Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1) (947319), страница 15
Текст из файла (страница 15)
3. клндв из остальных аксиом геометрии. Постулат Ев- клида, как нетрудно убедиться, эквивалентен гипотезе, что сумма углов треугольника на плоскости равна ж Лежандр доказал из прочая аксиом геометрии, что сумма углов треугольника не превосходит и. Пусть К есть верхнял граница сумм углов треугольника; К(к, и пусть сугкествует треугольник АВС (черт. 6), на котором сумма углов достигает максимальной величины К. Произвольную внутреннюю точку О стороны АС соединим отуезкомВВ с вершиной В. ВГлразбнвает наштреугольник на два треугольника: АПВ. Е)ВС, сумма углов каждого нз которых не превосходит К; с другой стороны, сумма углов обоих треугольников равна К+я, следовательно К+ г.
< 2К, но так кзк К не превосходит щ то, следовательно, К= зг. Итак, существует треугольник АВС, сумма углов которого равна я. Но в игом случае. как показал Лежандр, любой треугольник имеет тзкую л<е сумму углов; мы получили „доказательство" постулата Евклида. Ошибочным в таком доказательстве было предположение о существованкн треугольника, нз «отирал| сумма углов застигает своей верхней границы. В геометрии Лобачевского разность между я н суммой углов треугольника пропорциональна плошади последнего, н если сумма углов его стремится к я> треугольник стягивается в точку. ТЕОРЕМА 3. Если непрерывная функция у(М) определена во всем пространстве и если Вш у(М) = + оо при г (О,М) -ь оо.
то сУщгшлэУет точка Мо, где У'(М) достигает своего абсолютного мин амулга. $141 таоввмы вийвгштвлссл Возыяем число Р настолько большим, чтобы ПО) <У(М) (4) для всякой М, для которой г(О, М),. Р. Рассмотрим теперь функции /(М) внутри п-мерной сферы г(О, М) =.Р. Эта сфера является ограниченной и замкнутой областью: по теореме Вейерштрасса существует точка Мо, принадлежащая сфере или ее границе, такая, что У(Ма) ~У(М)> (5) где М вЂ” произвольная точка сферы, т. е.
функция у в точке Ма достигает абсолютного минимума в сфере Докажем, что в точке М доствгается абсолютный минимум функции у(М) во всем пространстве. В самом деле, в силу (5) У(М,) У(О); в силу же (4): У(МО) <У(О) <У(М) У(М,) < У(М) или — 1 а 1 оп+а 1 1и ) Р(е) ) и 1п ) аф ) + )п 1 + г — + ... + —— по е ' " ао При в, стремящемся в бесконечность. второй член стремится к нулю, так как выражение, стоящее з нем поа знакон логарифма, стремится к единица; первый же член стремится к бесконечности вместе с ) г ! .
Следовательно, в силу теоремы 3 функция 1и ) Р(г) ) достигает абсолютного минимума в какой-то конечной точке плоскостж что иевозоюзано, пбо 1п 1 Р(г) ) есть гармоническая функция и, следовательно, не может постигать минимума ни в какой внутренней точке области ое существования, з нашем случае нп э какой конечной точке плоскости. Мы пришли к противоречив, указывающему нам на неверность гипотезы отсутствия корней у полииома Р(г).
для любой точки М, расположенной вне сферы г(О,М) ~Р. Следовательно, (5) имеет место для любой точки пространства. Этим теорема доказана. Приведем без доказательств еше одну теорему-следствие. ТЕОРЕМА 4. Если длк функции У'(М), определенной и непрерывной в нюсоолорой открытой облисгпи Р, существует тонка Мо области 0 такал, что какова бы ни была гпочка Ф границы О, все значении, принимаемые фуюсцией у в какой угодно малой окрестности винили И, болоте (меньше) ~(Мо), то с>ацестлует точка М, принадлегкашлоя О, в которой у доспшгает абсолюгпного минимума (максимума). Пример. Основная теорема атебры. Пусть Р(г) = поги+ аге" + ...
+ а„ некоторый полинам в комплексной плоскости г (паФ О). Докажем, что этот полинам имеет «ории, т. е. что существует точка га, в которой Р (го) = б. Допустим противное; тогда функция 1и ) Р(г) ) определена и конечна в каждой точке плоскости. Тзк как Р(г) = ааг" (1+ — — +...
+ — — „), а ! а+ ! аа г " ао 66 экстэем>'ьсы функций точки и-мягкого пгостглнствь [гл. 1>Ц й 15. Необходимое условие экстремума Приведенная выше теорема Вейерштрасса и теоремы, полученные ич нее как следствия, носят чрезвычайно общий характер, но совершенно ие дают ответа на второй поставленный вопрос фактического определения тех точек, где достигается экстремум функшси. Для того чтобы подойти к этой второй проблеме, мы прежде всего сузим класс рассматриваемых функций, именно будем предполагать, что изучаемая нами функция и переменных обладает непрерывными частными производными первого порядка, этим самым мы получаем возможность использовать все результаты, добытые нами в 6 11 и 12.
