Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1), страница 5

(гл. 1 элементы и-мвююй гвомвттии 2О Треугольные преобразования. Частным видом линейного преобразования является так называемое треугольное преобразование: уг =х,+а, ха+а,г«з+ ... +а,„х„, уг = «я+паз"з+ +пь» Уз = хг+ ... +лг„х„, (25) Треугольное преобразование обладает следующими свойствами: 1. В случае треугольного преобразования, па=О прн 1) г, ам=1.

2. Треугольное преобразование и-мерного пространства определяется параметрами, ниенно коэфицпентзми аи где у ) ю'. и (п-1) 3. Треугольное преобразование преобразует к-мерное линейное мно- гообразие ф б. Примеры и-мерных линейных пространств и-мерное пространство, рассиатрнваемое как пространство векторов, называется п-мерным линейным или векторным пространством. Мы часто встречаеися с совокупностями влементов, над которыми можно определить линейные операции, аналогичные линейным операциям иад векторами в и-мерном пространстве. Естественно поэтому рассиа- тривать эти элементы как векторы (или точки) и-мерного линейного пространства.

Пусть дана система элементов 1а), между которыми определены опе- рации сложения а-1-Ь и умножения на вещественное число (скаляр) а ° Ф, причем результаты операций принадлежат к той же совокупности (а1. Эти операции должны удовлетворять следующим шести аксиомам: 1)а+Ь=Ь+а, 2) (а+Ь)+с=а+(Ь+е), 3) (ай)1= а(М) (Ф и г — скаляры), 4) (а+Ь)Ь =ай+ЬА, б) а(4+1) ай+а1, х„+, — — х + —— ...

—— х„= О в й-мерное же многообразие ул+,— -у„+,—... — у„=о. 4. При треугольном преобрззовании последние п — й новых координат у„+„уь+„..., у„выражаются только через последние же и — Ь прежних координат х„+„х„+,..., х„. Поэтому можно сразу же убедиться, что преобразование, обратное треугольному, есть тоже треугольное. Непосредственная подстановка дает, что произведение двух треугольных подстановок образует треугольное же преобразование, Итак, треугольные преобразования образуют хрупну†подгРуппу гРуппы невырожденных линейных преобразований.

21 ф 5] пгиз!вгы и-ивиных лииайных пзостилнств 6) существует л элементов а, аз,..., а,„таких> что все осталь- ные элементы (а» выражаются через ннх линейно: а= ~а,х! и не 4=! существует меньшего числа элементов, обладающих тем же свойством. Элементы а„«,..., а„образуют базис совокупности (а). По- кажем, что элементы совокупности (а» можно изобразить векторамн и-мерного пространства Для этого докажем прежде всего следующую теорему: ТЕОРЕМА. Если элементы а„аз,..., а„обризуют базис совокуп- ности (а), гло всякий элемент а из (а) изображаем!ся линейно через элементы а, единственным образом.

Допустим, что существует некоторый элемент а из (а), который можно представить двумя различными линейными комбинациями эле- иентов а,: а=.'~'ад= ~ а,г, .э;(й,— г,)з >О. з=! 4 ! Пусть, например, й! ф ~!. Тогда а,= — ~ «,У,— А), !— т. е. а, выражается линейно через элемент а„а,..., а„. В таком слу- чае в выражении любого элемента из ( а ) через элементы а, элемент а! можно заменить его выражением через а„«,..., а„, а это значит, что всякий элемент совокупности (а) выражается линейно через л — 1 элементов «., аз,..., а„, которые, следовательно, образуют базис. Мы пришли к противоречию с предположением о том, что базис нашей совокупности состоит именно иэ и элементов. Итак, каждому элементу а из ( а ) единственным образом соответствует л чисел йм А, ..., й„ таких, что а= 2~«А.

4=! Мы можем элементам «„а,..., а„базиса отнести единичные век- торы и-мерного пространства; тогда элеиенту а отвечает вектор с кои- понентами (й,, йз,..., «„), Наоборот, каждоиу вектору в и-мерном про- странстве с компонентами (г„гз,..., 1„) отвечает элемент: а= Х а/,. Переходу от одного базиса а„а„..., а„совокупности (а) к другому базису отвечает линейное преобразование соответственного пространства. Пример 1. Совокупность Р„ ! = ( Ч(х] ) полвномов л — 1-и степени удовлетворяет всем шести аксиомам линейного л-мерного пространства, если мы будем понимать оперзцнн суммироваяия н умножения иа вещественное число в обычаем смысле. Этз совокупность образует и-мерное линейное пространство, В качестве базиса мы могли бы принять, например, полиномы 1, х, хз,..., х» — ' В качестве других базисов мы могли бы принять полииомы 1.

элементы л-мегной геометгин ('гл. ( (х — а), (х — а),..., (х — а)"; полиномы 1, (х — 1), (х — Ц(х — 2),..., х — а (х — !] (х — 2)... (х — а+1);полнномы 1 (, где числа ам а,..., а„ а, — ар р!у ьт! различные. Формула Тейлора: Е (х) = 1 - Е [а) + (х — а) Ч' (а) + (х — а)з Чл (а) 2! Ч!н-т! (а) +(х а)я-з (л — 1)! или формула Ньютояа: р (х) = ч (6) ° 1 + д р (о) «+ - х (х — П + ... б„е (й) б„, т(о) ...+ — — х (х — 1)... (х — л + 2), (л — 1)! или также формула Лз~ранжз ч(х) = ~ ч(а,) р,(х), (х — ар) где ч(х) — некоторый полипом (л — 1)-и степени, а ч,(х) = (а, — ар) р!1+о дают нам разложения элементов линейного л-мерного пространства Р„ через элементы его базисов.

