Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1) (947319), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В этом случае число уравнений больше числа неизвестных, н для наличия нетривиального решения необходимо и достаточно, чтобы и — т+1 уравнений системы были следствием остальных, т. е. чтобы ранг матрицы системы (19) был меньше ок Таким образом наличие одного отличного от нуля определителя иыго порядка матрицы системы есть необходимое и лостаточное условие линейной независимости данной системы векторов. Совокупность векторов как многообразие. Рассмотрим многообразие ес,„, заданное, например, системой уравнений: х,.=~за„Се+ив (1=1,2, ..., и), е=-1 Обозначим через А точку А(и„аэ, ..., а ); далее обозначим через с вектор с компонентами (пы, о,, ..., а„;).
е + Еаждый вектор АМ, конец М(х„х, ..., х„) которого лежитна )г„ выражается линейно через с: ОМ= ~, 'С,се Я ==! Векторы с, линейно независимы, ибо ранг матрицы (а,) равен т (поскольку ес имеет еп измерений). Пусть, обратно, дано т линейно независимых векторов: а„ам .. „а . Рассмотрим совокупность векторов, выражаемых линейно через данные; (19') а = й,а, + й,аз+ ... + й аег Если начала всех векторов а, считать в одной фиксированной точке А, тогда при всех возможных значениях й, конец вектора а опишет иеко- $4] линейные пгеовгазовлния торое линейное многообразие )с, содержащее данные т векторов.
В силу предыдущего число измерений многообразия гг, содержащего гп линейно независимых векторов, не меньше т. С другой стороны, число измерений )с не превышает т, так кдк положение точки на нем определяется тпараметрами Ь,').
Итак, число измерений Ю в точности равно т. Любой вектор, принадлежащий этому многообразию, выражается линейно через векторы а„а, ..., а . Положение любой точки многообразна полностью характеризуется числами Ь» Ья, ..., й . Совокупность чисел (Ьм Ья, ..., Ь ) можно мыслить как точку илй каккомпоненты вектора пространства т измерений.
Из такого представления линейного многообразия можно сразу обобщить докааанную выше теорему о линейной независимости системы векторов. Пусть даны т векторов а„ аз, ..., а . Образуем линейное многообразие )г, составленное из концов всех векторов '~; Ь,ан начала которых лежат в фиксированной точке А. При этих обозначениях число линейно независимых векторов среди а, равно числу измерений )г. В 4. Линейные преобразования Допустим, что мы имеем в н-мерном пространстве п линейно независимых векторов: а,а,...,а„. В таком случае любой вектор г(х„х, ..., х„) этого пространства может быть представлен в виде: г'=у,а, +указ+... +у„а„ (20') нлн, обозначая через ап, а,я, ..., а,„компоненты вектора а,: х,=аиу,+алга+ ...
+а„у„(1=1,2, ...,л]. (20) Соотношение (20) каждому вектору г' (у„ук, ..., у„) относит определенный вектор г (х„х, ..., х„). Решая систему (20) (с ойределителем, отличным от нуля) относительно ун получим: у,=Ьнх,+Ь, х +... +Ь,„х„(с=1,2,., и), (21) где Ьа есть минор определителя ~а,г~, получаемый из него вычеркиванием 1-й строки и у-го столбца, взятый со знаком ( — 1) и деленный з+» на определитель 1ав~.
Соотношение (21) показывает, что каждому вектору г отвечает также вполне определенный вектор г'. Таким образом соотношение (20) устанавливает взаимно-однозначное соответствие между векторами г и г~ или, считая начала всех векторов помещенными в начале координат, взаимно-однозначное соответствие точек (х„х,..., х„) и точек (у„уа,..., у„).
Систему (20) (переход ' Всякая точка многообразия К есть конец вектора (19') с фиксированным начыом А. (гл. 1 элементы п-мвеной гвомвтеии 18 от у-ов к х-ам) мы будем называть линейным преобразованием, а определитель системы (20) мы будем называть определителем преобразования. Если определитель преобразования обращается в нуль, то иы скал<ем, что преобразование аырождеяо. (Во всем дальнейшси иы будем иметь дело с невырождеинымн преобразованиями,) Линейное преобразование (21) мы будем называть обратным к преобразованию (20). Всякое нееырожденное линейное преобразование обладает абра<иным преобразованием. Линейное преобразование можно интерпретировать двумя различными способами.
