Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1), страница 2

е. чглобы рана ма>ириды, составленной аз элементов а, равнялся й. Ф 1) Ликайима МНОГООБРАЗИЯ Докажеи сначала достаточность этогоусловия. Будем считать, что Пы Пш ° ° Огс ал юга ... ааг (4') аыа„, ... а„„ и предположим противное, т. е. что многообразие (3) представлено при помощи р С Л параметров т„с, хг — ггг+ оггтг+ Ь~ята+ + Ьгр р. (5) П силу совпадения многообразий (3) и (5) будем имстГИ ь р с,+~, аиаг — — г1,+.~, Ь„-р (г=1,2, ..., и).

(6) г=г г=г Так как по предположению условие (4') соблюдено, то мы можем решить систему (6) относительно Гс =Ву+Агттг+А гта+... +А/ртр (/=1ф 2, ...> )г). (6) Отсюда, так каь р lг, то,когда -, принимаютвсевозмогкные значения, точка г14(сг, Гз, ..., 1г) описывает лишь р-мерное линейное многообра- зие в л-мерном пространстве Ег, 1з, ..., Г„.; параметры Е не принимают всех возможных значений. Но так как в силу (3) каждой точке много- образия (3) отвечает единственная совокупность параметров сд то сис- тема (б) при всех изиеиениях -.; дает лишь часть рассматриваемого многообразия. Мы пришли к противоречию. Докажем теперь необходимость условия.

Допустим, что все определители вида (4) равны нулю. Б зтои случае в силу известных свойств линейных уравнений существует не более л — 1 линейных форм: пгг|Г+ага1а+ ° .. +л, Д (/=1,2, ..., й — 1)» у " г' через которые выражаются линейно все остальные линейные формы: а г ООГ, +а, Гя+... + а,„1 = ~~Я А, (а, гаг+а, ЯГЯ+ ... + а,„.ааг). > Отсюда, вводя новые параметры: -;. = ар Д+-а, фа+...

+ а,,аг () = 1, 2, ..., г < л — 1), мы получим представление многообразия (3) при помощи меныпе~о числа параметров т„т, ..., т,. Для случая л = 3 мы имеем мйогообразия одного и двух измерений — соответственно прямые и илоскости. Поясним для случая л=з, а=2 роль дояолиительяого условия, которому подчиняются козфияиеяты аи системы [31. Система (3) примет вия: х, =сг+агггг+апси 1 хр — — сс+ аисг+ амГи ) х, = сз+ амтг + амсз. ) (гл.

! эламвнты и-мггной геомвтенн Равенство нулю всех определителей (4) влечет зз собой здесь пропорциональность козфпииептоз: ап ам ам агз аю ам б + Ьых, +... + Ь,„х„=б, , ' дп к,хз-(-... -(-д„„~„=О. (7) Итак, всякое многообразие я измерений может быть представлено как совокупность точек, координаты которых удовлетворяют системе (7). Систему (7) будем тоже называть уравнением данного многообразия. ТЕОРЕМА. Для гиого чтобы система (7)былаураанением многообразия гг измерении', необходп.ио и достаточно, чтобы ранг .наиграны, ды д, ...д, д.

д ... дг„ (3) д. ы д. 1а " Ь кп равнялся и — й. В салюм деле, если один из главных определителей матрицы (3) отличен от нуля, например, дн ...д,„ дп-ю' н кп-к то нз (7) мы можем выразить и — гг координат через остальные Й и, принимая эти я координат за параметры, мы представим изучаемое много- образно в форме (3), Пусть теперь, например, ап не равно нулю; тогда, полагая апгг + агзгз —— с, получим: х~ — — сг+ т, хе=с +-= 1, ~п хз =- се+ —:.

ам ап Таким образом система (й) определяет прямую, з не плоскость. Мы дали определение линейных многообразий уравнениями в пара- метрической форме. В некоторых вопросах бывает целесообразнее за- давать многообразия уравнениями, в которых фигурировали бы только координаты точек многообразия.

Для того чтобы получить такие урав- нения, достаточно, очевидно, исключить из системы (3) все параметры гг Для этой цели среди и уравнений (3) выбираем гг таких уравнений, чтобы соответствующий определитель (4') был отличен от нуля, решаем полученную систему относительно параметров г, н найденные выра- жения этих параметров через координаты х, вставляем в остальные и — й уравнений.

Таким образом получим: Ф 11 линвйные многоовелзия Если же все главные определители матрицы (8) равны нулю, то или система (7) несовместна или по крайней мере одно иа уравнений этой системы будет следствием остальных. В первом случае система (7) дает пустое многообразие (не содержит ии одной точки), во втором случае мы можем, не изменяя многообразия, отбросить одно из уравнений системы (7).

Составим матрицу из коэфициентов при неизвестных для п †<в в оставшихся уравнений. Если один из главных определителей этпй системы отличен от нуля, то в силу доказанной части теоремы системз (7) дает многообразие й+ 1 измерений. Если все главные определители равны нулю, то илн уравнения несовместны или одно из иих является следствием и — й — 2 других. Продолжая этот процесс, мы получим как формулироваппу<о теорему, так и следующую, более обшую: ТЕОРЕМА. Если уравнения (7) совместны, <по измерение соответствуюигеао л<ноаообразия равно и — г (г — ранг матрицы системы). Взаимная принадлежность многообразий. Принадлежность одного многообразия другому понимается в обычном теоретико-множественном смысла Данная точка принадлежит многообразию, если эта точка совпадает с одной из точек многообразия.

