Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1) (947319), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Имеем! — — Х вЂ” — =О. дФ де (49) ду, ду, Для выполнения днференцнровання заметим, что искомый макснмум до- стнгается, когда впаян х, н у, попарно одннаковы, нбо в противном случае, заменяя у, на — у„мы, неясная тч увеличим Ф. Отсюда прн размскаянн максн- мума мы можем считать все х, н у, неатрнцательнымн. Равенство (49) прнмет внд> н если Ао есть правнльная точка )У, то в этой точке нмеем: —,'--(,,+ч„')ч:,)=о (> = 1, 2,..., и), (50) <=- ! где )ч — некоторые константы. !) Заметнм, что прн р) ! функцня,у»» якает непрерывную производную по уд — (у,!» =-р!У<)» ! нрн у, .
О, — — (у<1»= — р)У, )~ ! нрн у,к.о; ду< ду< наконец, — — (у,)»= !нп — '=О. Аналогично !я<+у>!» имеет прн р)! !у<1» <>у< е<-»э у< непрерывные пронзводные по у» Поэтому Р н т обладают нспрерывнымн пронзяоднымн по всем уе 1;+У,)е-! — ). )у, (е-! = 0, т. е. в искомой точке >у<) пропорцнопальнз ~х, +у, (, но так как х„у, неотрнцательны, то отсюда следует нропорцнональность у, н х,+у,, а значит, пропорцнояальность у, н х<.
Прннцнн взаимности. Клк мы убелились выше, если точка Ао есть условно-стацнонарная точка функции >ро(х<, х,..., х„) на многообразны )!>: о, (х„х,..., х„) = О (! = 1, 2,..., >4, й ( и) $г> $16) условный экстэвмум Умножая обе части уравнения (50) иа отличную от нуля константу Со и обозначая: С< — — СВЛ„мы можем придать уравнению (50) форму: д -б — (,э~<С<у<)=0 (1=1, 2,..., л), (51) дху однородную относительно С, С„С,..., С„и симметрическую относительно функций <ро, р„..., оь.
Если мы будем искать экстремум одной из функций р< при условии, что остальные фУнкции Ту, У ф <', обРащаютсЯ в нУль, то мы пРидем к тому >ке уравиенн<о (51). В этом заключается «<зиниий взиимности Млери. Особый случай. Мы предполагали, что в условно. стационарной точке Ао ранг матрицы ( у<,) 1<'=1, 2,..., й) (Г2) ранен >5 (Ао — правильная точка <Ч). Обратим внимание, что в общем случае уравнение (51) определяет вместе суравнениями <р,=О не только условно-стационарные точки функции ро иа <т, но также (если Со — — 0) зсе особые тонхи многообразия Ф, т. е.
точки, в которых ранг матрицы (52) меньше л. Рассмотрим три возможных случая: 1. Особая точка Ао многообразия <ч' есть безусловно-стационарная точка функции ф . Уравнение (51) удовлетворветсн, если положить С< = С, =... = Са = О. Неоднеродное уравнение (50) удовлетворяется, если положить Л< — — Лх=... =Л„=О. 2. Особая точка Ао есть условно-стационарная точка ч>, но не есть безусловно-стационарная точка. Мы покажеи на простых примерах, что уравнение (50) может не удовлетворяться.
Таким образом в случае введения особых точек уравнение (50) перестает быть необходимым условием для стационарных точек. 3. Особая точка А не есть условно-стационарная точка <ро на <я". Уравнение (50) ие удовлетворяется, уравнение (51) удовлетворяется при Со=О. Итак, уравнение (50) прн введении особых точек многообразия К перестает быть достаточным условием стационариости точки. Поясним наши рассужденяя примерами; полагаем и = 2, Д = 1.
1. Пусть р= ха< н пусть многообразие >>> есгь пара прямых: >р< — — х<з — х з = О. Уравнения (51) примут внгс хз(1 — Л) =О, ' Л,=О., Уравнения (53) и (54) имеют единственное совместное решение: (54) х, = хх = О. (55) Точка (55) — начало координат — есть безусловно-сташшнарзая точка:ра на наоскостн и в то же время особая точка М Как легко убелиться, начало яоордянат ег<ь минимум т на Ф. экстеямэмы еэнкций точки гг-манного паостнлнстаа (гл. И! 86 Будем теперь рассматривать лругую функцию аа (х) = х на том ие многообразии йГ (55).
Уравнение (50) я этом случае примет вид: (56) )хт = О. Сисэел~а УРааиении' (53) и (56) относительно 'г., хи хз несовместна. ОдноРодная не форма уравнений (51) чанг нам систему: Сз — Сгхз =- О, Сгх, = О, к ее регкение, совместное с уравнением (5$, будет: Се=О; хг =ха=О, т. е. определит особую точку — начало коор.
дннат О. Но начало координат не есть услоано-стационарная точка та на йг. В саном деле, если М (хо хз) есть некоторая точка Ф, то г(0, М) = уг2хз, 1 Черт. 12. тз(М) — 9 (()) ! =! хз', = —. г(0, М). уг 2 Прираэценне уе (М) ! рз (О) есть аеличкна первого порядка сравнительно с г(0, М) 2. Пусть задана функцяя у=х нл полукубическон параболе Ф (черт. 12): хтз — х,у = О. Уравнение (50) дает нам: 1+ Уд.хз.= О, зхгэ = О. (а7) Система (58) н (57) несозмесгнз. Однородные уравнения (51) Со+ 2С,хт = О, С,х,т = 0 дают пам совместно с (57): С„=О, х = з=О.
