Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1) (947319), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Аналогично доказывается достаточное условие. Рассмотрии поведение формы (6) на сфере ~~'г Ь,э= 1. В силу теоремы Вейерштрасса на сфере (ь1 имеется точка Ме(Ь, ), в которой форма (6) достигает своего минимума на этой сфере. Минимальное значение Ь формы (6) в этой точке по 1гл.
!Н квьдглтнчные еогмы и втогой диевгвнцилл ушювию теоремы должно быть положительным. Поэтому мы имеем: при условии лчч Ь,э= 1. При условии же ~~.',Ь,з=-тч Поэтому, если г (М„М)=г, то У Ж) — У (Мо) = з + е. где а — величина порядка выше второ1о по сравнению с Д При достаточно малом г ( Го знак у (М,) — у (М„) совпадает со знаком положительного слагаемого йгз. Следовательно, во всякой точке сферы радиуса ге вокруг точки Ме значение функции у больше значения ~(М ), т. е.
М, есть точка относительного минимума функции )'. Доказанная теорема показывает, что в весьма широком классе случаев вопрос о том, будет ли данная стационарная точка давать максимум или минимум, решается до конца изучением квадратичной формы. Прежде чем заняться общим случаем, остановимся на простейших случаях л=2, и=З, причем, кроме выявления достаточных условий для минимума н максимума, мы дадим геометрическую структуру стационарных точек. 5 18.
Классификация стационарных точек для функций двух и трех переменных Пусть дана форма л переменных: у= Х%лгсм Приравняв ее какой-нибудь постоянной величине с, получим многообразие (л — 1) измерений: 1„= с, которое мы условимся называть многообразнем второго порядка (см. й 10). Для случая и = 2, 3 форму удается путем известных из аналитической геометрии преобразований (поворота осей) привести к „каноническому" вцзу.' у = ~ч'„с,у,з, где у — новые переменные, выражающиеся через старые по формулам пояорота осей.
Рассмотрим случай я=2. Форму У(хы хз) )можно привести к виду у=сг утя+сзузт, приравняв ее единице, получим: а) эллипс — в случае с > О, св) 0; Ь) гиперболу — в случае с ьО, сяс.,О, с) мнимый эллипс — в случае с~ (О, сз(0; 4) пару параллельных прямых — в случае с,=О, сз) 0 или сз ) О, „=о; е) пару мнимых прямых — в случае с, ( О, с = О, нли с, = О, сз ( О. 9 18] кллссиеик.
сгацион. точек для эвикций двях и тгвх пвгвмянных 91 Это обстоятельство лежит в основе классификации стационарных точек функций двух переменных. Пусть функция Дхн хя) имеет стационарную точку А, т. е. пусть частные производные †, — в этой точке равны нулю. Для простоты 87 д/ дх,' Вся примем эту точку за начало координат и, кроме того, примем, что в начале координат у= О. В окрестности начала координат имею: 1 у (х„хя) = — (а„х,я+ 2а,ях,хя+ а.„хяя) + е, где д2У дх,.дх ' а е есть бесконечно малая порядка выше второго, если считать, что у'ха+ха есть бесконечно малая первого порядка. С помогцью поворота осей можно привести стоящую в скобках форму к каноническому виду: сгу,я+ сяу '-; тогда в новых переменных у, уа функция / в окрестностях начали выразится в виде: 1 2 ( ьуг + яуяя)+ Приравнивая ~ некоторому постоянному Ь, получим линии равных аиачелий функции у, или, как их называют, ликии уровли.
Пренебрегая малыми высших порядков, в окрестности начала координат уравнения линий уровня булут. с,у,э+сяу„е= Ь. рассмотрим все отмеченные выше пять случаев: а) с, ) О, ся О. Линий уровня для Ь( 0 не существует, т. е. в окрестности начала не существует точек, в которых Ь ( О. Значит, начало координат, в котором г =О, будет точкоймииимумафуикцииу'. Линия уровня ь для у= О сводится к изолированиод глочхе — началу координат. При Ь) О линии уровня представляют собой (с точностью ) до малых высшего порядка) подобные между собой эллипсы (черт. 13).
Если рассмотреть в трехмерном пространстве (хз, хя, хз) поверхность х =у'(хы хз), Черт. 13. то эта поверхность, в окрестности начала целиком расположенная над плоскостью хз — — О, касается этой плоскости в одной точке, именно в начале координат. 92 квиаглтичныв еогмы н втогой дневгвнцилл (гл. 1Ч Ь) СлУчай, когда сь н сз имеют Разные знаки, напРимеР с,=та>0„ сз= — «я(0, лает иную картину. Прн Ь. 0 линня уровня /=О представляет собой (с точностью до малых высшего порядка) пару прямых: ту,+«уз — — О, ту„— «у =О, пересекающихся в начале координат. Стационарная точка †нача координат †ес двойная точка (узел) линии уровня,У=О. Прн й = Р > 0 система линий уровня у= Р лает систему гипербол: тву,з — «яу е = Р, аснмптоты которых суть прямые ту, -~- ну =О.
