Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1), страница 10

Очевцано, все функции, удовлетворяющие этому условию, непрерывны. Дифереициал. Пусть задана непрерывная функция ~(М) точки М и-мерного евклидова пространства. Равность у(М) — у(М.) называется нрираигениеи функпии при переходе от точки Ме к точке М. эвикции точки в н-магно!! пвостеьистве (гл. П Обозначим координаты точки Мо через хГ!!(г'. = 1, 2,..., и), а точки М вЂ чер х,(! = 1, 2,..., л). Допустим, что среди линейных функций '~Яа (х хов) (1) ! †! существует такая, что разность (ПМ) — У(МЛ вЂ” Х~!(», — ',") 4=! есть величина высшего порядка малости сравнительно с г(Мо, М). В этом случае линейная функция (1) называется дифергнциалолг фунгсции у в !кочке М„и обозначается: и(Мо)МоМ).

Имеем, следовательно: У(М) — Г (М~) — ггу(М~; МоМ) = ег (Мо, М), (2) где е стремится к нулю вместе с ! (Мо, М), т. е. ди(деренциал функции еслгь главная линейнаи часть лри)оагцениг! ллюй й)ункции. Понятие дифереициала использует только два свойсгва и-мерного евклидова пространства: во-первых, возможность строить в ием линей'- ные функции (линейность) и, во-нгопых, сушествование в нем понятия расстояния. Поэтому, как мы увидим ниже, понятие диференциала можно распространить на функции, определенные в пространствах чрезвычайно общей природы, сохраняюших, однако, эти основные свойства евклидова пространства. Согласно определению диференциала имеем рапепстпо: Ф !(г(Мо; МоМ)=-~',а!(х! — х! ), г=! Вектор с компонентами а,(1 = 1, 2,..., и) называется градисмглом функции У' в точке Мо и обозначаетсш атаб у(Л1 ).

Пользуясь символол! внутреннего произведения, получим: Ф(М!ь МоМ) = МоМ Ягад У(Мо). Производная в данном направлении. Проведем из точки Мо луч г. Рассмотрим отношение: У(М! — У(Мо) ( г(М Мо) где М вЂ” точка луча г.. Это отношение можно рассматривать как среднюю скорость изменения функции в данном направлении А.

Предал отношения (а) при М-! М, если он существует называется щюизводной от фУнкции У'(м) в точке мо в напРавлении с; он обозначаетси символом гг (Мо). Итак: йп! -- — — — — ' =Г,,~Мо). г (М) — У(Мо) ч,'и, ыи -~ о г (М М!) 45 9 9] яянкции н диввгвнцилл Производная по направлению, совпадающему с полсокнтельным на- дУ правлением оси Ох„равна частной производной — — в точке Ме (точ- дл; д/ нее: правой частной производной —., если она в точке М„не совпа. дхе ' лает с левой).

Если сул<ествуеяг в нючке Мо диференииал д/(Мв; Мам)„то лро изводная /' (М„) существует для любого направлении Х. В самом деле, из равенств (2) и (3) следует, что в этом случае /(и) — /(М,)=М,М йгзб/(М,)+. (М М), где е-+О при г(мы М)-+О. Но нгад/(мд) - мем= <кгац/<мо)]г(мо м) соя(дта<(/, Ц, следовательно: /' (Мо) = 1<и| —.

„"' =.. < нгад/(Мо) ] сов(нгад /, С), у (м) — у (в<,) г(М, в<~) Таким образом производная в данном направлении (ирису»цестиова- нии диференцизла) равна проект<ни градиента на данное направление. Зтз производная принимает наибольшее значение тогда, когда А на- правлено по градиенту, и равна нулю в том случае, если Е перпенди- кулярно градиенту. Отсюда заключаем, что направление градиента со- впадает с направлением, в котороь» быстрее всего изменяется функция. Компоненты векгнора я<ад,/ совнадаюн< с числ<ными производными. д/ дх, (1 = 1, 2,... я). Э В самом деле, в силу только что сделанного замечания 1-я компо- нента дгас</ как проекции асад/ на положительное направление оси Ох„ совпадает с производной / в полоигительном направлении оси Ох„ д/ -г.

е. с — --. Отсюда получаем: вх, г(/<Мо., Мвм)=ята»</(М ) ° Мом=Д, (х,— х»1), — д/<ЯЯ дх, т. е. диференциал, если он существует, совпадает с первым членом раз- ложения функции / в рид Тейлора в окрестности точки Ме. Если функция / обладает в окрестности точки Мв непрерывными частнымн лронзводнымм ло всем а)мулен<ноля то оно облодае<в и диференаиалом. Ь самом деле, в силу теоремы Лагранжа: /(М) — /(М,)=~ - — — — (х,— х, ), д/(л< ) ;=1 где М' — точка, лежащая на отрезке МеМ.

