Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1) (947319)
Текст из файла
М. ЛАВРЕНТЬЕВ и Л. ЛЮСТЕРНИК ОС НОВ Ъ| В А РИАЦ ИОН НОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ТОМ ПЕРВЫЙ ЧАСТЬ ! ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Яопуирно еварнонпроеан РСФСР в качеетве учебника рек университетов ОБЪЕДИНЕННОЕ НАУЧНО-ТЕХНИ ЧЕСХОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО Н КТП СССР ГЛАКНАЯ РКДАКЦИЯ ОКЩКТКХНИЧКСКОЕ ЛИТКРАТУРЫ И НОМОГРАфнн ИОСКВА 1935 ЛКИИНГРАК т 21-Ы тНК Рф 2!6 Резакиве У; Л.
Сковиэокоео. Оформление В. Л. Заэулжкой. Иеррс игура Л ° И. Лрзсюлоаой. Неблюлел еа выеуском Л. ЛЕ. Воэеоекч, слепо в протмвозство 7!1тг !932 г. Позписаяо к печати 21ЧП! !999 т. Пес. икст. 9Чс. ТкРвж 9999:Лвг. л. 12952боРмат 977(997 Печ. ев. в !бум. л. 199ЛЗЮ. заказ эе 47!. Гл. Рел. обжег. дисц. 79 29. бум. л. +7,.9" упелком. Главлита 296-11е92. 2 я тезюгр. О7ррй имеяи Евгения Оокоиовоб. Попиигриз, пропп. ПР. Комаяииров.
29, ПРЕДИСЛОВИЕ К ПВРВОЙ ЧАСТИ Задачи вариациопного исчисления являются развитием зздзч о пако>апенин экстс>еь>ума функций копегнюго числа переменных. Поэтов>у свою книгу йо вариационному исчислению мы предполагали начать с вводнод главы, посвяп>еппой функциял> конечного числа переменных и их экстрсмутаам. 11о поскольку она разрослась, л>ы выпускаем ее з виде отдельной книжки, вводной части „Основ вариациопного исчисления", рассматривая се как дополнительное пособие прн прохождении курса анализа па младших курсах университетов и педвузов. Мы на >инаем с элементов л-л>аркой геометрии (глава 1). Геометрические методы явлюотся настолько основными в анализе, что навыки к ним нужно воспитывать с салют начала прохождения курса анализа.
и-мерная линейная и евклидова геометрия являются первым звеном в цепи геометрических обойценин, вызванных в значительной части потребностями анализа„ обобп>ений, которых нам придется коснуться в следу>оп,их частях книги. Некоторые специальные вопросы л-мерной геометрии, с которыми приходи >ся иметь дело в следу>о>цих часа ях „Основ вариационного исчисления", мы выносим в дополнения (в том числе теорему Ьрауэра об инвариантпоИ точке при отображении л-мерпого выпуклого тела).
!'лава рд излагает теорию экстремума функция л переменных (в геометрической трактовке), глава !Н вЂ” теория> квадратичных форм в связи с исследованием поведения функций в окрестности экстремальных точек. Мы остановились на тех вопросах, которые нзходят развитие или применение в вариационном исчислении (абсолютнь>й экстрел>ум, мпожигели Лагранжа-Эйлера, достаточные условии экс>ремума и классификация стационарных точек, экстремальная теория собственных значений квздрагичных форм, трсугольныс. преобразования и т. и.). >>1. Лаврентьев.
Л. Люг>черник. ОГЛАВЛЕНИЕ 11редисловне к первой части Глава 1. Элеменспы п,-мерной геометр!ос 1. Линейные многообразия . 2. Векторы н линейные операции над ними 3. Линейная зависимость векторов 4. Линейные преобразования 5. Примеры л-мерпых линейных пространств 6. Евклидово л-мерное пространство 7.
Ортогональпые преобразования . 3. Предельный переход в л-мерных пространствах . Глава П. функции спочки е п-.!серном поосглрансоисе 9. Функции н дифереццпал 10. Аналитические многообразия. Криволинейные координаты. 11. Касательные многообразия . 12. Функция как многообразие.
Стационарные точки . Глава 1Н. Экспсремулсы функций точки п-.нерного пространства 13. Классификация экстремумов 14. Теоремы Вейерштрасса 15. Необходимые условия экстремума 16. Условный экстремум . Глава 117. Квадратичные формы. и второй гсиференцссгсл !7. Билинейные и квадратичные формы 13. Классификация стационарных точек ллк фуикиий двух и трех переменных 19.
Преобразоваяин квадратичных форм 20. Главные оси квадратичной формы (вековое уравнение) 21. Экстремалькая теория собственных значений Фишера-Кураита . ° 2Х Аналитический критерий положительности формы . 23. Квадратичная форма иа линейном многообразии 24. Преобразование к нормальному виду с помощью треугольных преобразований . 25. Достаточиыс условна экстремума. йсининэксы . 26.
