Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1), страница 7

В снлу формулы (Зб) получаем: соэ(Е,хг) = — — ' —, Величины соа(Е, х,) (1= 1, 2,..., л) носят название для Е. Имеем: ,~, 'созг (Е, х,) = 1. г 1 (41) напраэляющпд косинусов (42 Пользуясь (42), по данным (п — 1) направляющнм косинусам н знаку и-го ножно определить и-й направлявший косинус. Заметим, что в силу (41) направляющие косинусы пропорцнональны козфнпнентам йь поэтому урзвненню прямой Е можно придать инга хг — — ч соэ (Е хг) + Ьг ° В этой форме паранетр ч имеет простой геометряческнй смыса. Еслн мы через В обозначим точку с координатамв: Ьг, Ьв..., Ь„, а через В,— точку щее через точку А В такое, что всякая прямая, ему принадлежащая, будет ортогональна к прямой Е. Приведенное замечание можно положнть в основу следующего важного определения: мы скажем, что данная прямая Е орлюгональна данному линейному многообразию ег (и — 1)-го измерения, если всякая прямая, принадлежащая ми 1, будет перпендикулярна и прямой Е Задача 2.

Через данн> ю точку А (ад проэеглш (и — 1)-мерное многообразие, ортогональное данной пряморл хг — — Ьй+ Ь, (г 1, 2... и). Допустим, что Ь1+ О, тогда в силу сделанного выше замечания уравнение искомого многообразия будет: (гл. 1 элементы и-мясной геометрии ЗО прямой Е, соответствующую заданному значению параметра П то т есть длина отрезка прямой ВВ,, заключенного между точкой к и точкой и . Зал,ача 4.

Определить угол В, между ееиторо.а и (иола..., а„) и осьюх,, Обозначим через А(а„а„,..., ал) конец вектора ОА = а. Уравнение прямой, на которой лежит этот вектор. будет: х,=ай (г= 1, 2,, и) (точки О и А отвечают соответственно значениям параметров О и !). й силу ,р рму (41р и, сол тг = — -" дл у= т (43) Проекции. Допустим, что в пространстве дана точка А и прямаи Е. Ортогональной проекцией или просто проекцией точки А на прямую Е называется точка пересечения прямой с линейным многообразием (л — 1)-го измерения, проходящего через точку А и ортогонального к примои Е.

Допустим теперь, что дан вектор а=АВ и дана ось Е, т. е. прямая, снабжениав ьаправлением. Пусть Аы В, суть соответственно проекции точек А, В на прямую Е; проекцией лектора АВ на ось Е: пр АВ мы назовем длину отрезка АЯ, взятую со знаком плюс илн минус в зависимости от того, совпадает ли направление вектора А,В, с выбранным направлением на прямой Е илн ему противоположно. Отметим следующую важную формулу: прьа=-1а(соз(Е, а). (44) В самом деле, обозначая через с, и с, + й, координаты точек А н В, через с,' и с,'-1хй; — координаты их проекций А, и В, па Е, мы получаем уравнение прямой, содержащей вектор а: х,=с,+Фу (с=1, 2,..., и), и уравнение прямой Е: х,' = с,'+ Ф,'Е соа(а, Е)=-- —.=.=. -==; 11а1=- 'У,ьгйе пР а = — У ~~~~й; .

чт й',е, лл,е )уч,'йг~ч;у -" Равенство (44), которое пам нужно доказать, примет вид (45) Для доказательства этого равенства составим уравнения многообразий„ ортогональиых к Е и проходящих соответственно через точки А и В: ~~,'л'й,'(и,— с,) =О,~", Ф,' (уг; — с,— й,) =О (г=-1, 2,..., и). Так как точки А,(с,') и В„(су+л,у) принадлежат соответственно этим многообразиям, то ~чР„й,'(й,' — с,) = О,,'У, 'й,р (йг+ й; — сг — Угг), = О, Ввклндоэо л-меРное простРанство Вычитая почленно иэ первого равенства второе, получаем: Это доказывает равенство (45).

Задача 5. Найти проекции вектора а 1аь ам, а„) на оси ль Обозначив через т, угол между а и осью л„получнм (см. задачу 4): соат, = — — . Ф йа1 ' Следовательно, пр„„..а =- а;. Компоненты вектора а суть его яроекчкн на осл координат. Основной теоремои в теории проекцлй является предложение о проекции полигона. Пусть нам даны т векторов, расположенных так, что конец 1-го вектора совпадает с начатом 1 )- 1-го, т. е. данные гл векторов образуют пространственный полигон. Если через Л обозначить начало вектора а„ а через В обозначить конец вектора а , то вектор АВ мы будем называть замыкающей данного полигона. При этих обозначениях имеет место следующая теорема: ТЕОРЕМА. Сумма проекций векторов, образующих полигон, на произвольную огь равна проекции замыкающей на ту оке осах ',1',пр а,=пр АВ. Мы ие приводим доказательства этой теоремы, ибо оно почти полностью совпадает с обычным доказательством этой теоремы для случая ппострапства трех измерений.

В приложениях теории проекций часто приходится иметь дело с проектированием векторов ие только на прямые, но также на линейные многообразия разного числа измерений. Мы ограничимся здесь лишь простейшим случаем проектирования на многообразия (и — 1)-го измерения. Проекцией игочки А иа данное линейное многообразие е, (л — 1)-го измерения называется точка пересечения данного многообразия е. с прямой, проходящей через точку А и ортогональной многообраэшо е.. Геомеглрической проекцией вектора АВ па данное линейное многообразие ь' называется вектор А,Ви начало А, и конец Вт которого суть соответственно проекции на е.

