Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1) (947319), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Мы полагаем, что у имеет диференциал в точке Ае. у (А) — г (Ао) = ф(А ) + ег (А, А ), где е -+ О прн г (А, Ае) — ~ О. Многообразием) = У(Ае) имеет в точке А касательное линейное многообразие Сл ' зу(Ае) (, Г>) =О. (27) аху По направлению всех лучей АеТ, лежащих в Е~,производнаяотуисчезает(если толькоАене есть безусловнаястацнонарная точкадляфункцииЯ. Напомним читателю, что в некоторой окрестности точки Ао каждой точке В многообразия Ф отвечает точка В,многообразия в.', и обратно, ла причем г(В,В) есть величина высшего порядка малости по сравне- 76 вкстгвмямы езнкций точки и-ивяного пвостгьнствь 1гл.!П нию с г(В,Ао) и г(В„Ао).
Если функция 7 удовлетворяет в окрестности А условиям Лившица '), то 1У(В) — ЛВ1) ! ( Мг(В, В3), где М вЂ” константа, г(В, В,) есть величина высшего порядка малости по сравненню с г (Ао, В). Поэтому, пренебрегая величинами высшего порядка по сравнению с г (А, В), мы можем заменять взаимно Д(В) н 7(В,), ТЕОРЕМА 1. Если Ао есгпь правильная точка А7 и если А, есть услоено-стационарная точка функции 7 на Ф, то А, есть также условно-стационарная точна 7 на с.л . и обрансно.
В самом деле, если А есть условно-стационарная точка функции 7 на АГ, то для точек В многообразия Ф нмееи: 7(В) — ~(Ао) 0; равенство с точностью до величин порядка малости выше г(В, Ао). Но в силу сделанного выше замечания для точек В' многообразия Е мы У(В') — 7(А,) =0, т. е. Ао есть стационарная точка на ьл . Вполне аналогично доказывается вторая часть теоремы. ТЕОРЕМА 2.
Если точка Ао есть условно-стационарная точка 7 на Ю, гпо Х лежитп в линейном лсногообразии (27), касательном к многообразию /=ДАо). Прежде всего в силу предыдущей теоремы Ао есть условно-стацио- нарная точка функции / на Сл . 7л есть й-мерное линейное многое»' л» образие, и если точка Ао есть на нем стационарная точка функции 7, то производная ~'(Ао) по любому направлению А Т, принадлежащему Ел, равна нулю.
а это значит, что луч АоТ принадлежит многообра- аню (27). Значит, и 7. прннадлежит многообразию (27). Эту теорему можно формулировать несколько иначе: в условно-ста- ционарной точке Ао функции / на АГ многообразия 7=7(Аь) и АГ со- прикасаюгпся. ТЕОРЕМА 3. Если Ао — обьисновенная точкаМ вЂ” еьтпьусловно-ста- ционарная льочка 7, то существуя»пь к констант Л, Л ..., Ль таких, что в точке Ао — (7+,~'.,Лр,)=0 (7'=1, 2,..., и), (28) дх или, чгпо то же самое: б(7+,'Р Лр,) ив м 0. (28') Иначе формулируя: существуют гншсие постоянные Лп Ля,..., Л„, что Ао есть безусловно-стационарная точка функции: Х+ХЛр, 1) Условие Лвошица ео всяком случае удовле»ворвется, если в окрестности Аь частные проиэеодяые функции У ограниченны.
эсловный экстэзмэм 77 (29) г (В,) — г(Ао) > О. Аналогично, если В' есть точка противоположного луча АоТ, а В'— соответственная точка Ф, то У(Вг') — У(Ао) < О. Таким образом в любой окрестности А, найдутся точки В„В;, для которых приращения функции 7 имеют противоположные айаки, т. е. А не есть точка экстремума г" на Ф. Теорема доказана. Рассмотрим дэа случая: 1) Ао есть безусловно-стационарная точка Я в точке Ао аУ= О. Достаточно принять все 1г — О, чтобы удовлетворить требованиям теоремы.
2) Ао не есть безусловйо-стапионарная точка/; тогда в силу теоремы 2 линейное многообразие Ел, определяемое уравнениями (20), заключено в линейном многообразии Е . В силу выведенных в конце 9 1 ле уеловий включения 7г-мерного линейного многообразия в (н — 1)-мерное следует существование и констант: ).„1ч.... ).ь, для которых о ь + ~ Х, д ') (Х вЂ” Хг"1) = О, (28ь) ! 4ьи откуда следует уравнение (28) или (28'). ОИ АТНЛЯ ТЕОРЕМА. Если удовлетворяется уравнение (28), то Ао есть условно-сталионарния лючии У на № Это почти очевидно. В самом деле, на Ф все ч, — 0; функции т'=У вЂ” с~1зчв и / на Ф совпалают; условия (28) показывают, что Ао есть безуслозйо-стационарная точка для ф, тем более и условно-стационарная точка для ф на № Так как на Ф Ь =у, то теорема доказана.
ТЕОРЕМА 4. Если Ао — обыкновенная глазка многообразия И вЂ” есть елочка условного экстремума для функлииу на И, то Ао есгиь условносталионарная точка 7' на № В самом деле, пусть Ао не является условно-стационарной точкой у на № Тогда на Е, существует направление А Т, по которому~'(Ао) = =С)0, обратное направление Аоуп по которому ~'(Ао)= — С(0. Для точек В, лежащих на Аоу; имеем: ~(В) — /(Л )жСг(Во Ао) 1приближенное равенство с точностью до величины порядка выше г(В, Ао)). Обозначая череа В, точку Ф, отвечающую нашей точке В, мы в силу слеланиого выше замечания можем в приближенном равенстве (29) заменить у(В) через /(В,)." У(В,) — У(Ао) Сг(В, Ао).
