Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1), страница 12

трижды меняет знак: прн !г =+ оо, Р(й))0, ' при Л= аз Р(к) >О прн Л=а, Р(й)~0, при а=ам Р(В)~(0. Следовательно, трн корня дн Л, дз уравнения Р(д) = О расположены такг лг) аг>дг)аз> йз> аа Из этого следует, что через каждую точку А проходят три поверхности 8а: 8г;. 8г;8г — один эллипсоид, один одиополостный н одни двуполостный гггперболойды.

Мы лгожем при этом выразить координаты х,у,х точки А через числа йн Лг, йг. В самом деле, вычисляя коэфициеиты иолннома Р(й) и выражая их симметрическими функциями корней, имеем: хз уз лз 'г Дгазк. = а а аз У1+ — + — + — -г), 5 в гг г з 3 йгаз+ йигз+ йздг = а аз+ а аз -(- а аз+ хг(а + аз) -(-у (аг -(- аг) -1- 55 (аг .(- аз), йг + Лг+ йз = а, + аз+ аз+ ха +уз+ Хг. б )О) лнллитнчкские многоовгазия Решая эту систему урзвненнй относительно хз, у', лз, получим в конце концов: (А~ — а,) (Лз — а<) (Вз — а<) (а,— аз) (а, — а~ (й< — аз) (Лз — аз) (Лз — аз) (а, — а<) (ат — аз (1« '<З) ((лз — аз) (Лз — — аэ) (аз — а,) (аз — аз) Зная выражения лля х, у, з через Лп Ль д„найдем выражения для с<х, <ту, с(л через «Л<, «Лз, адз. Отсюда уже нетрулно выразить в новых координатах диференциал дуги: ,(зз 1 Г (Л< — Лт) (Л<-дз),„дз ) (ач — д< (Л~ — Лз) „Лз+ 4 ) (из — а,) (Л< — ай (И,— аз) ' (Лз — а<) (Дз — ат) (Лз — аз) (Лз-/г<) (ц — дт) з а<дзз1 (Лз — а,) (Йз — «з) (Лз — аз) Полагая Л< =.

сопят., получим эллипсоил Л).< лм Лз бУДУт криволинейными кооРдииатами иа этом эллппсопде; пРи Л = сопз1., Д<, Дз (чеРт. 6) дакУт пал< криволинейные координаты на одиополостном гиперболоиде аь при Лз = сопз1., Л< и Лз — на двУполостном гипеРболоидс Юл, й<, Лз дз н называются эллиптическими коордииаталп<. Аналогично л<ожпо определить таку<о же систему „эллиптических" координат (Л„~, ..., Йч) в л-мерном пространстве.

Переход от декартовых координат х<,х... „ х„ к эллиптическим аи )!), ..., а„ дается формулой: П (л, — а.) х,з = —— йИ'б (<=1,2, ..., и). П (а,— а.) 3 ел Эллиптические коордннзты были впервые введены Якоби при решении задачи об отыскании геодезических на эллипсоиде. Этот вопрос будет разо- Черт. б. бран наин в главе Х1!1. Й !<при<!ентрические координаты.

Можно определять положение точки в и-мерном пространстве с помошью а+ А чисел (координат), связанных Межлу собою «< соотношениял<и. Простейшим примером такой системз< координат являются барииеитрические коорлвпаты (л = 11. Представим себе, что в и+ 1 вершинах Аз, А„..., Ач единичного тетраэдра Т, расположенных: Аь — в начале координат. а остальные А, на осях координат, помсшены массы (положительные или отрицательные): г„, сп ..., сч, удовлетворяюшпе условию: (14) и ~ч, с, = 1. '.—. е Применяя обычную форл<улу, найлом центр тяжести этик масс.

Учитывая равенство (14), а также то, что все декартовы коордшшты точки Лз равны нулю, координаты же точек А,(з'= 1,2... и) рвань< нулю, кроме <-и координаты, равной елнппцс, цс<пр тяжести А масс с со ..., г„будет иметь коорлинаты: х,=с, (з'= 1,2, ..., л). (гл. П огнкции точки в и-иваном пгосттлнстве Обратно, из этой формулы, зная точку А(хь хэ ..., х„),мы единственным образом определим массы сь, с<. еь ..., е„, помещеинйе в вершинах Т, центр тяжести которых попадает з А< с< — — х<, ео = 1 —,~~ х< (1= 1,2, °...

и). с.= > Числа е< называется бари<(енл(дическими координатами точки Я. Линейным невырожденным преобразованием можно преобразовать единичный тетраэлр Т в произвольный тетраэдр Т', при этом центр тяжести масс е<, номещеииых в вершинах Т, переплет в центр тй>лестн тех же масс, помещенных в вершинах Т'. Поэтому мы лю>кем дать несколько более общее определение барицентричегких координат. Пусть Т' — произвольный л-мерный тетраэдр с вершинами Аь, А>, ..., А„. Каждой точке А л-мерного пространства отвечают единственным образом (и+ Ц относительных чисел со еь ..., с„таких, что центр тяжести масс с„помещенных в вершинах Я, нашего тетраэдра„йопэдет в точку А и что дая этих чисел уловлетаоряется равенство(14). Из определения барицентрических коордлнат легко вытекают следующие их свойства.

