Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1), страница 8

1 элвмвнты п-мятной гвоматвии 34 ф 7. Ортогональные преобразования Среди линейных преобразований особо важную роль в евклидовой геометрии играют так называемые ортогональные преобразования. Мы скажем, что преобразование г=2~а,у, (54) (56) «~=с'.~ аозт (с=1, 2, ..., и) (55) в=1 ортогонально, если векторы а, друг другу ортогональны н их нормы равны единине, т. е. если 1 при г'=1, а,а,= О при вфла. Покажем прежде всего, что всякое ортогональное преобразование есть не вырожденное. В самом деле, в противном случае векторы а, доли<им быть линейно зависимы: ~й,а,=о (с.'~ и г ф О).

(57) Умножая (57) на ао в силу (56) получим: к,=О ((=1,2, ..., и), а это противоречит предположению линейной зависимости. Общее линейное преобразование зависит от иг произвольных пара- метров; выясним, от какого числа параметров зависит ортогональное преобразование. Нормы всех векторов а, заданы, следовательно, мы можем задать только их направления. Направление а, можем взять произвольно; получаем (и†1) параметр. Вектор аг должен принадле- жать многообразию (и — 1) измерений, ортогональному к а,;при выборе вектора ае мы получаем еще (и — 2) произвольных параметра.

Век- тор аь должен быть ортогонален векторам а, и аг, следовательно, дол- жен принадлежать многообразию (и — 2) измерений, получаем еще (п — 3) произвольных параметра. Продолжая это рассмотрение, окон. чательно получим, что общее число произвольных параметров, опреде- ляющих ортогональное преобразование, равно (и†1) + (и†2) + ... ...

+ 1 = --" — . То же самое число независимых параметров мы п(п-Ц 2 получим, если заметим, что иэ коэфипиентов преобразования связаны и (и — 1) уравнениями (56), число которых равно и+; имеем: и (п — 1) п (и — 1) иэ — и — -" — -= — —. 2 Умножив левую и правую части уравнения (54) на аь тогда, поль- зуясь (56), получим: ла,=у, или у,=~',ап«г Гаким образом при ортогональном преобразовании матраца обратного преобразования получается из матрицы прямого заменой строк ко- 35 ОРГОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ линн«ми.

Отсюда определитель преобразования равен определителю обратного преобразования. Так как произведение этих определителей в случае любого преобразования равно единице, то, следовательно, определитель ортогонального преобразоаания равен ='- 1. В заключение заметим еще одно чрезвычайно важное свойство ортогональных преобразований.

Пусть имеем два вектора го(х)(о), х (о),..., х„(о)) и г (х о), х Р),..., х„(х)), которые при ортогональном преобразовании (54) переходят в векторы: г е(у(о)у(о) уеь) и г е(у(йу(П у(г)) В силу (54) имеем: г, ~~~~ а,у,('), г, =~~~, 'а,у,й); Отсюда г, — го = Х ег (х,(п — х (о)) = лч.", аг (у,(п ую(о)) ~ч~,. е, (х,(х) — х ф)) = ~~~ а (у,(() — у (й), (58) или Возводя правую и левую часть в квадрат, получим: лч'., (х,(г) — А,(о))г = ~~~~ (У,(') — У,(ь))е или !!г — .!! = !! г' — о'!!.

г'в га=Ха (у(в) у(в)) (59) Перемножая почленно равенства (58) и (59), получим: (г — гв) (г, — г ) = ~~~~~ (у<(в) — ув(в)) (у,(') — у,(о)) = = (г ' — г,,') (г,' — г,'), (60) т. е. «роизведекие двух векторов есть инвариант ортогонального «реобразования. Отсюда мы заключаем, что углы также суть инварианты ортогонального преобразования. Доказанные свойства ортогонзльпых преобразований дают право считать эти преобразования и-мерного пространства полным аналогом преобразования прямоугольных координат двух и трех измерений.

Заметим в заключение, что ортогональные преобразования образуют группу — подгруппу группы невырожденных линейных преобразований. Задача 8. Доказать, что .шнеднос «реоброзование, переводящее сферическое мнтообразие ~~у «,ьнн1 само в себц есть ортогональное преобразование. Ва основе этого предложения можно онрелелсть ортогональное преобрвюванне как лииеиное иреобрвзоввние, пря котором единичная сфера ~х,в= 1 переходит сьыа в себя, и отсюда вывести все отмеченные нами выше свойства ортогонвльиых иреобразовани(). )((ы предоставляем вто сделать читателю в виде упражнения.

Таким Образом длина отрезка есть инвариант ор«югоналького «реобразования. Добавим к вектораь) го и г, векторы гя и гв, аналогично предыдущему будем иметь: (гл. 1 элвмкиты и-мквной гвоматеии Обобщение ортогонвльнык преобразований. Рассмотрим теперь преобразова е. Оста ющеепиварна мб общ мне юбр зиевторогопор дка: Р =- ~~~~ 1з,к Я вЂ” А, т е. преобразующее форму Р= Я 11ктз в форму Рг=Х11уу. Пусть средк коэфициептов 11 имеется й положительных: 11 — — глух(ус'й), а остальные отрицательные 1 = — р у (1) й).

При этих обозначениях: 1 й и Р= ~~~ ттткут — ~и~, ррх~. т=т )= а+х Таким образом, если пологкить гауку — пу при 1 < й, )руку — иу при 1) й (1= У:)) я аналогично глгуу=п, при )~й„ трууу = ог при 1 ) й, а„а„... ай ьм ь„... ь, „ а ь ь ... ь ...

