Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1) (947319), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Отаода заключаем, что не может быть двух различных траекторий, соединяющих точки 0 и В и удовлетаоряюшнх уравнению (1е) <). 5. Пусть в плоскости даны л точек: Мп Мз,..., М„; требуется найти точкуА так, чтобы сумма ее расстояний до данных точек была минимальной. Вводя прямоугольную систему координат и обозначая через (а<, Ь,) координаты точки Мь мы сведем нашу задачу к разысканию коордйнат х„у точки А, дающих минимум выражению и(х, у)»»,~ Ях — а<Т+ (у — Э<)ж < ') Мы исключаем случаи отрэ<кеиия отлипни раздела и в п е нашей полосы считаем среду непрозрачной. Если отказаться от этих гипотез, то получим неоднозначное решение задачи.
г2 вкствамзмы вкнкций точки л-ми ного пвоствлнствл (гл, 111 Рассуждения, приведеяные в предыдущем примере, показывают опять, что искомый минимум достигэетсэ в некоторой точке плоскости и что для его фактического определения достаточно исследовать систему урзвнений, полу- чаемую иэ основного необходимого условия существования экстремума: Х х — и, У У вЂ” Ь, =О, У. =О )~(х — ад +(у — Ь,)' ' ~ Э' (х — адэ (у — Ьд' ;'г', соэ в, = О, ~~~~ э)п Ч< —— О, (19) где чч — угол, обраэоваиныя вектором лМ с осью Ох.
Мы предоставляем читателю попытаться доказать, что зта система имеет единственное решение, и тем самым довести принципиальную сторону задачи до конца. В случае единственного реше- Ф ння — найти хотя бы приближенно численные значения искомых л и у, применяя известные графические или аналитические методы приближения. Здесь мы ограничимся лишь механической интерпретацией системы (19). Представим себе, что плоскость, в которой расположены данине точки, есть плов скосгь горизонтальной доски. Просверлим в доске в эалаой из заданных точек Мг отверстие н через каждое отеерсгие просунем идеально гибкую нить.
К концу кажЧерт. 10. дой нити, располоэ<еиному под доской, подвесим гирю произвольного веса р, но одного и того же для всех нитей. Свободные концы всех нитей свяжем. Если теперь, пренебрегая трением, написать условия равновесия построенной механической системы (условия равновесия узла), то мы получим систему (19) '). При такой механической интерпретации задачи первоначальная функция (1 будет, очевидно, с точностью до постоянного мно- жителя и адаптивной по- стоянной, потенциальной энергией системы.
нли Я 16. Условный экстремум г) Этой схемой можно воспользоваться, реализуя указанную конструкцию для механического решения системы (19). Наряду с вопросами разыскания точек, где функция и переменных достигает экстремумов (максимальных и минимальных значений) среди всех значений, принимаемых ею з данной области или в окрестности данной точки, в анализе приходится встречаться с задачей разыскания точек, где функция принимает экстремальные значения среди значений, принимаемых ею иа некотором многообразии гэ измерений гэ а. Такие задачи носят иаавание задач иа условный эксгкрелуж. Простейшим классом таких задач может служить задача определения экстремальных значений функции среди значений, принимаемых ею иа границе некоторой л-мерной области (например сферы).
Задачи, разобранные нами выше, в отличие от задач иа условный экстремум, иногда называют задачами иа безусловный зкплрел~улг. Дадим более точную постановку задачи на условный экстремум. Пусть в и-мерном пространстве дана функция у(гИ) точки, пусть, кроме того, в том же пространстве дано многообразие )т' ср< (х„х, ..., х„) = 0 (г = 1, 2, ..., й) (20) 5 16] зсловный вкстгшвзм и — й изл»ерений, Мы скажем, что функция у в точке Мо многообразия»»» постигает своего условного минимума (максимума), если, какова бы ни была точка»1» многообразия )ч', имеем: г" (КЭ<У(Ж УУЫ)г Р)1.
11анное определение условного зкстремума может быть развито введением понятий: относительный экстремум, абсолютный экстремум, строгий экстремум, нестрогий экстремум. Мы ие будем давать определений этих понятий, ибо смысл их достаточно ясен нз аналогичных определений теории безусловного максимума и минимума. Мы могли бы из к уравнений (20) выразить »1 координат, например х„ х . .. хы через остачьные координаты: «у —— ф («„+и хь1м ..., «„) (» = 1, 2> ..., и) и ааменить нашу закачу задачей отыскания безусловного экстреиума от функции: У(ф» Фг ' ' »ь»ь+» ''' Ф) Р(хе+ хе+ ''' х) Необходимые условия экстремума дали бы нам: ь др дУ чт дУ дд» вЂ” = — + з — — ' =0 (у=1+1,..., л).
дх. дхг л;в дх» д«г » 1 Так как в общем случае мы не умеем выражать в явном виде из уравненлй (20) одни координаты через другие, то проведение этого метода на практике встречает значительные затруднения. По втой причине для решения задачи на разыскание условного экстремума был выработан специальный метод — метод неопределенных множителей Эйлера-Лагранжа Ввиду большого принципиального и практического значения этого метода как в задачах на максимум и минимум, так и в задачах механики мы остановимся детально на этом методе.
