Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1), страница 14

Линейным касательным миогообрззием будет являться касательная плоскость, касательными многообразиями второго порядка будут служить поверхности: ХО= = ал (х — хз) + аз (у — уа) + 1 + 2 1ан (х — ха)а+ 2а|з (х — хе) (у — уз)+ аж (у — ул)з). Здесь возможны три случая: 1) алз — ал,азл(0; рассматриваемое многообразие есть эллиптический иараболоид, А не обращается з нуль ни при каком направлении. 2) и,з †алл )О; мы имеем гипероолическии параболонл, в атом случае существуют даа направления, дгя которых А равно нулю, направление дзя которого А ) 0 и направление для которого А <О. 3) ащ — амата —— 0; мы имеем параболический цилиндр; число А при измез пении направления х.

знака не меняет, причем существует одно направление для которого А = О. е( $12] егикция как миогоозвлзив Допустим (черт. 7), что точка, в окрестности которой мы аппроксимируел~ фуикцнкь есть стащюварная точка.и посмотрим, что собою будут представлять многообразия (27) и (28). В случае эллиптического параболоида многообразие (27) цри Ай , 0 пусто и при Ай 0 есть эллипс с центром в точке Л(е. Следовательно. при Айч.. О (ЗО) также пусто н при Ай)О есть простая замкнутая линия, окружаюцыя точку М„. В случае гиперболического параболоида многообразие (29) не пусто как при Ай) О, так и при Ай с, О.

Если через ле и Лт обозначить направления, для которых А = О, то многообразие (27) будет гиперболой с асилгптотами Ц и Ль двум разным знавал~ й будут отвечать две Черт. 7. еопрюкенные гиперболы; слеаозательно, многообразие(80) булет также не пусто при любом й и в окрестности точки Л]з будет состоять из двух простых дуг, расположенных соответственно в двух зертикялыгых углах. образованных прямымн Л, и Л .

В случае цилиндра многообразие (2л) прн Ай)0 есть пара пэралгельных прямых и прн Ай с" О пуско, что касается многообраапя (8ОЬ то в данном случае о нем никакого оаределенного суждения высказать нельэя— вто многообразие может Оыгь замкнутой кризоб, как в случае первом, и может быть не пустым лппгь при опретеленном знаке й, но может также состоять иэ двух дуг, не связанных одна с другой. ГЛЛВЛ Гб ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКНИй ТОЧКИ и-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА $13.

Классификация экстремумов Перейдем к вопросу о разыскании тех значений независимых переменных, при которых данная функция достигает наибольших и наименьших значений. Начнем с более точной постановки задачи. Пусть нам дана функция точки и-мерного пространства г(М), определенная в некоторой области лл (закрытой или открытой †безразлич). Мы скажем, что в точке Мо функция достигает своего пбсолюлллгмо минимумп (максимулла), если, какова бы ни была точка М, принадлелашая области Гг, имеем: (г'(Ле) >г'(М)). (1) Если равенство имеет место только при совпадении М с М , то мы скажем, что имеет место строгий мини.кум (максимум).

Мы скажем, чтоу(М) в точке Мо достигает отногителаного миниму.ип (максимума), если существует окрестность;0 точки Мь такая, что неравенство (1) имеет место только для точек этой окрестности. Иначе говоря: функция У(Л) достигает абсолютного минимума (максимума) в точке М, если ограничиться рассмотрением у(М) только в этой окрестностй. Из этих определений очевишло, что если в некоторой точке имеет место абсолютный минимум или максимум, то в этой точке имеет место также относительный минимум или соответственно относительный максимум.

Укажем еще на один термин, который обычно вводят для краткости речи. Мы скажем, что в данной точке Мо функция имеет экстремум (абсолютный нли олллосительный), если в этой точке функция достигает миииллулла нли максимума (абсолютного нли относительного); точку М„ будем называть экстремпллиой. Общую проблему исследования экстремумов функций можно разбить на три группы проблем: 1) найти по возможности широкие достаточные условия существования абсолютного экстремума функция; 2) найти по возможности простые необходимые условия, пользуясь которыми пожни было бы фактически определить все экстремальные точки; 3) по возможности близкие к необходнмыл< условиям дать достаточные условия того, чтобы в лаиной точке функция постигала минимума (максимума). Первая из поставленных задач решается в положительном смысле для чрезвычайно широкого класса функций- Ее релпеиие основано на теоремах Вейерштрасса.