начала А н конца В данного вектора. Норма лектора А,В, называется длиной проекции или просто проекцией. Внутреннее произведение векторов. По аналогии с векторной алгеброй двух н трех измерений определим для двух векторов и-мерного пространсгва операцию внутреннего умножения. Внутренним произведением двтх векторов а н Ь называется произведение их норм иа косинус угла между инми.

Внутреннее произведение а н Ь обозначается символом аЬ. Итак: аЬ = 1~ а~( йЬ |~ соз(а, Ь), (46) элвмзнты и-мггной гвомгтгии (гл. 1 Имеем аЬ = Ьа, а (Ь+ с) = — аЬ+ос. Первое равенство очевидное. Остановимся на втором. В силу формулы (44) и определения внутреннего ироизвеиения имеем: (48) В самом деле: и и нп аЬ ( ч'; и,ег)(,Я Ье) = ~~~ а,д,в,вс г«т В правой части равенства все члены при г'фу пропадают в силу (48), а члены при г=7' равны и,дг Дадим сейчас новые формулы для угла между векторами. В силу(46) аЬ ~оз(~Ь) ц ц ц Ь ц яли в развернутом виде и «а,з, соз(а, Ь) = ~„„° ~Чр~ ир ~ 6Р г ! ° «г аЬ = Ц а Ц .

Ц Ь Ц соз (а, Ь) = = Ц а Ц пр Ь = Ц Ь Ц пр,а, г. е. внутреннее произведение есть проекция одного вектори на дру. гой, умнозгенния но норму того вектора, на который проектируем. а(Ь+с) Ц гг Ц пр (Ь+с). аЬ +ос= Ц а Ц (пр Ь+пр„с). 1 (47) Выражения справа равны в силу теоремы о проекции полигона; этим самым дистрибутивный закон доказан. Ассоциативный закон, как и в случае трехмерного пространства,для внутреннего произведения в обпгем случае неверен. В самом деле, вектор (аЬ)с параллелен вектору с, тогла как вектор а(Ьс) параллелен вектору а. Внутреннее произведение вектора а на самого себя равно квадрату его нормы: аа = Ц а Ц ".

Внутреннее произведение двух ортогональных векторов равно нулю (так как косинус угла между ними равен нулю). В частности ! О, если г'ф/; 1 1, если г=у. Единичные векторы ег имеют нормы, равные единице, и все они попарно лруг другу ортогональны. Внутреннеепроизведенневекторов а(имат, „и„) и Ь(Ь„Ьг,...,Ь„) выражается через компоненты сомножителей так: ад=и,Ь, +игЬз+... +а Ь„. (49) ЕЯКЛИДОВО вВ-МВРИОЯ ПРОСТРАНСТВО Задача Б. Яан гектор а и точка В(Ьв, Ь„..., Ь„), Через точку В гпргбугтсл провести многообразие (л — !)-го измергтниц ортогональное к ггктлору а.

Обозначим через Ь вектор ОВ. В сизу определения ортогонгльности. кахова бы пи была точка Р искомого нногообраэия, инеем: пр„ОР = праОВ = пр„Ь. Отсюда, полагая ОР= г, будем иметь: (50) аг = аЬ или а(г — Ь) = О. Геовветрическое место конца вектора, имеющето начало в начале координат и удовлетворяющего уравнению (еО), есть искомое многообразие. Уравнение 1501 есть уравнение этого многообразия в векторной форме.

Чтобы получить уравнение в обычной форме, достаточно представить выражения векторов через нх компоненты и воспользоваться формулой (46). Дадим теперь критерии линейной представимости вектора а через векторы ав (в = 1, 2, ..., л). Для этой цели решим предварительно следующую задачу. Задача 7. Олределтль совокупность гекторов, ортогонлльнмх каждому из вгкторог а (г = 1, 2, ..., т; т(п) сштгмн гп линейно неглгисимнх еетлорог. Обозначая через г произвольный вектор искомого семейства векторов, будем иметь: га, =- О (1 = 1, 2, ..., т) нли, обозначая через г,(г' = 1,2, ..., «) компоненты вектора г, последнее (авен- ство можно записать так: лагг +автвз+... +аыг - 0 ((=1, 2, ..., т). (51) В силу линейной независимости векторов а, один из определителей т-то порядка матрицы (иа) отличен от нуля, пусть это будет определитель д, составленный из первых гп столбцов.

При этом условии мы можем решить систему (51) относительно ге г„..., гн: Д, вн дсм юв гв= — — — г — — -г +т —...— — — — гп (г'=1, 2,...,гп), н+В д вв+ где За есть определитель, который получается иэ определителя й, если в неи г'-ю колонну заменить (т+)) -й колонной матрицы (ла). Отсюда заключаем, по если начало вектора г закрепить, то положение евп конца будет зависеть от вл — пв) параметров, иными словами, конец вектора г опишет линейное многообразие (и — т] измерений.

Таким образом существует л — т линейно яеэаьисимых векторов г, г, ..., г. в. ортогональных к векторам ав, а ..., а всякий вевпор г, ортогональный всем векторам аь есть лмкейная комбината векторов гу(у= 1,2, ...л — гп). Построенную систему векторож г = (вгв+ 1э г +... + г„, г и (52) будем называть сопряженной с системой а = Ь,а, + Ьга, +... + Ь„а„.

(53в Легко видеть, что если система векторов Г сопряжена с системой выпоров а, то и, обратно, система и сопряжена с систеиой г. Пользуясь выявленным свойством сопряженных систем, мы можем теперь дать критерий представимости вектора а через векторы аг Ялл лргдаплгиности гектора а через векторы а, необходимо и достаточно, чгпобы а бнл ортогонилен всем вектором сиспвемн, сопряженной с сиалемов аь (гл.