ь й,п — й и ья — й "° 'гт,я--й "° айй ьй ... с,й с)„ ... сзй Ыч ь„ с)гз б аат сгз с„ ай, сы сз, сч — й, т сп й, з ... св- а, й 4 — «,г Ыэ — й, т ... 4~ — й,и†а есть ортогопальпый определитель с комплексными элемептамп — коэфипиептамп преобразования, Исключение вспомогательных переменных и и е дает нам преобразование: й я — й ВОХ„=,У~ а„ауУ.+С ~~~ ЬгтРууй+1 у=т 1=1 й и-а 1р,к, = ~ь, 'с,тю у +с ~~', с) рура+1 1=1 у=г (1 <г(й), (й(г(л). то формы Р и Р, перейлут в единичные формы и наша задача этим самым формально приводится к ортогоаазьнпыу преоч)азовзиию. Совершая над переменными пу произвольное ортогональное преобразовав~е, переводящее пх в переменные пр а затем возврашавсь к переменным ху г1 ур мы получим искомое преобразование. однако что если ортогональное преобразование перевод,пцег и, в пр будет обладать действительными коэфппиевтами, то искомое преобразование хт в уу (есяи йс, и) будет обладать мнимыми коэфиппентаии.

по этой причине, чтобы получить преобразование с действительными коэфипиеатамп, мы произведем над переменными иу ортогональное преобразование с комплекспыл1п козфициеатами и полученным более широким произниом воспользуемся таг, чтобы преобразование х было действительным. Итак, пусть 37 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Если мы кокни, чтобы вещественныс >' иерекодили в вещественные же ху и наоборот, то мы должны потребовать, чтобы числа а, и д,. были вещественны, а числа ЬЫ и с»у — чисто мнимыми.

Обозначив1 а„у »Ь„. »с»у Ы,. »лу — — — А„я р — — = 6»1, — щ. — — = С»11 ру — — — Р„. Найдем теперь необкоднмые и достаточные условна, которым влетворять козфипиенты Я, В, С. !» искомого преобразования. В силу ортогональности определители а имеем: В в — Й Х«ор +~Ь„л =! 31 1=1"' й в- й ,,'»,с»т +~>,'аол =1, 1=1 1=1 й я — й ~~ а,а!->-'5, 'Ь,„Ь; =0 У:=.1 1=1 й в — Й ажс,+~>,Ь,Р1, =О, 1=1 1=1 й в-.й 2' ту+Х~Фгу =' ,1=-1 У-1 Заменяя а, Ь, с, 1! через А, В, С, Р, получим искомые условия: А и — й чст ! жч !» 1 ,=1 фт гл» 1 в — В ты 1 Ст ! ., 1 , —, Р„,т —, --,„С,,— Рл ла! »лук Р» /= 1 Л! „ Й в — й ~~ — - А„РА„. ~~ - -. В„В,„= О.

,1=1 1=1 й и — Й 1.—.1 Э =.! В ю» — В Х.--'- Π— '-,'1 "-= ,1=1 ,1=1' должны удо- прн»:в а, (асе А»Р В„т Соь Р„.— числа вещественные), пол>чим иУжиое нам НРеобРЗ- зование: й в — В х, = ~ А»АР + ~~' Вбуь>,у при !~!~В, 1 — 1 1=1 й « — В А1 Х С1М+ Х д»куй+1 прн й ~1' ~ж 1=1 1=1 [гл. ( 38 мвмвнты и-минной гвоматтии В специальном принципе оп«есительности црнненлетсэ, например, преобразозапие, ие меняющее вида формы: ха+уз+ха — сс«'-, т. е. преобрззуюшее трехмерный гиперболоид ха +,уз + зэ — сэ«« = соцш. сам в себя (так называемое лоревцово преобразование>, Рассмотрим частный случай этого преобразования: х« — — ах + Ьс, Гг — — агх+ Ь«Г, уз=у Наше преобразование аолзшо переводить форму хз — сзГ«в форму х,з — сэс«э.

Следовательно: ы аз — — =1 сэ Ьз — а 3 с« 1 аૠ— --;ЬЬ« =О. сз Полагая: мы можем выразить все коэфициевты любого искомого преобразования з зависимости от одного параметра а с сз г' с" — ьа э Д««-. с рс~а: ээ ' с ь,= ~/«а — Ф $8. Предельный переход в и-мерных пространствах В настоящем параграфе мы рассмотрим те основные понятия, которые связаны с предельным переходом в п-мерном пространстве Мы будем говорить для определенности об евклидовом пространстве, но вти понятия иеханически переносятсн на другие и-мерные пространства, с которыми мы встретимся в будущем. Именно вти понятия лежат в основе теории непрерывных функций в и-мерных пространствах.

как мы увилим ниже, современная математика строит пространства значительно более общей природы, в которых зти понятия и их основные свойства сохраняются. Тем самым нам удастся перенести на более общие пространства теорию непрерывных функций. Область. Множество точек и-мерного пространства назовем обласшэв, если для любой точки А этого множества существует и-мерная сфера с центром в точке А, целиком принадлежащая рассматриваемому множеству (черт. 2). В качестве примера области может служить любая и-мерная сфера, содержащая данную точку.