Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1) (947319), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Прн этих обозначениях ордината центра тяжести»тго звена будет: У,=Уз+»з1пй»+»и!пт„+ ...+ — з)пть вкствлмумв еликций точки и-мятного пгоствлиствл (гл. П! 80 Примеияв метод множителей Эйлера-Лагранжа, получим: 1г . 1Л (1+ Л<Р»+ Лара) = ( л — < + — ! соз.р, — Л<1 з«п у<+ Ля(соз т = 9.
йу< ' ' ' н'Л Отсюда 1 Лз и -1+— 132<= + 1 л л или, полагая 1 =ив Л =р» Л получим 1 и — 1+— 13т<=«< + р» 2 (34) Пля определения неизвестных р» и рт достаточно подставять иайдеивые выражения для у, в уравиевия (33). Так как 1 соз т<= ггзч ~ з«п р<= тт+ <' то система уравнений для определения р< и и примет вид: и ( <=» 1 л — <+— 2 «'+ и (35) Уз Уо < ) Задача 3. Найти максимум определителя Грамма <), состааленноао иэ и аентороа В этом случае ) И,И1 ! — ! а,< )з а) Таким образом наша задача приводится к разыскаиит максимума функции )а<1! (36) <Ф переменных при и условиях: '~ а<1з=!а<!т (1=1, 2,...,п).
(37) 1=» т) См. $12, задача 2. т) Пол символом !а,.! мы, как раньше, понимаем определитель, общий элемент которого есть а«г ат, <ть.... ии. ири условии, что нормы всех еенторое финсирозаны. Мы можем считать, что все векторы и, расположены в п-мериом евклидовом пространстве: и< —— аие<+ ... + ате„(< = 1, 2, ..., и). 81 8 18] услОВныЙ экстгнмзм Разложим определитель (36) по алемеитам бй строчки: ) л<Г) = ппАп+... + а<„А< (38) где А,у есть микоР, соответствУюп<нй алементУ арр Поставим себе задачУ найти максимум выражения (381 прн условиях (37).
считая А, фиксировзнными (это яозмо<кно, ибо А; от а,< не зависит). Условие (37) определит в пространстве (ап,..., а,„) сферическое многообразие (и — 1) измерения. Нам нужно, таким образом, йскз<ь мзксимуи функции, заданной на этом замкнутом (и — 1)-мерном многообразии. Из нгой постановки в силу теоремы 3,$14 сразу заключаем, что искомый мак- симум достигается, и для его определении применим метод Эйлера-Лагранжа: Г(а,<) = апАН+ ..
+ а,„А<„+ Х ч< а«з, у дà — = Ам+24«у — — О (< = 1, 2,..., л). а« Отсюда заключаем, что искомый максимум достигается, когда элементы а . пропорпиональны йх минорам А«. Покажем,;то в этом случае все векторы а< друг другу ортогоиальны Имеем: п<п = 7<поп< < = 2 7 и«'(в< ° у Если 1:Р <и, то справа мы имеем определитель, у которого <-я н <и-я строки совпадак«, следовательно, п<п =О при <' ф ю. Ют авда ~ж,а!= Пи,'. Это и есть искомый максимум определителя Грамма. Отсюда, како<я бы ни была л<аблнца Чисел ирм имеем: ~,!'<ПХ,Л- < у Пол ченяое иераяеиство называется иерпзенсл<вол< Гад<кипра.
% аднм геометрическую интерпретасопо доказанной теоремы. Для в<ой цели введем понятие обьема п-мерных тел, расположенных в и-мерном евклндавом пространстве. Обземом и-мерного тела Ю назовем и-кратный интеграл: О'. " )"б, и, бх.. и взятый по телу й. Из этого определения вытекает, по обьем единичного и-мерного куба равен единице; объем параллелепипеда равен модулю определителя линейного преобразования, перезодяп<его единичный и-мерный куб я рассмкгриваемый параллелепипед, т.
е. если ребра параллелепипеда суть векторы <т<, пт,..., и„, а, = апе< + ... + о;„е„, то объем У параллелепипеда буде< равен: пма,т .. „а,„ аз, атз... аы я<< я<в ' " пял Приняв зто определение и заметив, что сумма квадратов элементов <-й строчки окределнтсля У есть квадрат длияы рго ребра параллелепипеда, мы в силу неравенства Гадаыара получаем такой результат: 82 зкстгнмьмы аьнкцнй точки и-ининого пгпстглнствл (гл. 1Н Среди всех параллелепипедов, имеющик ребра данной длины, прямоугольный параллелепипед имеет паибольшшт обйе. Задача 4. 1(зо не р иь~ етр ическак задача для полигона в. Среди всех замкнутых полигонов с и вершипалш данково периметра найти тот, иоторый ограничивает наибольшую плоггбгдэ.
Обозначиы вершины полигона через Аг(круг) (/= 1, 2,..., и; Л„+, —- Лт) длину стороны АГЛ + через Гу — — )/(х~+, — к>)з+ !у+ -уу)з, периметр полигона через Г, а его плошаль через 8. Задача сводптсн к ивховкденню максимума 8 при условии: (39) Наша задача о нахождении экстремума (43) прк условии (39) по правилу Эйлера-Лагранжа сводитск к решению систиы уравнений: д (8 — >,ч,!л)=О, дху (> = 1, 2..... и).
