. поли, заряда н концентрации носителей в собешен воя полупроводнике пря отрицательной (б) и положительной (а) пол яр ноет их напРяунелия на металлическом электроде: распределение потенциала в при неоном (электронном) полупроводнике Прн положительной (а) н отрицательной (д, е) полярностях напряжения на метвялнческом электроде (модуль напряжения (~ для случая а значительно больше, чем для случая д). запишем как ()в(рвЯха, поделим обе части на (ру и введем безразмерную переменную Ф = (рнКг.