Аналогично данное многообразие А принадлежит многообразию В, если кажлая точка, принадлежащая А, принадлежит В. Многообразйе А проходит через точку В (через многообразие В), если В (или В) принадлежит А. Пересечением двух многообразий называется совокупность точек, принадлежащих одновременно каждому из рассматриваемых многообразий. Пользуясь ввеленной терминологией, разберем ряд задач. Задача 1. Провести прямую, проходящую через две данные точки М„(а<) н М (Ь,). Пусть (1=1, 2, ..., и) х,=йе+е, есть искомое уравнение иря«ой.

Не нарушая общности решения, мы можем ПРЕДПОЗаГат<ь Чта ТОЧКИ Мв И М< СООтэстСтВУЮт ЗнаЧЕИНЯМ О И 1 Пайаистэа Г. Подставив в уравнение прямой вместо Е значения 0,1, а вместо координат х, соответственно координаты точек Мо М<, получим сне<ему 2п уравнений для опРеДелениЯ Ль ед а<= с<, Ь<= А<+с< (< =1,2, ..., и). Таким образом искомое уравнение прямой будет к< — — (Ь,— а<)в+а< (1=1,2, ..., п). (9) решение ззлачи приводит иас к результату: через две раз.шчные точки ложно ветда и пршпом единстееннмз< образом проветпи прял<ую. Исключив г яз (9), получим уравнение прямой в виде: к< — а< х — а к„— о„ (10) Ь< — а< Ь вЂ” ат " ' ܄— а„ Задача 2.

Построить линейное многообразие и — 1 измерения, проходл<яее через данные и точек Мз(а<ь ае „..., а <) (У= 1,2, ..., и). Пусть уравнение многообразия имеет вид: п Ь + ~~~~~ Ьвх = 0. 1 (гл. ! ЭЛЕМЕНТЫ П-МЕРНОЙ <ЪОМЕТРИИ 1О Тогда должны удовлетворяться равенства: Ьч+ ~~~ Ь~а,< = О з=-1 (<=1,2, ...,и) (11) Обозначим через Д матрицу снстел<ы (11): д= 1 ам - ° ° ав< Если ранг матрицы Д равен и, то существует единственная (с точностью ло постоянного множителя) система значений Ьс, Ь<, ..., Ь УДовлетворяюшая уравнению (11), т.

е. единственное (п — 1)-мерное многообразие, проходящее через данные точки Мр Если же ранг этой матрицы меныпе и, то существует бесчисяепное множество (и — 1]-мерныл многообразий, проходяших через точки М; Можно общее задачу поставить так< построить ликебкое мйозообразие р плмерекиа, прокидяине через р+1 данную то игу. Решение и исследование этой задачи приводится, очевидно, к изучению некоторой системы линейных уравнений; этой задачи мы коснемся несколько ниже. Задача 3.

Определить пересечение двух дакимх линейных многообразий. Допустим, что данные многообразия кмеют соответственно нзмсрснил лир, и пусть ам+ аих< + аихз + ... + а<„х„О (1 1,2, ...,и — л), (12) а,в'+а„'х<+а<'хз+... -)-ам'х„=О (<=1,2, ..., п — Р] (13) их уравнения; тогда в силу определения пересечения многообразий уравнение пересечения булет< а,в+апх,+... +а,„х„=о (<'=1,2, ..., 2п — й-р), (14) где положено: ая з+1 1 — а]г. если ери Ф+р)п один ил главных определи гелей матрицы (а<у) (15) отличен от нуля, то пересечение многообразий есть линейное многообразие й+р — п намерений.

Вообще при й+р)п, если ранг матрицы (15) равен п<, то или 2п — й — р — л< уравнений системы (14) являются следствием остальных и тогда намерение пересечения равно п — т или система (14) несовместна; тогда пересечение пустое. В последнем случае мы сил<кем< что даиные многообразия параллелькы. Если при й+р = и определитель матрицы(15) отличен от нуля, то рассматриваемые многообразия пересекаются в точке. Если й+р ч, и, то рассматриваемые многообразия, вообще говоря, не пересекаются. Чтобы они пересекались, нужно собдюдение добавочных условий; например, при й+р=п — 1 для того, чтобы пересечение было нс пустым, необходимо и достаточно, чтобы определитель (<)/= 1, 2, ..., Л) ~ а<~ ) был равен нулю. Вернемся к простейшему случаю.

Пусть А + р ) и'„положим й+ р — и = т, тогда (14) есть уравнение линейного многообразия т измерений, если ранг матрицы (15) будет наивысшим. Вместе с тем многообразие (14) ес<ь пересе. чсние многообразий (12) и (13). Отсюда получаем такой результат: каждое ликейное многообразие т измерений можно представить как резулыпат пересечения мптообразий <11 и <] измерений, где <]1 + оз — и = <л. вектогы н дннейные опегацнн над ними Остановимся еще на одном частном случае. Пусть одно нз многообразий есть лннейное многообразие и — 1-го измерения простейшего вида: х„= О. (16) Пусть х, = ам+ оггсг+... + ануа (г'=1,2, ..., п)й(п) (17) есгь уравнение второго многообрззня в параметрической форме.