Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1)
Описание файла
DJVU-файл из архива "Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" в общих файлах.
Просмотр DJVU-файла онлайн
Распознанный текст из DJVU-файла
М. ЛАВРЕНТЬЕВ и Л. ЛЮСТЕРНИК ОС НОВ Ъ| В А РИАЦ ИОН НОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ТОМ ПЕРВЫЙ ЧАСТЬ ! ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Яопуирно еварнонпроеан РСФСР в качеетве учебника рек университетов ОБЪЕДИНЕННОЕ НАУЧНО-ТЕХНИ ЧЕСХОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО Н КТП СССР ГЛАКНАЯ РКДАКЦИЯ ОКЩКТКХНИЧКСКОЕ ЛИТКРАТУРЫ И НОМОГРАфнн ИОСКВА 1935 ЛКИИНГРАК т 21-Ы тНК Рф 2!6 Резакиве У; Л.
Сковиэокоео. Оформление В. Л. Заэулжкой. Иеррс игура Л ° И. Лрзсюлоаой. Неблюлел еа выеуском Л. ЛЕ. Воэеоекч, слепо в протмвозство 7!1тг !932 г. Позписаяо к печати 21ЧП! !999 т. Пес. икст. 9Чс. ТкРвж 9999:Лвг. л. 12952боРмат 977(997 Печ. ев. в !бум. л. 199ЛЗЮ. заказ эе 47!. Гл. Рел. обжег. дисц. 79 29. бум. л. +7,.9" упелком. Главлита 296-11е92. 2 я тезюгр. О7ррй имеяи Евгения Оокоиовоб. Попиигриз, пропп. ПР. Комаяииров.
29, ПРЕДИСЛОВИЕ К ПВРВОЙ ЧАСТИ Задачи вариациопного исчисления являются развитием зздзч о пако>апенин экстс>еь>ума функций копегнюго числа переменных. Поэтов>у свою книгу йо вариационному исчислению мы предполагали начать с вводнод главы, посвяп>еппой функциял> конечного числа переменных и их экстрсмутаам. 11о поскольку она разрослась, л>ы выпускаем ее з виде отдельной книжки, вводной части „Основ вариациопного исчисления", рассматривая се как дополнительное пособие прн прохождении курса анализа па младших курсах университетов и педвузов. Мы на >инаем с элементов л-л>аркой геометрии (глава 1). Геометрические методы явлюотся настолько основными в анализе, что навыки к ним нужно воспитывать с салют начала прохождения курса анализа.
и-мерная линейная и евклидова геометрия являются первым звеном в цепи геометрических обойценин, вызванных в значительной части потребностями анализа„ обобп>ений, которых нам придется коснуться в следу>оп,их частях книги. Некоторые специальные вопросы л-мерной геометрии, с которыми приходи >ся иметь дело в следу>о>цих часа ях „Основ вариационного исчисления", мы выносим в дополнения (в том числе теорему Ьрауэра об инвариантпоИ точке при отображении л-мерпого выпуклого тела).
!'лава рд излагает теорию экстремума функция л переменных (в геометрической трактовке), глава !Н вЂ” теория> квадратичных форм в связи с исследованием поведения функций в окрестности экстремальных точек. Мы остановились на тех вопросах, которые нзходят развитие или применение в вариационном исчислении (абсолютнь>й экстрел>ум, мпожигели Лагранжа-Эйлера, достаточные условии экс>ремума и классификация стационарных точек, экстремальная теория собственных значений квздрагичных форм, трсугольныс. преобразования и т. и.). >>1. Лаврентьев.
Л. Люг>черник. ОГЛАВЛЕНИЕ 11редисловне к первой части Глава 1. Элеменспы п,-мерной геометр!ос 1. Линейные многообразия . 2. Векторы н линейные операции над ними 3. Линейная зависимость векторов 4. Линейные преобразования 5. Примеры л-мерпых линейных пространств 6. Евклидово л-мерное пространство 7.
Ортогональпые преобразования . 3. Предельный переход в л-мерных пространствах . Глава П. функции спочки е п-.!серном поосглрансоисе 9. Функции н дифереццпал 10. Аналитические многообразия. Криволинейные координаты. 11. Касательные многообразия . 12. Функция как многообразие.
Стационарные точки . Глава 1Н. Экспсремулсы функций точки п-.нерного пространства 13. Классификация экстремумов 14. Теоремы Вейерштрасса 15. Необходимые условия экстремума 16. Условный экстремум . Глава 117. Квадратичные формы. и второй гсиференцссгсл !7. Билинейные и квадратичные формы 13. Классификация стационарных точек ллк фуикиий двух и трех переменных 19.