Во-первых, иожно счптатть что векторы г и г' принадлежат двум равличным п-мерным пространствам, тогда наше преобразование дает взаимно-однозначное соответствие между точками этих пространств. Во-вторых, можно числа у„у... у„рассматривать как новые координаты точки (х„ хм ..., х„); в атом случае роль координатного креста в„ еь,..., е„ будет играть система векторов а„ а,...,а„, если их начала будем считать помещенными в начале координат.
При а,= е< новая система координат совпадает с первоначальной, и линейное преобразование превращается в тожлествениое преобравование: л=г . Установим ряд общих свойств невырожденных линейных преобразований. Допустим, что в пространстве (х„ха, ...> х„) имеем линейное многообразие т измерений ь' Ь,е+Ь,<х<+Ьахе+ ... +Ь,„х„=0 (1 1, 2,..., и — т). (22) При преобразовании (20) этому иногообразию в пространстве (у„у,..., у,,) будет отвечать также линейное многообразие уч, задаваеиое системой уравнений: Ью+у<~~.',Ьоая+уа,~ЯЬ„а<в+... +у„~,д,,ам = 0(1=1,2,..., и — т). (г = 1, 2, ..., п).
(23) Покажем, что Е, буде< иметь т измерений. Так как ь< задано системой п — т уравнений, <о оно имеет не меньше и< измерения. Допустим, что Е< имеет р) т измерений. Совершая преобразование, обратное (20), мы получим снова Е, число измерений которого будет не меньше р, т. е. во всяком случае больше самого е., что невозможно. И<лак, при линейном нееырожденном преобразовании (20) сео<итеа мноеообразия быть линейным и обладать данным числом измерений асп<аются иялариантяыми, Отсюда как следствие мы получаем сше такой факт: Ь линейно независимых ееьторпв переходят е я еекторое, и<акже линейно независимых. Произведение преобразований. Пусть иы подвергаем пространство (х<, ха,..., х„) линейному преобразованию (20), а затеи преобразованное пространство (у„у.„...,у„) подвергнем вторично лкнейному преобразованию у, =,<'„с„я, е=-< 19 линвйныа певовглаовяния Из (20) и (23) следует: х,=~ а, Уэ=~~~~~ ~~~~~ Ь, сэгг,=~~~~~(~~~Р Ь,„с„,) гл или, полагая с(н — — л~э Ьог„л получим окончательно: э х, = 1ч.', г(пг, Таким образом результат двух последоватетьно примененных линейных преобразований есть снова линейное преобразование.
Преобразование (24) мы назовем произведением лреобразоапкги1 (20) и (23). По теореме об умножении матриц определитель произведения будет равен произведению определителей преобразований (20) н (23): (24) )гг', ~=) Ь,.„! - )с,„). Таким образом произведение двух невырожденных линейных преобразований есть невырожденное линейное преобразование. Если (20) и (23) взаимно-обратные преобразования, то пх произведение есть тождественное преобразование.
Группа преобразований. Введем теперь одно новое понятие. Группой преобразований некоторых математических объектов мы назовем систему преобразований этих объектов з другую, удовлетворяющую следующям условиям: а) В систему преобразований входит единственное тождественное преобразование Е (т. е. преобразование, ие меняющее объекта, к которому оно применено). ь) Каждому преобразованию А системы отягчает единственное обралвог преобраэоваике А г.
А г называется преобразованием обра~ллым по отношению к А, если оно объект Мп полученный иэ объекта М путем преобразования А, перезошп обратно в М. с) Последовательное применензе двух преобразований А и В нашей снстечы диет новое преобразование С нашей системы. С называется произведением А и В. Обозначать это произведение буаем так: С= ЯВ. б) Произведение преобразований рбдэдэет свойством ассоциативности: А (ВС) (ЯВ) С. Легко видеть, что совокупность линейньж незырожденньж преобразований сбладает свойствами а), Ь), с', б), т. е. образует группу.
При рассмотрении линейнйх преобразований †преобразован координат — мы ограничилнсь случаем, когда начало координат остается неподвижным. Для того чтобы получить общий случай, очевидно, достаточно к разобранным выше преобразованиям добавить преобразования вида: х, =-уг+ Ьг Эти преобразования соответствуют параллелыюму переносу коордлнатного креста Общий случай преобразования пространства можно также получить непосредственно из записи преобразования в векторной форме; лля этой цели достаточно считать, что векторы г; имеют начала в начале координат (как раньше), а векторы г,' — в некоторой произвольно фиксированной точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