Мы попалаем в начало коорлинат. Как легко убедиться, начало координат есть условно-стационарная точка. гллвл ж КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ВТОРОЙ ДИФЕРЕНЦИАЛ 5 17, Билинейные и квадратичные формы Рассмотрим функцн1о У(х, у) от двух векторов х(х„хя,..., х„), у(у„уя,..., у„) в л-нерном пространстве, или, что то же самое, от 2и переменных: х„х,, х„; у„у, ..., у„, у(х, у! = — у(хн хя,..., х„; у„уе,..., у„). Билинейная форма. функция У(х, у) называется билинейной, если она линейка относительно х и относительно у в отдельности, т.
е, относительно каждой из групп переменных: х, хя, ..., х„; у,, у, .. . у„. В силу условий линейности имеем: У(х'+х", у'+у ) =У(х'+х", у')+ У(х'+х", у")= =у(', у')+у(х",у')+.7(х',у")+у( ",УЪ (1) у(йх, 1у) =Ау(х, 1х) =*1 ° У(х, у) (й и 1 — скаляры). Из (1) и (2) следует: (2) з'Яй,хи', ~~',,гу'~1) =,~~й,у(хи1; у'й). (3) Обозначая через е, еы..., е„единичные векторы в и-мерном пространстве, через х, и у„(1= 1, 2,..., л) — компоненты векторов х, у, в силу (3) имеем: ьп У(х, у)=Хо,,х,),, (4) Ьз где В атом случае, полагая х=еи у=-е, получаем: Ьи — — й и т.
е. матрица, составленная из козфициентоа Ьн сймметрической билинейной формы, симметрична. Ьы —— Х(е„е ). Числа Ь.. называются нозфийиентами билинейной формы. Билинейная форма называется симметричесиой, сели она удовлетвоРяет равенству: У(х, у)=У(у, х). Квадратнчная форма. Если оба аргумента х, у в билинейной снм- метрической форме з(х, у) совпадают: х=у, то форма у(х, х) назы- вается квадратичной. Обозначая У(х, х) =з'(х) =У(хо хя,..., х„), получаем в силу ра- венств ('1) и (2): у(х'+хч) = у (х') + 2у (х', х") + Лх"), у (йх) = дну(х), а формула (4) принимает вид: У(х) = ~д,р,ху Квадратичная форма Х(рсе (д„= дд) ° называется формой нормаханого или канонического вида. Многообразие, определяемое уравнением: ь» у = с, Л,гх,х = с, са называется многообразием второго порядка. Пусть точка А (х, ',..., х„( ) принаалежнт этОму многообряаию, (о1 тогда з (А) = с.
Найдем касательное линейное многообразие Е„в точке А к многообразию У(А) = с. Уравнение Е имеет вид: или, так как — ав ай(А1 а=1 ьв кв ч: до,. т(н — ч; д,,(нх,те> = О. йт С другой стороны, ьв "~~ Ьтх (юх(е> У(А) = с, ла Уравнение Ел примет вид: Кв ~~Р~~ Ь,гх.(мх = У(А) = с.
йз Примером квадратичной формы может служить второй диференциал функции ДМ) точки в и-мерном пространстве, имеющий вид: йз у(М) = -,— ~ — — /т,й . 1 ч д"-.г(Л) (6) а 43 дХ! длу (5) 83 квлллатичныв еоемы и втояой диевввнцнлл [гл. 1Ч $17) вилинвйныз и кзьлзлтичныз поэмы Квадратичная форма называется неотрицательной, если она никогда не принимает отрицательных значений. Например, ьл х,з+хээ+... +х„э, (х,+хе+...+х„)т=~~,'.ххг цг являются неотрицательными квадратичными формами. Неотрицательная форма У(х) называется положительно определенной, если она обращается в нуль толькопри х=0, т.
е. прц х,=хе =... ... =х„=0. Форма х,з+хтэ+... +х„з есть форма положительно определенная, форма (~, х,) уже не будет положительно определенной. Аналогично определяются неположительные и отрицательно определе- нные формы. Условия максимума н минимума. Пусть точка М(аи а„..., а„) и-мерного пространства есть стационарная точка функции Д(М), где г обладает непрерывными частными производными первых двух порядков по всем переменным.
М'(а,+Ь,, ..., а„+Ь„) есть другая точка этого. пространства; так как =0(г=1, 2, ..., и), то ау(М)~ вх, Кп (7) е г где е есть величина порядка ныше второго сравнительно с г(М', М). Поскольку первый диференциал функции г (М) в точке М исчезает, главной частью приращения у(М') — 7(Л) становится квадратичная форма (6), следовательно, она в основиоь~ определяет поведение функции у в окрестности точки М. ТЕОРЕМА. Для того чпюбы ппационпрная точка М(а,) была точкой относигпельного иинимуиа функций г, необходимо, чтобы второй диференциал (6) был неотрицательной формой, и досгпаигочно, чтобы вншрой диференциал был по.еожигпельно определенной формой.
В самом деле, пусть для системы значений Ь„Ье, ..., Ь„имеем: ч д~("0 ЬЬ =- — Ьз л,4 дх,-дх. Обозначив через М, точку (а,+гЬи ..., а„+Ф„), имеем в силу (7) У(М,) — 7 (М) = — жг+ еп где е, есть величина порядка выше второго сравнительно с г(Мп М)= =11) г' ~~,'г Ь,:з, т. е. величина порядка выше второго сравнительно с й При достаточно малом г знак приращения у (М,) — г (М) совпадаег со знаком главного члена — ЬеР, т, е, /(М,) <У(М) и М не является, следовательно, точкой минимума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
