Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1), страница 9

% З) пеклвльный пвевход в и-мвеных пеоотелнствлх З9 Окрестность. Понвтие области дает воаможность ввести еще одно понятие, исключительно важное для дальнейших обобщений понятия пространства, именно понятие окрестности. Окргс«снастью точки А и-мерного пространства называют любую область, содержащую точку А, например сферу с центром в А. В дальнейшем без оговорок мы под окрестностью точки А будем понимать именно сферу с центром в А (черт. 2). Предельная точка. Точка А называется лргдельной для множества М точек и-мерного пространства Юш если любая окрестность точки А содержит точку многкества М, отличную от точки А. Пусть, например, множество М есть совокупность всех точек пространства 1г„с рациональнымн координатами.

Тогда любая точка пространства Ю„есть предельная для М. Точки прелельные для точек области, но не принадлежащие области, нааываются граничными точками области. Граничные точки области образуют гранину области. Область вместе с границей называется замкнутой областью нли телом. Например, границей сферы ~(х,— а,)з(гз г=а будет служить сферическое многообразие (л — 1)-го измерения ~~~~ (х, — а,)г = Р. г=а Границами н-мерных параллелепипеда и тетраэдра будут являться со. вокупиость их граней меньшего числа измерений.

Залгкнутмм множеством иазываетси множество, содержащее все свои предельные точки. В качестве примера заметим, что любое и-мерное линейное многообразие в пространстве В„замкнуто. ТЕОРЕМА 1. Замкнутал область есть замкнутое множес«ыо. В самом деле, пусть ч) — некоторая область и-мерного пространства, а гге — ее граница; тогда Я=я),+ага есть замкнутая область.

Пусть теперь точка А есть предельная для чг. Каждая окрестность 0 точки А содержит хоть одну точку В из б) (В ф А). Возможны два случая: 1) точка В принадлежит области Ом 2) точка В принадлежит границе Я~. Докажем, что и во втором случае окрестность О содержит точку области ьгк В самом деле, в этом случае существует окрестность Ог точки В (черт. 3), которая целиком вместе с В принадлежит Ю, причем эта окрестность не содержит точки А '). Так как по предположению В есть точка гранины Юз, т. е. точка предельная для точек области Яп то окрестность Ц точки В содержит по крайней мере одну точку С г) Пус1ь 1г есть сфера радиуса е с центром в точке А; г[А, В)=с. гле сСж В качестве окрестности Ц можно выбрать сферу радиуса меньшего, чем е — с, описанную вокруг точки В.

[гл. 1 элеиянты и-мягкой гврмзтгии области ьгп Точка С попадет вместе с тем в объемлющую окрестность сУ точки А. Итак, во всяком случае окрестность У точки А содержит отличную от А точку области ф. Так как окрестность 1У была выбрана произвольно, то А является предельной точкой для области ф. Если А не принадлежит ьгп то она принадлежит границе Ь)л, так что А принадлежит замкнутой области <',>.

Итак, замкнутая область к„г содержит всякую свою предельную точку, т. е. является замкнутым множеством. Предел последовательности. Точка А называется пределом для последовательности точек А„А,..., Ар,..., если любая окрестность точки А содержит почти все точки нашей последовательности, т, е. все кроме, быть может, конечного числа. Мы пишем: !1п1 А =А. л П -> со Говорят также: А сходится к А.

Очевидно, если йш А„= А, то я -+ сО 1пп г(А, А ) =О.Всамолг деле, каково бы у-+ее ня было положительное число е, почти все точки А попадут внутрь сферы радиуса е, описанной вокруг А, позтому для почти всех А : г(А,А )< е, откуда Черт. 3. 1пи г(А, А„) = О. л.+ .О есть последовагпельность Коши, то она сходшпгн и ненопгороа' точна А 1). Б самом деле, пусть координаты точки А сугсс Имеем: ~ а1м1 — агл1~(г(Ам, А ) (1=1, 2,..., и), ') Этл теорема есть прямое обобщение критерия Коши лля числовых воследовпельиостей. Сходимость последовательности точек А к точке А означает сходимость всех координат точек А к соответственным координатам точки А. Последовательность Коши. Последовательность точек А„А,...

А, ... называется последозагпелыюстью Коши, если, каково бы ни было число е ". О, найдется такое число Р, что г(А~, Ая) < е, коль скоро пг и р больше Р. (Расстояние между членами пощтедовательности с достаточно большими индексами может быть сделано сколь угодно малым.) ТЕОРЕМА. Если последовательность точен п-,мерного щюсгпрансгпва А„Ая,..., А,... 41 э 8) пввдтльный пвгвход в и-мввных пвоствлнствлх т, е, каждая из последовательностей чисел: а'~ ам~ а<'м > ° - ° ° а< з ° ° ° улозлетворяет критерию сходимости Коши для числовых последовательностей.