Сначала мы дадим диа элементарных геометрических подхода к этому иетоду в простейших случаях, а затем уже дадим общий вывод. Займеь»ся случаем, когда функция / есть функция двух переменных и когда дано одно условие о(х,у)=0. Система уравнений в=У(х,у), 1 о(«»у) =О 1 (21) определит в пространстве трех измерений кривую линию т. Покажем, что в условно.стационарных точках касательная к т параллельна плоскости в=О. Наша задача, таким образом, приводится к определению точек, где касательная к кривой т параллельна плоскости г=О.
В самом доче, если в точке (хе, Уе, ге) касательнаЯ к кРивой Т не приналлежит плоскости в=ге, то кривая т перес~кает эту плоскость, и на втой кривой найдутся точки, в которых г) г,> и точки, в котоРых гс.ге; ге не было бы экстРемзльным значением дла У'(х,У) иа кривой Т, т.
е. не было бы экстремальным значением у(х,у) при условии »в (х, у) = О. 74 зкствамэмы эвикций точки и-ивяного пвостгьнствь (гл. П! Допустим, что (хе,уе,хе) есть искомая точка, допустим еще, что в плоскости хОу точка (хе, уе) есть правильная точка плоской кривой э(х,у)=О. Уравнение касательной к кривой т определится из уравнений: — е=Л(х — хе)+4(у — М, ~ м,(х — хе)+~ (у — у ) =О.
(22) Если касательная к т в точке (хмум хе) параллельна плоскости в=О, то для нее я=хе или в силу (22) в экстремальной точке: ~, (х — х ) +1 (у — уе) = О. Ив (22) н (2о) следует. (23) — = — к=Л Л,г" чс чу (24) или У вЂ” 1э.=о, У вЂ” 1~„=О.
Л(х — хе)-[-4(у — уе) =О. е (х — х)+с„(у — у )=О, Полученные нами условия (24) суть условия того, чтобы в точке (хе, уе) достигался условный экстремум. Таким образом задача разыскания экстремальных точек сводится к совместному решению системм (24) и уравнения ч(х, у) = О относительно х, у, 1. Вместе с тем эти условия также суть необходимые и достаточные условия для того, чтобы точка (х,„у ) была стационарной точкой функции: у' — йу. В этом сведении задачи на условный экстремум к задаче на безусловный экстремум и состоит метод Эйлера-Лагранжа. Преимущество его персд указанным выше заключается в том, что здесь нам не нкао пользоваться неявными функциями.
Сейчас мы дадим другой геометрический вывод метода ЛаграижаЭйлера, который не требует трехмерного пространства, при этом мы будем, как раньше, предполагать, что условно-экстремальные точки суть правильные точки кривой э (х,у) и не дают бевусловного экстремума функции у(х,у). Допустим, что точка (хмуе) есть условно-экстремальная точка, и пусть у(хе,уе)=С.
Построим в плоскости хОу кривую ~(х,у)=С и кривую и (х, у) = О. Эти кривые по условию проходят через точку (хе,уе); докажем, что они в этой точке касаются. В самом деле, допустим противное, что кривые в рассматриваемой точке образуют конечный угол а. Тогда кривая э = О пересекает кривую у= С и точке (хе, уе), и, следовательно, в окрестности втой точки она переходит из области, где ус, /(хе,уе) = С, в область, где )г) С; следовательно, точка (хе,у ) не есть условно-экстремальная. Итак, в точке (хе,ур) кривые у= С и э =О касаются, нк касательные: тсловный Вкстэвмтм й 1Е) совпадают; мы получим снова уравнения Лагранжа (24): у» ув — = — =3, Ъ тч Используя данные выше элементы аналитической геометрии и-мерного пространства, можно без труда распространить геометрический вывод метода Эйлера-Лагранжа на общий случай, когда имеется условный экстремум функции и переменных прн Ф(й(л) условиях.
Условно-ствциоиирная точка. Аналогично теории беаусловного максимума и минимума является чрезвычайно полезным ввести более широкое понятие условно-стационарной точки функции. Мы скажем, что функция в'(Ат) на многообразии Ф в точке Ме достигает условного кригллчвского значения, если, какова бы ни была точка А4, принадлежащая И и бесконечно близкая к М разность (~(М) — ~(ЛЯ есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с г(Л4, Мо). Всякую точку, где функция достигает условного критического Иначеиия, мы будем называть условно-согайионарной точкой.
Перейдем теперь к исследованию общего случая условно-стационармой точки. Пусть нам задано многообразие Ф (и — я) измерений: <р,(хмхв,...,х„)=0 (1=1, 2,...,й). (25) Мы будем рассматривать наряду с К линейное многообразие Ел . ~„~~' (х — х)е>) = О, (26) дх~ Ф 1 касательное к АГ в точке Ае(х)й,х~~~, . „х~'~). Мы будем все время предполагать, что точка Ар есть обышювенная точка Ф, т. е., что в этой точке матрица имеет ранг я. Рассмотрим функцию у точки л-мерного пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