Приближенное нахождение точек мнпниума .. Дополнение 1. Целочисленные сети Дополнение П. Выпуклые тела Дополнение 1П. Теорема Брауэра указатель.... 5 11 15 17 20 25 34 38 43 47 54 56 62 63 66 72 90 95 99 105 !09 114 116 !20 !29 134 137 142 146 ГЛЛВЛ ) ЭЛЕМЕНТЫ и-МЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ ф 1. Линейные многообразия л-мерное пространство. При изучении функций одного и двух переменных мы пользуемся изображением этих функций как линий и поверхностей в пространстве двух и трех измерений.
Вполне естественно поэтому рзсцросзранить геометрические методы на теорию функций большего числа переменных, введя соответственно понятие пространства н измерений. Для того чтобы новое расширенное понятие пространсгва окаазлось плодотворным, прн его введении старались сохранить те свойства пространств двух и трех намерений, которые были особенно существенны в аналиае и которые настолько привычны из нашего повседневного геометрического опыта, что позволяют нам свободно обращаться с нх обобщениями. Укажем еще, что понятие евклидова пространства н измерений является первым простейшим обобщением понятия пространства в цепи обобщений, с которыми нам цридется впоследствии иметь дело при использовании геометрического метода в варизционном исчислении.
Ввести понятие пространства л измерений можно двумя существенно различными путями. Первый путь такой: дополнить систему аксиом трехмерного пространства по аналогии с теми дополнениями, которые мы имели при переходе от двухмерного к трехмерному пространству; этим самым будет построена синтетическая геометрия н измерений.
Второй путь состоит в том, что обобщение ведут на базе аналитической геометрии трех измерений, где точку рассматривают как тройлу чисел н где всем геометрическим понятиям придана чисто аналитическая форма. Для приложений к анализу более целесообразен второй путь, тем более, что он оказывается более коротким.
Назовем точкой совокупность и действительных чисел: (1) Числа х„х, ..., х„называются координатамн рассл~атривземой точки. Чтобы отметить, что точка Л) имеет координаты х„хз, ..., х„, условимся писать: /И (хн х, ..., х„) или короче: М(х,). Совокупность всех таких точек образует лространсслео л измерений или и-мерное нросснранстео. Две точки л-мерного пространства считаются соеладающими тогда н только тогда, когда каждая координата одной точки равна соответствующей координате другой точки. [гл, [ элеиангы и-магной гзомвтгии Линейные многообразия.
Простейшими образованиями в геометрии двух и трех измерений, как известно, являются линейные образования, т. е. такие, которые являются геометрическими образами линейных урав- неннИ. Такими образованиями в пространстве двух измерений являются прямые, в пространстве трех измерений †прям и плоскости. Изучение пространства и измерений иы начнем с введения аналогичных понятий. Линейным многообразием одного измерения илн прямой и-мерного пространства мы назовем гевметрическое место точек, у которых все координаты суть линейные функции одного параметра й к<= — Й,1+а< (<=1, 2, ..., и), (2) где ~ меняется от — оо до + со, а я< суть произвольные действительные числа, удовлетворяющие единственному условию, что среди чисел я< существует хотя бы одно отличное от нуля.
Это условие эквивалентно неравенству: .Яй<г)0. Систему уравнений (2) мы будем для краткости называть уравнением рассмап<риваемого многообразия. При и = 2 и и= 3 мы, очевидно, получаем обычную прямую в пространстве соответственно двух и трех измерениИ. Линейнао< л<ноиюбразием к измерений (й( и) и-мерного пространства мы нааываем геометрическое место точек, координаты которых суть. линейные функции л параметров г>, Уа, ..., ~ы причем каждый из параметров изменяется от — оо до +со: >г< — — с<+ли«+ав>~э+...+алУв (<=1,2, ..., и), (3) где с, и и, суть произвольные действительные числа, подчиненные единственному условию, чтобы положение точки многообразия зависело существенно от я параметров или, иными словами, чтобы многообразие не могло быть представлено при помощи меньшего числа параметров. Система (3) называется уравнениел< многообразия.
Само пространство можно рассматривать ьак многообразие п измерений. В самом деле, если бы координаты всех точек и-мерного пространства выражались линейно через й параметров, где й (и, то между этими координатами существовали бы и — й линейных соотношений и координаты не были бы независимы ТЕОРЕМА. Для люго чтобы сис<пема (3) была уравнением линейного мноиюбразия й измерений, необходимо и доппа<почно, чтобы ло крайней мере один из определителей вида а„,аи ... а„„ а,а ...а,„ аы,аы, . <'и„ был отличен от нуля, <п.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
