Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1), страница 13

Однако при этой интерпретации нам приходится прибегать к пространству (л + 1) измерений, более высокому, чем при второй интерпретации, которая изображает функцкю многообразиями общего вида. Заметим еше, что вторую интерпретацию можно рассматривать как частный случай первой. Многообразие (20) есть результат пересечения многообразия (19) с линейным л-мерным многообразнем г. = л. (21) Семейство многообразий (20) есть семейство, получаемое сечением многообразия (19) многообразиями (21). г) Функция предполагается иепрерывноя и диференцируемой.

$12] Функция КАк многоовРАэиа Допустим, что функция >(хы хэ,...> х„) изображена при помощи многообразия (19)> и пусть М (к~~1, хай>...> к,',") — произвольная точка этого многообразэя. Проведем через точку Мэ линейное л-мерное многообразие, касательное к многообразию (19): я= хе + ~~,( †) -) (», — «," .) = Ф (х» х„...> х„). (22) Построеннэи линейная функция >у в бесконечно малой окрестности точки Мв аппроксимирует функцию У с точностью до бесконечно малых высших порядков: ~ г'(хп х„..., х„) — Ф(х„х„...,к„) 1 ге, где г=~Ъ (х — х~ ~)а и э стремится к нулю вместе с г. г Допустим, что линейная функция р не есть константа, или, геоыетрически, касательное многообразие (22) не параллельно многообразию.

К=О, в таком случае игаса г(х~ ~, х~'~,..., х~,"~) ф О, и, следовательно, можно через точку Лэ провести прямую к., параллельную градиенту. Как было выяснено выше, эта прямая соответствует наискорейшему изменению функции. Если мы продвинемся по к. иэ точки М на г до. точки М„то будем иметь: У(М1) — У(МЯ) = — ! КгабУ(МЯ) !«+ (2З) где е стремится к нулю вместе с г н где знак перед первым числом зависит от того, совпадает ли направление вектора МЯЛ с направлением градиента или ему противоположно. Отсюда при г настолько малом, чтобы ~э~ была меньше ~дтаб у(Мэ)~, функции возрастает, если мы двигаемся по направлению градиента, и убывает при движении в обратном направлении. Норма градиента численно характеризует скорость изменения функции.

В любой окрестности точки Мэ ил>еются точки многообразия (19), принадлежащие области я ) хэ, и также точки, принадлежащие области х(ЯФ Кроме того, при сохранении гипотезы: ~штабу(Мэ)~ ф О, многообразия (22) и х=лз пересекаются по линейному многообразию (л — 1) измерения, которое будет касательным к (л — 1)-мерному многообразик» г(х хэ ° ° х )= ~ э=эш (24) В соответствии с этим многообразие (24) будет правильным в окрестности М„(точка Л не есть особая точка).

Таким образом, если ~Кто,г(Л ) ~$: О, то точка Л (х~ ~, к~~О>..., хэви) есть правильнаяточка многообразия (20). Если в точке Мо касательное линейное многообразие параллельно многообразию з = О, или, что то же, линейная функция Ф есть константа и угад Г= О, то в этом случае касательное линейэое многообразие примет вид: я=ям Точка Мэ вообще по определению, как мы увидим ниже, будет особой точной многообразия (24). ФУНКЦИИ ТОЧКИ В Л МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ (гл. 11 Точки пРостРанства (х„хз,..., х„), где цта<1 У=О, мы бУдел< называть стаяионарныли точками функции у(х<а хэа..., х„), а принимаеыые ею значения в стационарных точках мы будем называть критиическилси значениями функции. Пример.

Рассмо<рим механическую систему с и степенями свободы. Пусть «у<, Оэ..., а„суть л независимых параметров, определюощих положение системы. допустим теперь, что на систему действукп силы, допускающие потенциал (Г(О„ОН..., д„). Прп этих условиях, если система получает бесконечно малое возможное перемещение, соответствующее изменению параметров на величины ЕО<, ЗОТ,..., ас„. то действующие силы совершают при этом определенную работу Р, равную сумме элементарных работ, соответствующих работе смэ при изменении одного иэ параметров е<а д(< ~„— геэ доа В силу принципа возможных перемещений для равновесия системы необходимо н достаточно, чтобы при любом бесконечно малола воэмо кном перемещении сумма элементарных работ равнялась нулю: ~~~' -„— Зо, = О.

ди доа СЛЕдОВатЕЛЬНО, раССМатриаая СИСтЕМу ПараМЕтрОВ ОР ЕЭ..., Оч КаК тОЧКу и-мерного пространства, а потенциал скл с< как функцию точки, а<ы получаем такую теорему: для того чтобы и точке (рн дэ..., «1„) было раеноеесие, <чеобкодил<а и достаточно, чтобы эта точна была с«ат«ионарнои точной для лотенциала сил. (В этом заключается принцип Дмрнхле.) Главной нашей задачей в дальнейшем будет являться изучение поведения функции и соответственно многообразий (19) и (20) в окрестностях критических точек, причем при изучении этого вопроса нам будет недостаточно знания линейных касательных многообразий: аппроксимация линейной функцией оказываетсв слишком грубой.