Совокупяость Р, всех полиномов удовлетворяет аксиомам 1 — 5 линейного пространства, но, очевидно, не удовлетворяет аксиоме 6: она не обладает конечным базисом. Мы моглп бы сказать, что Р обладает счетным базисом, линейной комбинацией элементов которого (базиса) образованы все полиномы. В качестве такого бааиса мы могли бы принять, например, последовательность степеней (х — а). Пример 2. Совокупность функш!й, являюшихся решениямн линейного однородного дифсренциального уравнения л-го порядка, образует л-мерное линей ное пространство О„. В сэмом деле, понимая операции сложения и умножения на скаляр в обычном смысле, мы получаем, что линейные операции яад решениями такого уравнения дают нам снова решение.

Все решения выражаютси линейно через л яезависимых решений. Через меньшее число решений может быть линейно выражено не всякое решение. Совокупность же решений линейного однородного уравнения а частных производных удовлетворяет аксиомам ! — 5, но не удовлетворяет аксиоме 6: она яе обладает конечным базисом.

Пространства Р з н О„явля|отея простейшими примерами фуякциоиальных пространств, т. е. пространств, элементами которых являются функции. В дальнейшем мы расширим понятие лияейного пространства, отказавшись от аксиомы 6. Пример 3. Замечательиыйгримертрехмерного линейного пространства дает нам совокупность всех цветов. Под суммой двух цветов будем понимать цвет, образованный нх смешением, пвд умножением цвета па положлтельпое число й— увеличение в А раз интенсивности цвета, под умкожением на — 1 взятие дополнительного цвета, При этом оказывается, что совокупность всех цветов выражается линейно через три шкета: красный, синий н желтый, т. е. образует трехмерное линейное пространство.

(Точнее, некоторое тело в трехмерном пространстве, поскольку интенсивности цветов ограничены верхним порогом раздражеяия.) Исследование этого трехмерного тела всех цветов является важным орудием цветоведення. 23 $5) пгимвеы л-л<вгных линайных пгосттлнств О«х,«1. При л= 2 мы получаем квадрат, при и=3 — трехмерный куб. Совокупность точек, принадлежащих кубу и одному из (и — 1)-мерных линейных многообразий х, = с (с = О, 1; 1= 1, 2,..., и), назовем (л — 1)-мерными гранями куба. Из этого определения следует. что (и — 1)-мерная грань, например: х„=О, О «х<«1, 1«л — 1, есть (и — 1)-мерный куб пространства (л — 1) измерений. Совокупность точек, принаалежащих кубу н одному из А-мерных линейных многообразий: х =с», (с =О, 1; <,ф<„если гфз), х.

=с <л л я-л назовем и-меркыл<и гранями куба; при к= 1 назовем их еще ребрал<и куба н при к= Π— вершинами куба. к-мерная грань, например ха+< — — х„+,— —... —— х =01 О«х,«1, <«к, есть к-мерный куб соответственного л-л<ерного пространства. Легко подсчитать, что куб обладает 2л (л — 1)-мерными гранями, 2" <С» к-мерными гранял<н, 2" ' ° и ребрами и 2" вершинами. Общее число всех граней п.мерного куба всех измерений, от О до и — 1 включительно, равно 3" — 1. Например, при и=2 квадрат имеет 4 вершины и 4 ребра, т.

е. 8=3' — 1 граней; при л=З куб имеет 8 вершки, 12 ребер и 6 двумерных граней, всего Зз — 1=26. Едииич<м<м и-л<еркым сидчлексол< ичи тетраэдрол< назовем совокупность точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам: х<~О, '1 .~~х<«1 1 (1=1, 2,. „., л). При п=2 и-мерный тетраэдр обращается в треугольник. При и= 3 получаем трехмерный тетраэдр. По аналогии с трехмерным тетраэдром и подобно тому как мы ввели понятие вершин, ребер и граней для и-мерного куба, мы можем ввести понятия вершин, ребер и граней к-мерного тетраэдра или сим- Простейшие тела и-мерного пространства.

Параллелепипед, тетравдр. Перейдем теперь к определению и вьшвлению простейших свойств геометрических фигур л-мерного пространства. При этом ради краткости изложения мы в основу положим развитую выше теорию линейных преобразований. Единичным кубом и-мерного пространства (х„ хэ,..., х„) назовем совокупность точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам: (гл. 1 алименты и-мегной гвомитвии 24 плекса. Вершинами единичного тетраздра будут служить начало координат и концы координатного креста; и-мерный симплекс обладает и+1 вершиной; (и — 1)-мерными гранями будут являться части симплекса, принадлежащие следующям линейным многообразиям: х< — — О (1= 1, 2,..., и) (а) „,,''„х, =1.

(а') Симплекс обладает (и+1)-й (л — 1)-мерной гранью. Общее, А-мерная грань единичного тетразлра есть созокупнос с ь точек, удовлетворяющих системе (л — й) уравнений из системы (а) и (а'). ш Черт, 1, Дадим теперь общее определение параллелепипеда н симплекса. Пусть нам дано произвольное невырожденное линейное преобразование: х, = аю+ а,А+ и, 1я+ ... + а,„1„(1 = 1, 2,..., л), (26) при условии: ~а, ~ ф О (1, 1=1, 2,..., л). Это преобразование, квк мы видели выше, устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками пространств (х„хм..., х„) и (1п се,..., Ф„).