5 14] тзогвмы ввйегштглссл $ 14. Теоремы Вейерштрасса ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА 1. Всякая непрерывная функция. определенная в ограниченной замкнутой области л-.мерного пространства, ограниченна сверху и снизу. Допустим, з самом деле, что непрерывная функция точки Г(М), определенная в ограниченной закрытой области Ц не ограниченна, например, сверху. В этом случае существует последовательность точек: М„Мгп М, ° ° °, М„,"., в которых значения функции г(М„) стремятся к +оо прн л-+со. В силу компактности закрытой ограниченной области (г в ней существует по крайней мере одна предельная точка М последовательности Мес Пусть г'(М) = И; значения У(М„) при л, превышающем некоторое фиксированное значение ле, превзойлут АГ+1.

Выкинув первые ле точек М„М, ..., М„, мы оставим в последовательности М„бесконечное число членов. Точка М будет, очевидно, предельной для оставшейся части последовательности М; поэтому в любой окрестности точки М найдутся точки М„этой последовательности, для которых /(М„) ) Аг+ 1, или У'(М„) — г'(М) ) 1, что противоречит непрерывности функции у в точке М. Итак, первая теорема доказана.

ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА 2. Всякая непрерывная функция, олределеюнт в ограниченной залиснутой обласгли, достигаелг в ней своего абсолютнто максимума и Минимума. г(епрерывная функция ~ е ограниченной замкнутой области сг в силу теоремы 1 ограниченна сверху. Обозначим через С верхнюю границу значений у на К Возможны два случая: 1. Существует точка М области Ц в которой г'(М)=С; в этом случае теорема была бы доказанной.

2. Такой точки М не существует; тогда по определению верхней границы С в области (У существует последователыюсть точек М„М„..., М„,... таких, что г(Мп) = С вЂ” з„, 1пп е„= О. Вследствие компакт- в.э с ности чг' последовательность М„обладает на (у хотя бы одной предельной точкой Ме. В силу сделанной нами гипотезы: у(Ме) ф С; следовательно, /(Мо) ( С (неравенство у(Ме) ) С невозможно, иначе С не была бы верхней границей).

Пусть У(М,)=С вЂ” А (Ь) 0), (2) л Почти все члены ') последовательности у (М„) отличаются от С меньше чем —: й С вЂ” У(М„) < ') Те-есть все члены, за исключением, быть может, конечного числа их. 64 зкстгвмумы ехикций точки н-манного пгостглнствл [гл. В Подставляя вместо С его значение из равенства (2), получим: У(М„) У(Мо) > й (3 Неравенство (3) выполнено почти для всех точек Мь, а так как Мо — пре. дельная точка, то в любой окрестности точки Мо найдутся точки Мго для которых также выполняетсн неравенство (3). Это противоречит тнпотсзе о непрерывности л в точке Мо.

Итак, вторая теорема доказана. Наше доказательство опиралось только на определение непрерывной функции и иа свойство ограниченных замкнутых областей евклидова пространства быть компактнымн. Оно сохраняет силу лля функций, определенных на любом компактном множестве в евклидовом пространстве. В главе Ч! мы дадим обобщение теоремы Вейерштрасса иа случай функций чрезвычайно общего характера. П р н м еч а и и с.

Устэиявлпвасмос теоремой Веяерштрасса существование точки, в которой функция достигает минимума илн максимума, связано с компактностью системы точек, на которых функция определена. Если непрерывная функция задана нз некомпакгном множестве точек, то экстремум может не достигаться нз точке этого множества. В соответствии с этим при пользовании теоремой Вейерштрзсса необходимо предварительно убедиться в компактности множЕ- ства, на котором функция определена Гипотеза о существования абсолютного экстремума па пекомпэктном множестве может привести к неправильным выводам. а Приведем пример, указанный Вейерштрзссом. Ложное доказательство пятого постулата ЕвЧерт.