!. л-ыерная грань О (л с: л, соединяющая (о+1) вершину А, А,.... А< имеет в барнцентрическнх коорлвцзтэх уравнение: (г Пге, гь ..., гь>. е,=О х Точки тетраэдра Т' определяются в плрнцентри <вских координатах ие ргвеистэгз ш с,~0 (>=О,1, ..., „). ф 11. Касательные многообразия Введем одно предварительное понятие. Расстоянием данной точки А от данного ыногообразия г.ыы называем минимум длины отрезков, соединяя>щнх данную точку А с произвольной точкой многообразия. Очевидно, что расстояние от А до г. равно нулю тогда и только тогда, когда точка А принадлежит многообразию Е.

Пусть теперь нам даны два <г-мерных многообразия, н пусть вти многообразия имеют общую точку Мо'). Мы скажем, что данные многообразия касавлкя друг друга в точке Мо, если расстояние произвольной точки М одного многообразия от другого многообразия есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с расстоянием г (Мь, М). Решим следующую задачу: дано й-л<ерное мн<мообразие г. и правильная точка Мо(х< ) этого (г> многообразия; требуется иострои>ль линейное многообразие й измерений касающееся г.

в точке Мо. )хопустнм, что ыногообразне г, задано уравнением в параь<етрической форме: х<=~<((„Фг, ..., Уг) (1=1,2, ..., н), (15) и пусть у,, 1 , ..., )ь суть криволинейные координаты точки Мо. (ь> (о> (о> <) Мг предполагается правильной точкой для каждого из многообразяй. 55 $11) касательные многоовгазня При этих обозначениях уравнением искомого многообразия будет следующая система: (1 6) где через ~ — ') обозначено значение производной в точке Мр.

дгу о В самом деле, система (16) дает линейное й-мерное многообразие, ибо в силу правильности точки Мо один нз определителей й-го порядка, составленный из коэфнциентов правых частей (16), отличен от нуля. Возьмем теперь точку М(г), бесконечно близкую к точке Ме, и обозначим через л расстояние от М до многообразия (зб).

Очевидно, имеем: йз Ъ ~ ( — 4) — Х(у) (г.— г, )1. е Я но в силу 9 9 (оцределение диференциала) каждая квадратная скобка есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с бесконечно малой Г' ~(г — г~~)я, которая в силу предыдущего параграфа имеет порядок бесконечно малой г(М, М). Следовательно, Ь есть также бесконечно малая порядка более высокого, чем г(М,„М). Если мы в системе (15) фиксируем й — 1 параметр, а один оставим произвольным, то система (15) нам дает линию, которую мы будем называть координалгной линнея. Через каждую точку А й-мерного многообразия можно провести й координатных линий: Г'„,, ..., Г„. Прямые Г,~Ч, Га~п, ..., Га~'~, получаемые из (16) фиксированием соответствующих параметров, будут касательными к этим линиям.

Заметим следующее. В правильной точке многообразия, если мы в направлении каждой прямой Г,~ отложим вектор, мы получим систему <о> й линейно независимых векторов. Под углом между координатнными линиями Гг и Г мы будем понимать угол межа соответственными касательными Г,~ ~ и Г,1 ~. Условие ортогональности Г, и Г, (т. е.

ортогональности соответственных прямых Г,(й и Гйэ) запишется в форме: а Это значит, что для точки Р коэфициент Ац(8$ О в выражении элемента дуга ЫФ=.~~А лагг, (см. стр. 50) равен нулю. Если все координатные линии во всяйой точке л~ногообразия взаимно-ортогональны, то все А,.=О пря г ф~.

Из формул предыдущего параграфа непосредственно следует, например, что сферические и эллиптические координаты образуют ортогональную систему криволинейных координат. Яы решили поставленную задачу в предположении, что данное многообразие задано уравнением в параметрической форме.

Укажем вкратце на решение той же задачи, когда уравнение многообразия задано в форме: Ф,(к„км ..., к„) =0 (1=1,2, ..., л — й). (17) 56 етнкции точки в л-мятном ягостглнствз [гл. И Пусть Ме есть обыкновенная точка многообразия. В этом случае все координаты точек многообразия в окрестности точки Ме выражаются через и координат„ которые можно рассматривать какл параметров. Задача построения касательного линейного многообразия к многообразию (17) сведена к разобранному выше случаю.

Рассмотрениями, аналогичными приведенным выше, а~ы обнаруживаем, что (и†л)-мерное линейное мкогообразие: ( — ') ° (х,.— х™)=0 (1=1,2, ..., й) (18) касается (л — 1)-мерного многообразия Ф,=0 в точке Ме, 9 12. Функция как многообразие. Стационарные точки Целью настоящего последнего вводного параграфа является установление связи между понятием функции многих переменных и теми геометрическими понятиями, которые мы ввели раньше. Пусть нам дана функция Дхм х,..., х,) от л независимых переменных. Эту функцию по аналогий с функциямн двух неааннсимых переменных можне интерпретировать геометрически двумя различными способами. 1 й способ.

Ввашм пространство л+ 1 измерения (хи х „ ... х, «) и условимся изображать данную функцию у в этом пространстве как многообразие л измерений, определенное уравнением: л = Дхп хм..., х„). (19) 2-б способ. Введем пространство л измерений (х» х,...,х„) и условимся изображать функцию у в этом пространстве как однопараметрическое семейство (л — 1)-мерных многообразий, определяемых уравнением: У(хы хз,..., х„)=л, (20) где Ь вЂ” параметр.

Мы используем в дальнейшем каждую из этих интерпретаций. Первая интерпретация дает нам изображение функций при помощи многообразий весьма простой природы: всякая прямая, параллельная оси Од, пересекает многообразие в единственной точке, каждая точка многообразия есть правильная точка г).