Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1) (947319), страница 22
Текст из файла (страница 22)
1Ч Рассмотрим вокруг начала координат сферу К достаточно малого радиуса, внутри которой мы можем пренебречь членом е, порядка выше второго, считая искажения, вызванные им на форму поверхности уровня, несущественными. Возможны пять комбинаций. 1) ст)~се>сз>0. Имеем случай минимума; поверхности равных значений ~=й (поверхность уровня) при й >0 представляют собой серию подобных зллипсоидов, превращающихся при Ь=О в изолированную точку, при Ь(0 поверхностей уровня не существует.
2) с,=лР>0, сз=пз>0, сз= — рв<0. Отвлекаясь от членов Х-: т етьего порядка, будем иметь внутри сферы К достаточно малого уса: 1 — ву я+ну' рву я. Поверхность уровня у=О представляет собой конус НРу Я+ пзу ' — рвуаз = 0 С ОСОбой тОЧКОй (вЕРшнноя) в стационарной точке — начале координат, ось конуса совпадает с осью у.
При и= — 1Я(0 поверхности уровня: руаз шуз пъузз Р представляют собой лвуполостные гиперболоиды (черт. 15). Эти гиперболоиды заполняют область меньших значений„распадающуюся на две частя: часть 1, расположенную над плоскостью уа —— О, и часть П, расположеннУю пол плоскостью УЕ=О.
Эти части Разделены плоскостью уз= О, на которой нет точек, принадлежащих области меньших значений (при уз — — О, ~= шяу1е+ тзувя всегда больше нуля, за исключением начала координат„где ~=0). Если взять в областях ! и П по точке А, В, то этн точки нельзя соединить линией, лежащей целиком внутри сферы К и проходящей только по области меньших значений. Область меньших значений не связна, как и в случае мннимакса функции двух переменных Если из сферы К выкинуть лежащую внутри нее часть конуса У=.О и области меньших значений, то оставшаяся часть сферы принадлежит области больших значений, для нее всегла у> О.
Пусть и=!з, поверхность уровня ИРу,в+ пзу "— рзу ' = — Р представляет собой однополостный гиперболоид. Обчерт. 1.Ч. Васть больших значений заполнена частями зтих ги- перболоидов. Любые две точки области больших значений, лежащие внутри К, могут быть соединены кривой, лежащей в втой области и внутри К. Часть области больших значений. попавшая внутрь К, образует, следовательно, связную область. Рассмо- $19) ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРУ 95 тРим кРУг У1к+Уэк=г'-, лежащий в плоскости Уз О. ЛюбаЯ повеРхность„ограниченная этой линией, или, как говорят, любая натянутая на этот круг пленка, расположенная внутри К, обязательно должна задеть ось уа,' эта ось лежит вне области больших значений (на пси у, у = — рэузя ( 0), следовательно, нельзя ната нуть на указанный круг пленку, содержащуюся целиком внутри области больших знакеыойг).
3) с, ) О, сз ( О, са (О. В этом случае области больших и меньших значений предыдущего случая меняются ролями. 4) с, ( О, гэ( О, сз (О. Случай максимума. Области больших значений йе существует. Поверхности уровня у= 'и = — Р ( 0 представляют собой эллипсоиды (см. случаИ 1). б) Один из коэфициентов с обращается в нуль. В этом случае рассмотрение квадратической формы не дает возможности судить о характере стационарной точки: в зависимости от вида следующих членов разложения у в рял Тейлора алесь возможен максимум, минимум и минимаксы.
В соответствии с этим структура областей меньших и больших значений у в окрестности стационарной точки может быть четырех отмеченных выше типов, а также может давать новые тины. $19. Преобразования квадратичных форм Прежде чем перейтн к функциям многих переменных, займемся подробно квздратичными формами многих переменных. Пусть (1,а=1,2, ..., л) есть квадратичная форма в л-мерном пространстве. Детерминант, со- ставленный из ее коэфициентов .1 = ! а,„), назовем дискриминантом формы. Численную величину дискриминанта буден обозначать: 1~1=1 .1.
Наряду с формой ~~ а,„х,ха рассмотрим билинейную форму ~~~ ~а,„х,у„. Применим линейное преобразование УА=Х ФЫР (а=1, 2, ..., Н) (8) 4 пространства (у,, уе, ..., у„). ') Наши рассмотрения можно резюмировать, пользуясь топологической терминологнеп, следующим образом: лежащая внутри й областьменьщих значений содеркнт вегомологнчвый нулю иульмервыв цикл, область больших аиачевий— негомологичный нулю одномерный цикл. [гл.