При Ь= 1ь(0 мы получим систему сопряженных гипербол: н у ' — т у,з = ~ь. Линяя уровня / —..-0 разбивает окрестность начала координат нз четыре части (черт. 14), прячем в частях, помеченных на чертеже римскими цифрами ! н П1, У>0; в частях 11 и!У ~ О. Совокупность точек, в которых Г" имеет меньшее й значенне, чем в точке экстре- мума, назовем областью а С меныиих значений; в нашем / ь<0 случае область меньших зна- чений распадается в окрест- ~И « ности стационарной точки на две части 11 и 1Ч; облить болыиих значений, т. е. сово- 1 купность точек, в которых у принимает большие значения, чем в стационарной точке (в нашем случае г > 0), тоже распадается в окрестностн Г Я стационарной точки на две части 1 и И1.
Г Проведя вокруг начала Черт. 14. круг Кдостаточно малого ра- диуса, мы видим, что, оставаясь внутри етого круьь, мы не можем соединить пару точек А н В, взятых из областей 1 и Н! больших значений, дугой остающейся целиком в области больших значений. Любая дуга внутри К, соединяющая А н В, обязательно заденет линяю уровня у= О. Точно так же, если мы возьмем в областях П и !Ч по точке С и 1'.1, то мы их не можем соединнть дугой СО, остающейся внутри круга К и не покидающей область меньших значений. Область меньших значений, равно как н область больших значений, попавшая внутрь круга К. представляют собой согласно тер- минологни, принятой в топологии, несвязные области. $181 кляссиеик. стацион. точек для еянкций лаях и ттвх пягеманных 93 Начало координат есть стационарная точка, существенно отличающаяся от случая максимума или минимума; мы встречаемся с простейшим злесь ткпом минимахса.
В тРехмеРпом пРостРанстве (хы.к, хя) повеРхность хи=У(хн хя) касается плоскости х = 0 в гиплрбадипеской точке. ге) Случай с, < О, де<0 дает случай максимума. Читатель легко построит линию уровня у=й; в этом случае, совершенно аналогичном случаю „а", линии уровня при й < О прелставляют собой эллипсы, при Ь) 0 — мнимые кривые.
б и е) В случае, когда один из коэфкциентовс, или оба обрангдются в нуль, квадратичная фариа характера стационарной точкк не определяет, В этом случае необходимо обратиться к третьему члену разложения функции в ряд Тейлора. Не вдаваясь в детальное рассмотрение этого вопроса, который разрешается изучением кубических форм, а иногда приводит к формам и-й (и ) 3) степени, мы ограничимся здесь рядом примеров, поясняющих сказанное. Пусть хе ). хг, здесь с, =- 1, се = — О. В окрестности начала координат кривые~=- й представляют собой, как и в случае „а", замкнутые кривые, охватывающие начало координат; стационарная точках=у = 0 есгь точка минимума.
Пусть Г= хе — хг. В окрестности начала кривые/=л ведут себя так же, как в случае „Ь"; мы имеем миннмакс. Пусть, наконец, г = хе+ хе. В этом случае характер стационарной точки будет существенно отличаться от разобранных нами выше. Линия ~=0 будет иметь в начале координат точку возврата, эта линия разделит окрестность начала на две области, в одной из которых функция г) О, в другой г< О, эти области будут заполняться соответственно линиями г = й ) О н ~ = л < О. Вели с,= ге=О: г„с одновременно обращаются в нуль, то мы имеем еще большее разнообразие типов стационарных точек. Случай функции, заланной в трехмерном пространстве, дает большее разнообразие типов стационарных точек. Расположив начало координат в стационарной точке н считая значение функции в этой точле равной нулю, мы приведем функцию к виду: х2,3 е 1 У лало.
о. о1 у(хм хе,х)= ' ' х, ° х+е, 2 аы х ° хг кт е ~ ° ° ~ е ° '~Т+ч'З 7. Надлежащим поворотом осей координат ыы можем представить функцию у в новой системе координат в виде: У=ггуге+ сеугз+сеУез+е. Будем считать с, расположенными в убывающем порядке: с, ) с )~са. 94 квАдРАтичные ФОРмы и ВТОРОЙ днФВРенциАЛ [гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