(44) д и —, (8 — >,~П',Гв)=О ду. Заметна, что в сумме (43) х. входит только в >'-й к (У вЂ” 1)-й члены, что в сУмме ~~в',Г» только члены ГЛ !у соДеРжат ху, мы полУчни нз (44): х., ! — х ху — к. в, г > в 4 †.> аналогично: — ху+т+х -+>, — 1 = О. уй+! уу уу ЗЗ вЂ” г у >- у — 1 (43') !) % е ! е га1 та эз, Чог!езппйеп ОЬег Уаг!а!!опэгесйпппй, т 6. Прежде всего заметим, что полигон максимальной плошавп существует; мы можем, не менвк плошадей и периметров полигонов, фиксировать одну из вершин; тогда совокупность полигонов данного периметра расположится в ограниченной части плоскости.
Легко убедиться, по совокупность этих полигонов компапгна, и мы можем применить теорему Вейерщтрасса осуществовании абсолютного максимума. А рг!ог! возможны два случаи: 1. У экстремального полигона все Гу-рс. 2. У экстремального полигона некоторые стороны вырождаются в точки„ т. е. некоторые 1~ = О. Рассмотрим и е р в ы й случай. Введем следующие обозначение т): хг — (к + — ху) + 1( ! .+ — у.), (>=')г: !).
(40)' к> — (хг+ — ху) — > (ут . — уу) Очевидно, комплексный вектор л; есть век!ар равный и параллельный А.А„ Поэтому Я=ч (41д еу —— гвегвг' (42) где ту — Угол между учй стороной АеА~+ и осью Ох. Площадь 8, ограниченнав полигоном, равна (с точносгью до знака): 1 8 = — ~~в~ (хуу+ — кл+,уу) . (4ог 83 $161 условный экстевмуы Из (40), (41), (46), (46!) получаем: «,.+ .,+14 — — Ь! — — к б ! г' — 1 нлн (46) Аиалогично1 — ьг) — ( 1! ) (46') Перемножая полученные равенства (46), (46'), мы в силу (41) получим: 1+ —, =$ 1+— Отсюда сразу следует: или, полагая 7 = 2, 3,..., и 1; = — = сопл!.1 и все стороны равны меькду собою. Подставив в формулу (42), получаем: ! те ! ч-11 «= — еу, « — — — ег и и Отсюда (т! тг-1)' (47) «.
1-1 ! где у! — ре есть угол между А! А. и А!А!+. Так как все г! — — —,то из(45) п' следует пы 1+— — = — = сопз1. «п1,! ! — 1 нли (сравнивая с формулой (47)): — —— Сопз1. (~~а~«1)р) +(~~Р ~у )У) ) Я~«1+у11р) (43) причем знак равенства достигаетсв только в случае, когда все числа у„ про- порщшнальны числам х, (случай, когда все числа одной нз свстем х, нлн у, равны нулю, мы относим к отучаю пропорциональности). Все глы полигона равны между собою, т. е.
наш полигон правильный. еперь рассмотрим второй случай. Пусть Д сторонэкстремального полигона обращаются в нуль. На1п полигоя обращается в полигон с и — й неравными нулю сторонами, а в силу предыдущего он был бы правильным поаигоном с и — й сторонамн. При равном периметре, как легко убедиться, правильный полигон с большим числом сторон имеет плошадь, превосходящую плошадь правильного полигона с меныпим числом сторон, поэтому максимальная площадь достигается при заданном периметре ! иа правильном п-уголькике.
Задача 6. !уераеекство Минковского. Докажем, что, каковы бы ки были числа «и хз,..., .г„, У1, У ...., У„и каково бы ки было число Р ~ 1, илгеет место следующее неравенство:™ 1 1 экстевмтмы венкцнй точки и-ма ного пеостеанства [гл. 1Н Д>ж случая р= 1 нерзвенство (48) вмтвкает нз злемевтарныл свойств абсояютныз величин. Для р = 2 оно выражает известное неравенство между длннами сторон треугольника в и-мерном евклндовом пространстве.
Для доказательства неравенства в обшем случае фпкснруем х<, х,...,х„ и найдем минимум разности: ! ! р(уо уз.. У) ==Д,~х~е) +("<',~у,)е) — (у>х+у,~е)" прн усяовнн т= »'(у,~~»=К:»0. Покажем, что прн:побой сясгеме эначеннй'.х, и пря любом К)0 втог мпннмум досп<гаетсв, когда у, пропорциональны х,. Отсюда будет, очевндно, сяедовать, что этот мквнмум равен нуаю, а так как К вЂ” любое чнсло, то этим самым неравенство (48) булет полностью доказано. условный мннямум р достнгается в тех же точках, что н условный макснмум Ф =~~я<+у> ~е е = Х! У< !» = К !) прн условии; Так как ~~~~~( — ) Фо, то каждая точка замкнутого многообразия в= К есть '1 ду,,> правнльная точка этого многообразия, следовательно, точка, даюшая абсолютный макснмум Ф прп условнн в = К, сушествуег и может быть получена методом множителей Эйлера-Лагранжа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