Последнее равенство верно с точностью до величин порядка выше г(В, Ао), следовательно, при достаточно малом г(В, Ао) 78 вкстэвмэмы эвикций точки л-мвэного пгостэьнствл (гд. 1П В сиду теоремы 3 в точке условного экстремума функции у на йг удовлетворяются и уравнений (28).
Таким обрааом для определения условного экстремума или, общее, условной стационарной точки функции р(хм хм..., х„) на многообразии К: ф,(хм хю..., х„)=0 (1=1, 2,..., я<я), (30) кы имеем и+и уравнений: й уравнений. (30) многообразия и л усло- вий (28). С их помощью иы находим значения п координат условно- стационарной точки и А множителей Эйлера-Лагранжа: )„Л,,..., ), . В качестве первого примера на приложение метода Эйлера-Лагранжа раз- берем следующую задачу, Задача 1.
Определить критические значения функции Р(х,, х„..., х„) при условии <Г(х<, х,..., х„) = 1, где Р и т суть однородные <Рункции соот- ветственно ивмерейий д и д Для решения составим уравнения: — — Л вЂ” = О (1 = 1, 2,..., и), (31) др дц дх, дх< Ч(хо х..., х„) = 1. (32) Умножим 1-е уравнение системы (31) на х< и все полученные уравнения по- члекно сложим, получим: ~ х<-3 — = л~к< — т. В силу известной теоремы Эйлера об однородных функциях: Х .,= Х дР кч дг х — — =АР, ~у х — =(т. Отсюда, пользуясь уравнением (32), получим: ДР(х„х„..., х„)=Л1т=Л( или Р(хи хз,..., х„)=Л вЂ” „.
В случае 1= 1 множитель Л для данной экстремальной точки равен значению функции Р в втой точке. Возвращаясь к общему случаю, вставляя найденное выражение Л в систему (31), (32), получим урэвиекня для определения стацко- нарных точек. Решением этой задачи мы воспользуемся при изучении квадратичных форм. В качестве второго примерз разберем условия равновесия системы и точек, подчиненных Д неосвобождающим связям. Задача 2. Дана система п точек М,(хь уь е,) (1 =1, 2,..., и). подчинен- ная д связям: гг(зи у<, ео..., х„, у„, е„) =О () = 1, 2,..., Л). На систему действуют еилм, эаешящие только от положения точек сис- темы и обладающие потенциаломт требуется определить положенш равно- весия системы.
Обозначая через Р, силу, действующую на точку Мь и через Хэ ?ь У<в ее компоненты, по условиям задачи имеем: дО х,= — —, дх, ' дО ?'< — — — —, ду< ' ди к~= —— де ' где (1 есть потенцнальяая энергия системы и является функцией Зп координат точек системы. В силу указанного принципа возмох<ных перемещений для $161 з словный внстгвмям Следовательно, ордината центра тяжести системы определяется по формуле: ,Еу» 1 (у У=У = — = — 1(Уэ+ — з1п Т»)+(Уэ+»мне! + —, з!п Тз)+ ..
2 ... + ~Уэ +» з»п Т» +... + 51п тч)~ = =у + (~и —, )5!пт! +( л — —,) эй»тз+ . ° + — з!пт 1 2! ' ' 2 ч Таким образом, прил»сияя принцип Дирнхле (см. в 12), наша задача приводится к разысканию минимума функции и переменных тт, эи..., Т„. В силу условии задачи эти переменные должны быть подчинены условиям, чтобы конец ломаной находился в заданной точке А„.
Эти условия будут: р! = »~чР соз е» вЂ” — л„— хэ, 1 У: = »,'Е з!п Т =У. — Уэ. 1 (33) равновесия необходимо и достаточно, чтобы точна А (лд»о), у!о), а»ти,...> л(я~у пространства Зи измерений была лля функции Ц условно-стационарной точкой, причем координаты точки А будут определять положение системы. Таким образом в силу развитой выше теории условного экстремума наша задача сразу приволится к решению системы уравнений: а дУ ъ, ду» У вЂ” +~л — =о, а.,,м ' а., »»л( лэ. »»га Лэ »лэ.Ж 4» ду, .ы х бу» 1 А»-» дУ с~ »)т» — +~~!.
— -=.о, дл»»м» н да» ,=! !у= о. Заметим, что решение системы дает не только положение равновесия, но полу- 9. ченные прн этом значския Лу дают также реакции связей. Че т. 11. Разберем в частности следующий ерт. пример. Пусть даны л однородных тюкелых стержней АэАо А,Аз, ..., А„ А„ одинаковой длины, образующих некоторый полигон и сцепленных шарнирами. Предположим, что свободные концы первою н последнего стержня закреплены шарнирами в заданных точках Аэ и А„. Требуется опрелелить положение равновесна данного шарнирного многоугольника.
Обозначим через» общую длину звеньев. Введем систему прямоугольных координат лОу, направляя ось Ох горизонтально, ось Оу вертикально вверх (черт. !1Л Обозначим через т» угол, образованный»-м звеном А» А» полигона с осью Ох, и через (хо уз), (х„,у„) координаты точек Ао н А„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