Преобразоваяин квадратичных форм 20. Главные оси квадратичной формы (вековое уравнение) 21. Экстремалькая теория собственных значений Фишера-Кураита . ° 2Х Аналитический критерий положительности формы . 23. Квадратичная форма иа линейном многообразии 24. Преобразование к нормальному виду с помощью треугольных преобразований . 25. Достаточиыс условна экстремума. йсининэксы . 26.
Приближенное нахождение точек мнпниума .. Дополнение 1. Целочисленные сети Дополнение П. Выпуклые тела Дополнение 1П. Теорема Брауэра указатель.... 5 11 15 17 20 25 34 38 43 47 54 56 62 63 66 72 90 95 99 105 !09 114 116 !20 !29 134 137 142 146 ГЛЛВЛ ) ЭЛЕМЕНТЫ и-МЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ ф 1. Линейные многообразия л-мерное пространство. При изучении функций одного и двух переменных мы пользуемся изображением этих функций как линий и поверхностей в пространстве двух и трех измерений.
Вполне естественно поэтому рзсцросзранить геометрические методы на теорию функций большего числа переменных, введя соответственно понятие пространства н измерений. Для того чтобы новое расширенное понятие пространсгва окаазлось плодотворным, прн его введении старались сохранить те свойства пространств двух и трех намерений, которые были особенно существенны в аналиае и которые настолько привычны из нашего повседневного геометрического опыта, что позволяют нам свободно обращаться с нх обобщениями. Укажем еще, что понятие евклидова пространства н измерений является первым простейшим обобщением понятия пространства в цепи обобщений, с которыми нам цридется впоследствии иметь дело при использовании геометрического метода в варизционном исчислении.
Ввести понятие пространства л измерений можно двумя существенно различными путями. Первый путь такой: дополнить систему аксиом трехмерного пространства по аналогии с теми дополнениями, которые мы имели при переходе от двухмерного к трехмерному пространству; этим самым будет построена синтетическая геометрия н измерений.
Второй путь состоит в том, что обобщение ведут на базе аналитической геометрии трех измерений, где точку рассматривают как тройлу чисел н где всем геометрическим понятиям придана чисто аналитическая форма. Для приложений к анализу более целесообразен второй путь, тем более, что он оказывается более коротким.
Назовем точкой совокупность и действительных чисел: (1) Числа х„х, ..., х„называются координатамн рассл~атривземой точки. Чтобы отметить, что точка Л) имеет координаты х„хз, ..., х„, условимся писать: /И (хн х, ..., х„) или короче: М(х,). Совокупность всех таких точек образует лространсслео л измерений или и-мерное нросснранстео. Две точки л-мерного пространства считаются соеладающими тогда н только тогда, когда каждая координата одной точки равна соответствующей координате другой точки. [гл, [ элеиангы и-магной гзомвтгии Линейные многообразия.
Простейшими образованиями в геометрии двух и трех измерений, как известно, являются линейные образования, т. е. такие, которые являются геометрическими образами линейных урав- неннИ. Такими образованиями в пространстве двух измерений являются прямые, в пространстве трех измерений †прям и плоскости. Изучение пространства и измерений иы начнем с введения аналогичных понятий. Линейным многообразием одного измерения илн прямой и-мерного пространства мы назовем гевметрическое место точек, у которых все координаты суть линейные функции одного параметра й к<= — Й,1+а< (<=1, 2, ..., и), (2) где ~ меняется от — оо до + со, а я< суть произвольные действительные числа, удовлетворяющие единственному условию, что среди чисел я< существует хотя бы одно отличное от нуля.
Это условие эквивалентно неравенству: .Яй<г)0. Систему уравнений (2) мы будем для краткости называть уравнением рассмап<риваемого многообразия. При и = 2 и и= 3 мы, очевидно, получаем обычную прямую в пространстве соответственно двух и трех измерениИ. Линейнао< л<ноиюбразием к измерений (й( и) и-мерного пространства мы нааываем геометрическое место точек, координаты которых суть. линейные функции л параметров г>, Уа, ..., ~ы причем каждый из параметров изменяется от — оо до +со: >г< — — с<+ли«+ав>~э+...+алУв (<=1,2, ..., и), (3) где с, и и, суть произвольные действительные числа, подчиненные единственному условию, чтобы положение точки многообразия зависело существенно от я параметров или, иными словами, чтобы многообразие не могло быть представлено при помощи меньшего числа параметров. Система (3) называется уравнениел< многообразия.
Само пространство можно рассматривать ьак многообразие п измерений. В самом деле, если бы координаты всех точек и-мерного пространства выражались линейно через й параметров, где й (и, то между этими координатами существовали бы и — й линейных соотношений и координаты не были бы независимы ТЕОРЕМА. Для люго чтобы сис<пема (3) была уравнением линейного мноиюбразия й измерений, необходимо и доппа<почно, чтобы ло крайней мере один из определителей вида а„,аи ... а„„ а,а ...а,„ аы,аы, . <'и„ был отличен от нуля, <п.