Поэтому и ч /(М) — /(Мо) — ~ .— — (х — х ) =~~в,(л — х 1). (4) Ф =- 1 г г .=. г [гл. !1 46 Функции точки В и мвгном пгостРАистэв Здесь е = — э — — —. При М, стремящейся к Мэ, М тоже стредплг1 дУ(м,) Г < сГх, дх, дУ мится к Мо, числа ег стремятся к нулю (так, функции — непрерывны дх, в точке Мэ по условию теоремы). Поэтому правая часть равенства (4) стремится к нулю быстрее, чем г(Мо, М). Тем самым линейное выражение ~~~~~ дг !ЬГо) (х х Зл) дх, аовпадающее с точностью до величин высшего порндка малости с приращением функции у, есть ее диференциал. Существование частных производных в точке М„недостаточно еще для существования в ней диференциала, в чем нас убеждает следующий простой пример. Пусть 2 э1п2т уде~уз 2 где р и в — полярные координаты точки (х, у).

Частные производные ЬУ дУ' — и — существуют в каждой точке и в начале координат равны дх ду нулю. Но диференциала ау в начале координат не существует. В самом деле. при наличии Щ йгабУ в начале координат равнялся бы в этом случае нулю, а потому равнялась бы нулю производная г"' (О) по любому направлению 1.. Между тем, как легко убедиться, Д(0)= — з1п2р, 1 где р — угол, образованный Е с осью Ох. Мы убедились таклге на этом примере, что существование производных по любому направлению недостаточно для существования диференциала.

Функция полигона. В дальнейшем нам понадобится геометрическая интерпретация функции и переменных, которая отличается от принятой выше. Пусть дана функция л независимых переменных: у(у у .. У). Условимся относить каждой совокупности и чисел у„ у, ..., у„, или, что то же, точке л-мерного пространства, полигональную кривую, расположенную в координатной плоскости (х, у) и определенную слелующим образом: концы полигона аакреплены в точках А(а, у„) и В (Ь, у,) (Ь) а), 1-я вершина полигона имеет координаты: .Ь вЂ” а х= а+1 — у=у,. л+1' Этим самым устанавливается взаимно-однозначное соответствие между всеми точками л-мерного пространства и всеми полигонами Р„с концами в фиксированных точках А и 8 и с абсциссами вершин: а+"" ("= — ': ) Функцию Г можно таким образом рассматривать как функцию полигона Р„: у(уы уа ° ув) — = У(Р ).

б 1О) 47 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ Пусть теперь Р„ есть такой полигон нашего семейства, что все его вершины, кроме л'-й, совпадают с вершинами полигона Р„, а 1-я вершина имеет ординату ул — ул+ оул (черт. 4). Обозначим через в площадь, заключенную между полигонами Р„и Р„, считая ее положителькой, если Ьул) О, и отрицательной, если дул в О. Имеем: в = еулблгл. Найдем предел отношении У (Рл) — У(Р,д в Черт. 4 когда сун а вместе с ним ив, стремится кнулю. Предполагая что — существует очевидно имеем: дУ дУл > У(Р„) — У(Р ) 1 .

У(Р„) — У(Р ) 1 дУ в-ло в а" лз.+~ Ву> ав ду> Таким образом рассматриваемый предел отношения пропорционален частной производной — „, причем, если числа а и Ь подберем так, д/ чтобы Ах= 1, то пропорциональность превращается в равенство. Такой иодход к понятию частной производной позволит нам это понятие распространить на функции более общей природы. 5 10.

Аналитические многообразия. Криволинейные координаты. В настоящем параграфе мы коснемся понятия, играющего значительную роль в вопросах анализа †имен понятия аналитического многообразия. Существуют два определения этого понятия. Параметрическое определение многообразия. Начнем с простейшего случая. Линией или одномерным .Иноаообралием мы нааовем геометрическое место точек, координаты которых суть непрерывные диференцируемые функции одного параметра: .т,=~(С) (1=1,2, ..., Л). (5) Ограничимся случаем, когда функцич ул(л) суть функции с непрерывными производнымн Д~(1). Мы должны еще потребовать, чтобы производные всех функций ул(Г) не обращались одновременно тождественно в нуль.