Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1), страница 6

л-мерным параллелепипедом (симплексом) назовем сово. купность точек пространства (х„х ..., х„), з которые переходят при преобразовании (26) точки единичного куба (симплекса) пространства (~п 'з" ° ' ~ ). 6 6] евклидова и-маенов пеостелнство ф 6. Евклидова и-мерное пространство До сих пор мы ие вводили понятия расстояния между точками и-мерного пространства; предложения, доказанные в предыдущих параграфах, не зависят от этого понятия. Понятие „расстояние между точками" п-мерного пространства („метрику" и-мерного пространства) ыожно ввести различными путямн.

Длина отрезка. Мы остановимся пока на так называемой евклидовой метрике. Расстоянием г(А, В) между точками А (а„ ая,..., а„) и В(Ь„Ья,..., Ь,) мы будем называть число г(А, В) = )г (Ь, — а,)э+(Ьэ — аэ)е+... + (܄— а„)э. (28) Длиной отрезка АВ мы будем называть расстояние между его кон- цами. п-мерное пространство с такой метрикой называется евклидовым п-мерным пространствам.

Двина отрезка остается неизменной при параллельном перенесе- нии. В самом деле, если отрезок АВ переходит при параллельном пере- несении в отрезок А'В', где А (а, а,..., а„), В (Ь„ Ь,..., Ь„), А'(ад', аэ',..., а„')„В'(Ь;, Ья',..., Ь„'), то Ь,— а,=Ь,' — а,' (1=1, 2,..., и); г(А, В) =г(А', В'). поэтому (29) Вершинами, ребрами, я-мерными гранями параллелепипеда (симплекса) называются точки, отрезки, куски линейных многообразий, в которые при преобразовании (26) соответственно переходят вершины, ребра и грани единичного параллелепипеда (симплекса). В силу свойств линейных преобразований все ребра суть отрезки прямых, Ь-мерные грани суть куски Й-мерных линейных многообразий, ограниченные (к — 1)-мерными многообразиями.

Лая более наглядного геометрического представления и-мерного параллелепипеда возьмем четырехмерный единичный куб и изучим его пересечения с семейством линейных трехмерных многообразий: лг + хэ -(- хэ + хе = Л. (27) При кажлом значении Л многообразие (27) будет являться трехмерным пространством. Определим вид частей куба, которые будут попадать в эти пространства при различных значениях И. При И = О начало координат будет едии- 1 ственной точкой куба, принадлежащей (2б). При Ое.

Л < — многообразие (27) 2 будет пересекаться с четырьмя гранями куба; таким образом в сечении мы будем получать тетраэдры, раэмеры тетраэдра будут увеличиваться с возраста- 1 3 мнем Л (черт. 1). При — (ИС вЂ” многообразие будет пересекаться с во- 2 2 3 семью гранями кубе. в сечении получим окгаэлры. При — (Л ч, 2 будем иметь снова тетраэдры, которые при в = 2 выродятся в точку.

1гл. 1 элемаиты и-нитной гвомвтяии Сфера. п)верной аууерой радиуса г с центром в точке А / (О) (О) (0)1 (х< , х, , ..., х„ ) евклидова пространства называется совокупность его точек М (х , хя, ...,х„), расстояние которых от А меньше г. Координаты х„ х , ..., х„ точек такой сферы уловлетворяют неравенству: Х (,—,"')'< '. <=1 Граница этой л-мерной сферы, т, е. совокупность точек евклидова просгранства, удаленных от точки А на расстояние <; называется (и — 1)-мерным пЯеричепсил< многообразием.

Координаты его точек удовлетворяют уравнению: .и (х< — х< ) =г . (зо) <=1 Диаметр. Пусть М есть произвольное множество точек. Мы называем диаметром множества М верхнюю границу расстояний между его точками. Для сферы диаметр равенудвоенной длине радиуса. Для куба— длине диагонали, соединякицей противоположные его вершины. Норма вектора. Длину вектора мы будем называть его нора<ой, В силу предыдущего нормы равных векторов равны между собою. Норма вектора а обозначается символом !! а!!. Если а=(а„ая.....

ая), 1 <=Г '+05<. (31) В самом деле, если начало вектора а = ОА находится в начале координат О, то конец его А имеет координаты а,, ая,..., и„ и, следовательно, его длина определяется формулой (31). Нормы векторов обладают двумя основными свойствамн) 1. Норма суммы двух векторов не превосходит суммы их норм (одна сторона треугольника не превосходит суммы двух других) !! а+ Ь !! ~ !! а !! + !! Ь !! . (32) 2. При умножении вектора на вещественное число норма умножается на абсолютную величину этого числа: !! ла !! = ! /<) - !! а !! .

(33) Второе свойство доказывается непосредственно. Первое вытекает из неравенства Шварца '): !лЬ,!~ Хпэ. ХЬЯ. 1) Оио является частным случаем неравенства Минковского, доказанного ниже, см. задачу 5 $16. евклпдово и-маевов цепс<ем<ство В самом деле (ЦаЦ+ЦЬЦ)'=ЦаЦ'+2ЦаЦ ° ЦЬЦ+ЦЬЦ'= « <' и ч =,')' Р+2 ~ Р ° ~/ ~ЬР+,').ЬР, 4=1 4=1 4=1 (а, ь) = «ч (36) Эта формула являетсч естественным обобщением известкой формулы из аналитической геометрии простраиства двуХ и трех извереиий.

