Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1) (947319), страница 16
Текст из файла (страница 16)
расстояние г примет впю гз Ф+ чт+)р — 2$ч соэ у+ 2рт сов рз — 2рч сов рт, пе зависящий от числа измерений; следовательно, также не зависит от числа измерений пространства и его минимум. зкстрнмУмы ФУнкций тОчки и"мвРногп пространства (гл 1П 88 Легко показать, что прямая минкмвльной длины, соединяющая точки пря- мых (7) и (3), ортогональна каждой из прямых. В самом деле, направляющие косинусы мийимальной прямой будут пропорциональны величинам (созТ Озви! — соз Рт) — —. (сОз Рг — сов 1сози.г)+д! — а, сов Р! р сов а, зШ'Т в!Пв т (г=1,2, ...,н); Умножая зту величину на соз аь суммируя по 8 получим: — (соз Т соз Р! — соз Рт) — — (соз Рт — соз Т соз Рт) + Р соз Рт = О. р сов 1 р вгпз 1 згпзТ Следовательно, мкнпмальная прямая ортогональна первой данной прямой То же сзмое имеет место и для второй прямой.
2. В и-мерном пространстве дана точка Мь(хгЮ1) и линейное многообразие й измерений х! = агу+ с! (г = 1, 2, ..., и), (12) где и! = апр! т - ° . + апрь» Е = ггРг+ ° " + гНзм ар» суть взаимно ерш!панельные единичные векторы. Требуется определить расстояние от данной точки до данного многообразия, Расстояние от точки Мь до произвольной точки М многообразия (12) определится по формуле: гз = ~~~ ~(игу+ с, — хЩз. г=! Наша задача приводится к определению минимума правой суммы. Когда норма вектора Р неограниченно растет, то и вся сумма неограниченно растет; следовательно, по теореме 3 минимум г достигается при некоторой конечной системе значений: г, г, ..., гй.
Эти значения для Г, ..., Тл в силу основного необходимого условия будут корнями системы (б), которая для данной задачи примет вид: 2 31 = ~~~ ~Ь(игу+~в л )ао (7=1, аг, ..., Ь) з г=! или Р! (Ьгй!) + Гз(Ь)йл) + + Гл (ЬгЬь) =Ха-(с — х(ь)) 0=1, 2, ..., А), (13) где Ьг= а!го!+... +а„ат а векторы ез образуют коордкнвтный крест н-мерного пространства. Наша задача приводится к решению системы (13), причем в силу предыдущего, если вта система имеет единственное решение, то найденные значения г будут давать искомый абсолютный минимум для г. Рассмотрим определитель системы (13): ЬгЬ! ЬгЬь Ьгоь Ь,Ь~ Ь,Ь„.... ЬА ...,Ь)а Ь= Ь„Ьп Ьг,Ь ....ЬЬ Этот определитель составленный из попарных внутренних произведений Ь векторов Ьг, ЬФ ..., гвг, часто встречается и носит название онределияиля Грамма.
69 $151 нвовходимов головин зкстгвмима Покажем сначала, что если векторы Ь, линейно независимы, то й+ О. )(ля ишй цели произведем ортогональное преббразование пространства так, чтобы в новых координатах и — й последних компонент всех векторов Ь, обратились в нули т): Ь, = Ьца,'+ Ь,гег'+ ... + Ьиа„'. (14) Б силу отмеченных выше свойств ортогональных преобразований при атом преобразовании значения внутренних произведений, з следовательно, и значение й не изменятся.
Кроме того. в силу линейной независимости векторов Ьг будем иметь: )Ь )+О, Подставляя в выражение й вместо Ь, значения из (14), по теореме Лапласа об умножении опредеантелей найдем: й = ! ЬЫ)г>О, Покажем теперь, что векторы Ьг линейно нсзааисимы. Полагая н = мтег+...
+ ивет а = атет + ... + а„е„, мы можем уравиению (12) придать внд: и=ЬА+... +Ь„Ь„+аг отсюда видно, что векторы Ьу должны быть линейно независимы, ибо в противном случае многообразие (12) имело бы меньше чем й измерений. Таким образом определитель системы (13) отличен от нуля, и система (13) имеет единственное решение.
Чтобы упростить решение, допустим, что все векторы Ьу взаимно-ортогональны и нормы пх равны единице г). В атом случае система (13) окажещя автоматически разрешенной а), и згы получим искомые значении параметров Фн, соответствующие минимуму г: в С = ~~' а, (с,— л)~1) г=т Е(т=1,2, ° ° *Ь) Обозначим через Мт точку многообразия (12), соответствующую найденным значениям параметров.
Можно показать, что вектор МлМг ортогопален любому вектору, принадлежащему многообразию (12). Вектор МаМ, мы назовем перпендикуляром, опущенным с точки Ме на многообразие (1г), точка М называется ортогональной проекцией точки М па многообразие (12). Пусть нам дано многообразие (12) и некоторый вектор АВ, не принадлежащий данному многообразию.
Обозначим через А, и Вт проекции точек А н В на многообразие (12). Вектор АгВг мы будем называть лроскцией лектора АВ на многообразке (12). Решение примерз 2 дает также сразу ответ на такую зцаачу: 3. Найти наилучшую аппроксимацию данного лектора г при помощи линешюа комбинации й линейно незааисимал зектороп ат, . ° .. ао г) Это будет тогда, когда первые й векторов: ет', ..., ез' нового координатного креста будут принадлежать й-мерному многообразию, образованиоиу векторами Ье з) От общего случая к атому частному можно всегда перейти линейным преобразованием пространства параметров (Гт...,, 1„), з) Отсюда можно также получить доказательство, что й ~О.