П< квьлеьтичныв еоемы и втовой днеаеенцивл Получим: Д а„х,У„= ~», 'ае< Ьм х,у,' = ~~.", снх,у,', <,ь °,м< «, (9) где сн = ~~~, аа Ьм. л <По правилу умножения детермниантов имеем: ~ с,„[ = ! а,„[ ° ! Ьм !. (19) (11) После эгого применим аналогично линейное преобразование к пространств) (х< х» < х< ): х,=У,Ь„х„' (<'=1, 2, ..., и)," (8') » Получим: ,~,а,ех,уе = ~<их,у,' = ~си Ьо х,'у,' = ~0„гх„'у,<, (12) <ь «, «,,< н< где бы= ч, Ь„с,,=~ Ьчси.
«. ' . (13) Следовательно: !бм[=~Ь ~ !с ~=1Ьы~ 1а,„.~ ° ~Ь.»~. Если х,=у„х<' — — у,', то билинейные формы Х пах<У<» Х ам«< У< перейдут в квадратичные формы е = л», а,„х<х„, У = ~~ <1,„х,'х„', н формулы (12), (14) перейдут в ~ч~ а<„х„ч„= ~~.', бах<'х<', (12') ( Н<ь ~ = ~ а,„! ~ Ьы ~ ° ~ а < [ < Ь«(. (14') Последняя формула дает нам закон преобразования днскриминаита квалратнчной формы е в результате линейного преобразования переменных. Так как численное значение определителя [ Ь<е ~ равно численному значению сопряженного определителя ~ Ь„,~, формула (14) нам дает: 1а«1=1а«) .
1Ь<„1е, нк е. при линейном преобразовании переменных численное а«а<ение дис«риминан<па «видра<пичной формы умное«лев<си на «задрав< численного значенин определател<< преобразовании. В частности численное значение лнскриминанта не меняется при ортогональном преобразовании.
Далее, если дискриминант квадратичной формы не равен нулю, то он остается не равным нулю при любом незырожденном преобразовании переменных. % 1Ч певоявазоэьиия квадеатнчных Фогм 97 В частности, если й а,„й ф О, то в результате невырожденного т,и преобразования форма .У',а хань ие может перейтн в форму меньшего е.з числа переменных ь п1 ~сГ, х,'х,', йь где т .,п, В самом деле, в преобравованкой форме все коэфициеитыа, при г) т и Ф) т, очевидно, равны нулю,еедискриминант содержит по крайней мере одну строку сплошных нулей и, следовательно, равен нулю. Закон инерции.
Перейдем теперь к вопросу о преобразовании квадратичной формы у к нормальному или каноническому виду, т.е. к виду." ~ Ь,у,в. е.= г Задача сводится к нахождению такого линейного преобрааования х, = .~, Ь,„уь (г = 1, 2, ..., л), ь=1 чтобы в произведении определителей ~ Ь„).) аа~.~б,ь)=~ с(гь) все элементы а,ь=О при 1ф А. Так как определитель ! ~ага) автоматически получается определителем симметрическим: Н,„=гам, то требование а =О (1 ф л) наклалываег на коэфициенты Ь, всего „"' -(-) условий.
Так как, с другой стороны, коэфициентов Ь,„имеется аэ, то мы имеем надежду решить залачу о привелении формы к нормальному виду даже при весьма специальном выборе определителя преобразования, именно заранее потребовав, чтобы между злементами Ь,„опредеи (и — 1) я (и+ 1) лителя преобразования существовало лз — — = —, соотно- 2 3 шенин. Такое количество соотношений между Ьм имеет место, если мы будем рассматривать преобразования ортогинальнме илн треугольные; именно эти преобразозанля практически оказываются наиболее полезными.
Мы заранее ограничиваемся преобразованиями с вещественными коэфициентами Ьне поэтому коэфзциенты т, преобразованной формы тоже должны быть вещественны. Прежде чем приступить к доказательству существования преобразований, приводящих форму к нормальному виду, мы допустим, что такое преобразозанее возможно, и, опираясь на это, мы, с олной стороны, установим некоторые свойства квадратичных форм, свойства, связанные с преобразованием форм, с другой стороны, выведем основное уравнение, к решенью которого приволится задача преобразования форм к нормальному виду.
квлделтичныв еовмы и втогой днеаеинциьл (гл. 1Ч Начнем с так называемого закона инерции квадратичных форм. ТЕОРЕМА. Если два невырожденных иреобризованин х<= ~'.~Ь<ьуь (1= 1, 2, ..., и), ь=ь '"' х,= ~~.'~с„рь (1= 1, 2„..., и) ь=с" приводят форл<у 1=~~.', а„х,х„к нормальному виду 'ч е ч)~ с1 У <=.~ <=) то число положительных коэфициентов среди 1, равно числу положительных среди те Такое же соотношение имеет место и для отрицательных, а следовательно, и для равных нулю коэфициентов обеих форм. Иными словамн, число положительных, отрицательных и равных нулю коэфициентов в каноническом виде квадратичной формы не зависит от преобразовання, с помощью которого она была приведена к каноническому виду, лишь бы этн преобразования были невырожденныи и Примечание. Очевидно, равные нулю коэфнциенты могут появиться лишь в случае равенства нулю дискриминанта формы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