С формальиой точки зрения такое определение возможно, ибо выраженяе, стоящее справа, при любых значениях Ь< и л<' заключено между — 1 и 1. Углом ме<кду прямыми (34) и (35) будем называть или угол о или его дополиепие до в. Если о=О или <-=я, то А< пропорциоиальиы А<', прямые (34) и (35) параллельны, причем в случае <у=О будем <оворить, что векторы одинаково направлены, а в случае в=я оии протияополонсио направлены '). Если сово=-О, то мы будем говорить, ыо наши векторы (прямые) взаимио-перпеидикулярны.

Таким образом условие параллельиости будет: й< — — тл<, 1 = сопвц и условие перпендикулярности будет: Х АА'=О. 4=1 1) Равные векторы можно определить как параллельные векторы, одинаково иалравлеииые и имеющие равные вормы. ~1а+ЬЦ5=,~, '(а<+5)5= ~ ив+2~ аЬ,+ "~ Ья. 4=1 4=1 4=1 <=1 Отсюда в силу неравенства Шварца Ца+ЬЦ5((ЦаЦ+ЦЬЦ)5. Свойства 1 — 2 являются фуидамеитальиыми свойствами норм векторов, поэтому при построении более общей метрики мы позаботимся о сохранении этих свойств. Углы между векторами. В евклидовой л-меркой геометрии мы можем ввести также понятие угла между двумя прямыми. Пусть даиы два вектора а и Ь, расположенные соответствеиио иа прямых: х< — — 5<4+ Ь< (1=1, 2,..., и), (34) х<' — — А;4+5; (1'=1, 2,..., и), (35) причем начала обоих векторов отвечают меиьшим зиачепиям параметра, а концы 4 — большим.

При этих условиях углом между векторами а и Ь назовем угол (, меньший или равный я, косинус которого определяется по формуле: элементы п меРнОЙ геомнтгии (гл. 1 Задача 1. Через данную точку А (а,) провести прямую, пересекающую под прямым углом прямую, заданную уразненигла х, «<1+ Ь,. (37) Пользуясь решением залачи 1 91, построим прямую.

прохоляшую через точку А и через произвольную точку даяной прямой л Искомая прямая будет х, — а< —— < («,< + Ь< — а<), (38) где ч есть текущий параметр для исламов прямой, а г есть значение параметра данной прямой, соответствующее той точке, через которую мы проводим прямую. В самом деле, при с=О имеем х,=а„прямая проходит через данную точку А; при ч = 1 имеем х, = «<г+ Ь„прямая проходит через точку прямой Е. Давая 1 в уравнении (38) всевозможные значения, мы получим все возможные прямые, проходящие через А и пересекающие Ь.

Нам остается такии образом найти то значение г, при котором прямая (38) будет перпендикулярна прямой ь. Для этой цели восполыуемся условием перпендикулярности: Ч~', «у(«гг+ Ьу — а) = О. Решая это уравнение относительно г, получим: — ~~<', «з(Ь~ — а ) Отсюда, вставляя найденное значение Г в уравнение (38), получим уравнение искомой прямой: -~и~~ «з(Ь~ — аз) х< — а<= < ~«< и,', Ь,з +ь,— а . Замечание.

Проделанные вычисления показывают, что разобранная задача всегла имеет единственное решение, кроме случая, йогда точка А принадлежит данной прямой г В этом случае уравнение (38) дает нли прямую ь или теряет смысл (если 1 принимает значение, соответствующее точке А). Если А принадлежит г„то всякая прямая, проходящая через точку А, будет пересекать |„ благодаря чему одно условие задачи (искомая прямая пересекает Е) отпадает и задача становится неопределенной. В самом деле, в этом случае любы прямая х, = й„'<+а, (1=1, 2,..., и), (38') коэфициенты которой удовлетворяют условию (39) <=1 булет удовлетворять всем условиям задачи.

Найдем, что будет собою представлять совокупность прямых (38), удовлетворяющих условию (39). допустим, что «, --р О, тогда из (39) найдем: 1 йз «,' = — — ~ «<«;. «,,~, Подставляя найденное выражение в систему (38), иы получим, считая «<', «а',..., «„' произвольными, совокупность всех прямых, проходящих через точку А н перпендикулярных данной прямой Ь.. Эта совокупность будет зависеть от (и — 1) параметров. Для того чтобы определить геометрическое место этих прямых, достаточно в системе (38') считать чу= «гй 2 (У ~(п за невависимыс параметры, тогда система (38)гбудет уравнением искомого геометрического места — это будет линейное многообразие (п — 1) измерения, прохоля- ВВклндОВО и-ыВРное пРОстРанстВО н йг ~ г 1 ' (У~2,3,..., и) (4О) ХЕ = чу — 1+ае где чс() 1, 2,..., и — 1) суть параметры.

Исключав нэ снстемы (40) параметры чу, мы получим уравнение искомого многообразия (п — 1) намеренна в следующей форме: ~Ь1(х,— а,) =О. Из решения этой за;гачи получается следующнй критерий ортогональностя прямой и (и — 1)-мерного многообразию Яля того юпобы прямая х1 = йй + Ьг (1=1, 2,..., и] была ортогональна мнгиообразию: аэ+а,хг+агхг+... +а„х„=О, необходимо и достаточна, чтобы аг аг а„ Ьг ЬЭ ''' Ьь" Задача 3. Определить углы, ноторые образует х, = Ьгт+ Ьг произво.еьнап прямая Е: (1=1, 2,...„л) с осями координат.