Поэтому она обладает пределом а, (<'= 1,2,..., п)< а,=1йпа, (61) Обозначим через А точку с координатами а„ая, „а„, В силу (61) имеем; 1пп (А„, А) = О. и+о: Итак, последовательность А сходится к точке А. Компактное в себе множество. Множество М называется ко,илактиеси е себе, если каждое его бесконечное подмножество М' обладает предельным элементом„принадлежащим М. Например, принцип Больцано-Вейерштрасса показывает, что отрезок прямой есть компактное в себе множество. Ограничеимое множество.

Ограниченным множеством называется множество, все точки которого принадлен<ат некоторой сфере. ТЕОРЕМА. Замкну<псе ограниченное бесконечное множество я<очек а-хе)зного лрос<лрапстеа компактно е себе. В частности, зал<кнутик ограниченная облас<ль колит<тки. Пусть М вЂ” замкнутое ограниченное бесконечное множество точек М' — произвольное бесконечное подмножество множества М. Докажем, что М' обладает по крайней мере одним предельным элементом, принылежащим М. В силу ограниченности множества М можно построить и-л<ерный куб,Ро '): а,(х,(а,+й (<=1, 2,..., а), такой, что все множество М (а значит, н М'), пр«иадлсзкит Ро.

Разобьем куб Рэ на 2" кубов, имеющих длину ребер вЯвое меньшей длины, чем ребро куба Р<,. Координаты х, (1= 1,.2,..., и) точек этих кубов удовлетворяют одному из неравенств: л л а,(х,.(а,+-; о,+ —, ° х, .а<+А. Так как Ре содерх<ало бесконечное множество точек множества М', то один нз этих кубов разделения содержит также бесконечное множество точек М', пусть это будет куб Р,. В свою очередь, разбив куб Р, аналогичным образом на 2" кубов, мы найдем среди ннх кубР„ который содержит бесчисленное множество точек, принадлежащих М'.

Продолжая этот процесс, мы получим последовательность кубов: РО~ Р< Рз ' ю Рг|'' причем куб Ри<+, есть тот из 2" равных кубов, на которые разбит куб Р„ и который содержит бесчисленное мнол<ество точек множез) Мь< имеем в виду здесь н в азьиейшем зубы вместе с границей. элвманты л-магион гвомвттин (гл„ ! ства М'.

В силу построения каждый следующий куб содержится вовсех предыдущих„' кроме того, длина ребра куба Р, равная — „так же Ь мак н его диаметр и', стремится к нулю при ш, неограниченно растущем. Обозначим через А центр куба Р . Так как все кубы Р + при ,о> О заключены в Рм то нх центры А„,+и при р . 0 заключены в Р, вследствие чего расстояние между точками А н А,„+р меньше дяаметра п„куба .0: г(А~, А +„) С о .

Так как ~~ стремится к нулю, то А есть последовательность Коши н сходится поэтому к предельной точке А. Поскольку все точки А заключены в Р„, то А заключено в Р или на его границе. По построению куб Р заключает точки множества М'. Расстояние от А до точек М', попавших в Р„, не превосходит о .

Но так как о„, может быть сделано сколь угодно малым, то в любой окрестности точки А существуют точки М', точка А есть предельная точка для М', а следовательно, предельная точка лля объемлющего множества М. Вследствие замкнутости М, А принадлежит М. ГЛАВА й ФУНКЦИИ ТОЧКИ В Ф-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 9 9. Функции н диференцнал Мы перейдем в этом параграфе к изучению функций многих переменных, используя изваянные выше геометрические понятия. функция точки. Пусть задано множество (М) точек п-мерного пространства и пусть каждой точке М этого множества отвечает число у(М). Мы назовеи у(М) фушсцией точки и-мерного пространства, а множество (М), в точках которого функция определена,— облаетью задании функции. В дальнейшем в качестве областей задания функций будут фигурировать само пространство или его открытые и замкнутые области.

Мы назовем функцию У непрерывной в точке М л-мерного пространства, если для любого положительного числа е сушествует такая окрестность ТУ точки Мз, что !АМ) — ЛМвИ < коль скоро точка М принадлежит ЕУ и, конечно, области задания функции: Заметим, что в определении непрерывности функции фигурирует единственное геометрическое понятие — понятие окрестности точки л-мерного пространства. Поэтому в дальнейшем, когда мы встретимся с пространствами значительно более обпсей природы, на которые удается распространить понятие окрестности точки, нам удастся определить в этих пространствах и понятие непрерывной функции. Условие Липшица. Мы скажеьц что функция ДМ) точки л-мерного пространства удовлетворяет условшо Липшица, если для дрпналоаьиой пары точек М и М области задания функция выполняется неравенство ~ДМ') — у(М) ', (Кг(М', М), где К вЂ” положительная константа.