70 вкстРемумы ФУнкций тОчки и меРнОГО НРОстРАиствА [Гл. 1П Иными словамн, требуется определить й параметров Гт, Гг, ..., Гь так, чтобы выражение ) г — Юга! — ... — гьаь 1 было минимальным. В такой постановке ршпепне задачи, очевидно, сводится опять к решению системы (13). Используя понятие проекции, решение можно формулировать геометрически. Обозначим через Е линейное йьмерпое многообразие, проходящее через векторы оь ..., Оь и пусть г; есть проекция г на Е В таком случае, принимая параметры Гь ..., Г„за координаты па многообразил б, компоненты вектора гг и будут искомымн значениями параметров: ((15) г, агтг+ ..
+аьТь. Есди все векторы а! взаимно-ортогоиальны и имеют нормы, равные единице, то мы полУчим особенно пРостые выРажениа длЯ Гь Умиожпм и пРавую и левую части (15) на а;, в силу условий ортогональности получим! га, =1а,(зг„ ио(а!1= 1, следовательно! Фг = г'гаь В рассматриваемом случае решение можно выразить непосредственно через г.
Положим г=г,+гз! в силу определения г, вектор гг есть вектор. ортогональный к иногообразпю б, следовзтелыю: гьаг — — О (1=1,2, ...,Ф), отсюда га, = г,а, (- гзи, = г,о,. г~ ! Таким образом Черт. 9. Гг = гоь. (1б) Если опРеделитель ГРамма (см. пРедьШУщнй пРимеР) 1 а,ау ) Равен муыэ то г линейно зависит от вектоРов аь ПРн этом коэфициенгм Г! иэ (!6) сУть коэфициепты разложения вектора г по ортогональной системе векторов: г =а, (га!)+ ...
+ О,(гаь). (17) Если определители Грамма отличен от нуля, то правая часть (17) нам дает наилучшую аппроксимацию вектора г. 4. Пусть плоскость, снабженная прямоугольной системой координат хОу, заполнена средой переменной плотности. Пусть в полосе М- (у(М вЂ”, с с'+ 1 п п где и — целое число,! принимает значения 0,1, ..., п — 1, скорость светл равна о, и пусть вие полосы О(у(М среда пе прозрачна и там свет распространяться не может.
При этих условиях требуется определить траекгорвю луча света, прохолящего через начзло координат и через точку В. Этз физическая задача приводится к задаче на разыскание минимума функции многих переменных, если воспользоватьск следующим законом оптики: если риссмотреть всевозмоэкные кривые соединлющие точки 0 и В, то сает будет распространяться вдоль той кривой, вдоль которой он покидает из 0 в В,в кротчодглее время (принцип Ферма). Отсюда очевидно, что в каждой 1+! полосе М вЂ (у (М вЂ” , где плотность среды постоянна, свет будет распро- и п стрзняться по прямой.
$151 ицовхОдимпв услОВие экстгнмумл Обозначал теперь через х<+г неизвестную абсциссу точки пересечения тра<+1 ектории с прямой у = М вЂ” (черт. 9). будем иметь: л ()= /Мчз (хгЬ< — «,)з+ <1 — ) = п,.1ь чп) где Г< — время, в течение которого луч света пройдет из точки~«<,М-) и) <'+ 11 в точку (хгй.мМ вЂ” ). Поэтому,чтобы попасть наточки О в точку В,световой л луч затратит время: в-1 Т»» ~~, —,' УГ(х,х, —,) + (М) . <=э Этим самым время Т выражено как функция п переменных х<,хь ...,х„. В силу принципа Ферма наша задача приводится к разысканию значений х<,хь ....х»» при которых Т достигает своего минимума.
Тэк как хэ О. то при неограниченном возрастании одного иэ переменных х, выражение для Т также неограниченно растет. Следовательно, по теореме Вейерштрасса экстремум су<цествует и достигается внутри области. Для его фактического определения применим основные необходимые условия: бТ 1 « — 'ц. 1 х,+, — х< б«г о< г М чз о<+< Г з (х< «< — г)з+ ) р< (хь(а х<) +( --'Н г 'ч и ) У ~п) Кроме тог<ь по условию х„=а. Таким образом мы получим систему (и — Ц уравнений с л — 1 неизвестным. Покажем, что эта система имеет единственное решение.
Так как функция Т правильна при всех значениях переменных, то этим самым будет доказано, что решение системы дает нам искомый абсолютный вкстремум. Для доказательства единственности будет удобнее уравнениям системы придать несколько иной вид. Обозначим через ч< угол, который образует луч, М (< — 1) МГ проходящий в полосе (у( — с осью Ох. Очевидно, имеем: л л (19) -- ~) = сов уь < Мчз (х, — х«)з+ ~ — ) Отсюда получаем: от пз и» созйт»» — созв«созвз= — сов<та, ..., созе»»» — "сов<)» т, Ю, пз » < известный из элементарной оптики закон преломления. Из этой системы уравнений непосредственно видно, что если мы зададим два значения для тр ч<' и в ") э ', то получаемые ппи этом из уравнений значения для остальных углов, соответственно ч,' и ч<, будут удовлетворять неравенству в<» ) ч<'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