Прн этих дополнительных гипотезах мы имеем следующую основную теорему: ТЕОРЕМА. Если непрериеная и диференцируемая функция, определенная е некоторой области В, е точке Мо есной облипли достигает экстремума, то точка М етпь стационарная точки длл. данной функции. В самом деле, если функция / в точке Мо достигает минимума, нли максимума, то разность Л ) — У(М.) должна в достаточно малой окрестности точки Мо иметь постоянный знак.
Вместе с тем, в силу рассмотрений й 12, если точка Мо не есть стационарная точка, то в любой близости от точки М существуют точки, где эта разность положительна и тле эта разность отрицательна'). Дадим доказанной теореие еше аналитическую формулировку; Если функция и переменных С (х„хг,..., х„) вточь [хСо>,хсо>,,хлс>) достигает минимума или максилсулса и если точка (х>о>) не есть граничная >почка области задания функции, спо е этой точке имеелс: — =0 д~ (1=1,2,...,л). (6) дх, Опираясь на эту аналитическую формулировку, дадим еше один вывод теоремы.
Если /(х„хо, ..., х„) достигает в точке (х",>) минимума (максимума), то тем более функция одного переменного х,: с со> 1о> <о> <о> со>т у(х,х, ...,х, х, х, ...,х ) достигает при хс=х,: минимума (максимума); отсюла, пользуясь ос>о> новным необходимым условием экстремума функции одного независимого переменного, получим снова (6). Доказанная теорема имеет огромное принципиальное и практическое значение. Во мнопсх вопросах эта теорема, дополненная одним из указанных следствий теоремы Веяерштрасса, дает возможность до конца решить задачу на разыскание экстремумов функции. Разберем ряд примеров на приложение развитой теории. с) Отметим сейчас же, что прн выводе мы существенно предполагаем, чсо точна Мо есть ввутреяняя точка области.
Если область 1> — аькрьгия область и если экстремум достигается на границе области, то теорема в общем случае пересгаес быть верной. К отому вопросу мы подробнее вернемся инже. 67 $15] ивовходимоп услОВии ВКСТРВыума Примеры. 1. В иространстсе и измерений даны дэе прямые: х, = Г созос+ а, (с'=1,2, ..., и), (7) сг ссоэд~+Ь~ ((= 1,2, ..., я); (8) требуется онределить расстояние между этими лрямыми. В силу определения расстояния между двумя многообразиями наша аадача прнвоюпся к разысканию минимума функции двух независимых переменигях С и м Г = ~~~'(чсоззс — Гс0$ а,+ Ь,— адз, (9) где г есть расстояние от точки Г одной прямой до точки ч другой прямой. Если ланные прямые параллельны, то сова,=соэй, (1=1,2, ..., л), ио тогда, полагая ч — г = Т, расстояние г выразится в зависимости только от Т.
и наша задача сведется к определению минимума функции одной переменной Т. Займемся обшим случаем и будем считать, что данные прямые не парал- лельны. В этом случае легко видеть, что когда точка (г, с) удаляется в беско- нечность, г-+ оо, следовательно, по теоремс 3 минимум достигается при неко- торых конечных значениях $ и с. ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ С И Ч ВОСПОЛЬЭУемся основным необходимым уславнвм Получим: ~~~, соа а, (с соз рг — г соз а, + ь, — а,) = О, ~~~~~ соз Ь, (ч соз р, — Г сов аз+ Ьс — ад = 0 или, обозначая через 1 угол между прямыми: $ — с сов 1 = ~~ , 'соз а, (Ь< — ад, (1О) $ сов 1 — ч =,~~ соя й, (Ь, — а,).
Определитель втой системы, равный — $1пзт, отличен от пуля, следовательно. система имеет единственное решение. Так как, с другой стороны, минимум сушествует, то это и булут те значения Г и ч, прн которых г постигает своего абсолютного минимума. Для решения системы (10) введем добавочные обозначения. Пусть р есть вектор с началом в точке М,(а,) и с концом в точке Мз(ЬД; обозначим через р норму р и через р и р соответственно углы, образованные р с пря- мыл~и (1) п (В). Система (1О) примет вид: $ — т соэ 1 = Р соз Рт, $ соэ 1 — с = р соз рт. Отсюда /0 — — — (С0$ рт — Соэ у С0$ рт) Р Мпзт го — (с0$1 с0$ рт соэ рт) р $1п$1 Подставляя найленные значения Г и т в (9), получим искомое расстояние иежду прямыии: р гз ис — (1 — соззт- созз р, — созз Уз+2 соя у-соз р, сов рз) (П) зп|з т Решение задачи остается в силе и для случая трехмерного цростраиства, ибо формула (11) от числа измерений не зависит, Это обстоятельство можно обнаружить геометрически, можно его обнаружить и прямо из формулы (9), если в втой формуле раскрыть скобки, просуммировать п воспользоваться вели- чинами р, рт, рз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