В соответствии с зтим мы введем сейчас многообразия, имеющие с данными многообразиями соприкосновения более высокого порядка. Допустим, что функция У' обладает в окрестности точки <э> <э> <э МЭ(Х,,ХЭ,..., Ха« ) также непрерывными частными производными второго порядка, Разложим функцию)' в ряд Тейлора с тремя первыми членами; подучим: ЛМ) =ЛМО)+ ~ (-д — ) (х,— х,"')+ <,) где г и а ныеют прежний смысл.

Обозначим через р(м) сумму первых трех членов правой части (25). Формула (25) показывает„что 1У(М) — <р(М)) есть бесконечно малая порядка выше второго по сравнению с г (Мо, М). йаиогообразия< е =у'(М), я=«р(М) имеют в точке Мо соприкосновение второго порядка. $ !2) 59 Функция как многоовеазив Допустим, что Ме есть стационарная точка. Исследуем, от чего в этом случае будет зависеть знак приращения у(М) — /(Ме). Если точка Ме есть стационарная точка функции у то функция примет вид: У(М)=У(Мо)+ 2„~~~(8 д ) К с )(хт — хг )+гта.

(28) Выпустим в пространстве (х„хя,..., х„) луч Е, выходящий нз точки М, и характеризуемый направлюощими косинусами соз»„ сова,..., сова„, и определим приращение функции, которое она получит, если продвинуться по лучу нз Мр в некоторую бесконечно близкую точку М. Имеем: х — х =гсоза. кв 4 где г= г(Мм М) = ~/,г,'(х — х~й)з; отсюда я У(М) — У(Мо) = г~ ~ 2 ~' ( - -) соз а, соз ат+ а]. (27) Эта формула показывает, что если число А= 2 ~Г ~ б ) соза~созат 2 Ла ~ах,дх~)о (28) 9(М) =хо+» аппроксимирует многообразие: г (М) = хо+ " (29) (29') или, иными словами, насколько отклоняются друг от друга в окрест- ности точки Мо многообразия„получаемые от пересечения многообра- зием а=хр+Ь многообразий: я=/(Л), ( з=й(М).

/ (30) отлично от нуля, то в достаточно малой окрестности точки Ме знак приращения функции, когда М движется по лучу а„ зависит только от знака А, причем если мы напРавление луча изменим на обратное, то знак приращения функции при этом меняться не будет. Таким образом задача изучения поведения функции в бесконечно малой окрестности стационарной точки сводится, с точностью до бесконечно малых порядка выше второго, к изучению квадратической однородной формы с л переменными. Этому исследованию мы посвящаем главу Ш. Отметим еще здесь одно важное свойство семейства многообразий (19), вытекающее из соотношения (27). Допустим, что Ме(х~~~) есть стационарная точка функции у(М), и пусть хз есть соответствующее критическое значение функции у(М): ха =/(Ме). Выясним, в какой мере, считая л бесконечно малым, многообразие [гл. П ВО ФУНКЦИИ ТОЧКИ В и Л|ЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Остановимся на первой постановке.

Воспользуемся построенным выше лучом 6 и определим порядок расстояния между точнаыи пересечения этого луча с многообразиями (29) и (29'). Если для данного направления А=О, то луч л, не пересекает многообразия (29); поэтому будем предполагать, что для рассматриваемого направления А $ О, и допустим, кроме того, для определенности, что А ) О. Обозначим через г, и гз соответственно расстояния от Л4о до ближайших точек пересечения луча д.

с многообразиями (29) и (29'); г, и гз будут в силу (26), (27), (28) соответственно корнями уравнений: Аг,з = И, (31) (А + а) гзз = Ь. (32) Так как е стремится к нулю вместе с гз, то г, и гз будут бесконечно малыми одного и того же порядка. Из (31) и (32) следует: г з — г.з= — — гз з. А отсюда л Глт [г,— ге[= — — °, А 1гл+гз~' Следовательно, если принять г, за бесконечно малую первого порядка, то !» — гз~ будет бесконечно малой порядка выше первого или, по сравнению с Ь, бесконечно малой порядка выше половины.

Пример. В случае, когда число независимых переменных и равно единице, мы получаем функцию у = у(х) одного переменного. Изображающее эту функцию л1иогообразие будет одного измерения — кривая двумерного пространства. Касательным линейным многообразием будет служить касательная прялия. Приближение функции с точностью до величин выше второго порядка будет дзвзться параболой. В случае стационарной точки (А.-НО) каждое из мкогосбразий (зз) и (30) будет состоять нз пары точек. В случае л = 2 функция Х=,ПХ, у) изображается в виде поверхности трехмерного пространства.