Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1), страница 11

В противном случае ясе функции )л(л) были бы константамн и линия выродилась бы в точку. втнкцни точки в л-мятном птостглнстве [гл. 11 Точки, отвечающие двум или более различным значениям 1, называются к1лтглиыми, Криглпческини точками кривой мы называем, во-первых, кратные точки, во-вторых„ точки, в которых ~ [ †'~ - 0 прн т=« всех выборах параметра б Например, плоская полукубическая парабола к=Р, у — 1Я имевг критичеслую точку в начале координат. Аналогично определим 7г-мерное многообразие: будем называть и-мерныж млгиообразием геометрическое место точек и-мерного пространства (Й с.

л), координаты которых суть функции А параметров: л;=~, (1о 1т, ..., 1«) (1=1,2,..., л), (6) где функции у удовлетворяют слвдуюп1ему дополнительному условию среди главных определителей матрицы (7) ~ю'=1 2 ... л'1 '=1,2,...,л/ существует по крайней мере один, не равный тождественно нулю, Это условие исключает возмоя<ность вырождения данйого многообразия в мипгообразие меньшего числа измерений. Преобрвзовамне переменных. Мы дали определение lг-мерного многообразия через параметры, причем для определенности уместно фиксировать область изменения этих параметров. Это последнее обстоятельство является, конечно, несущественным. Допустим, в самом деле, что л между точками некоторой л-мерной сферы .~, Г,э = 1 пространства т=« (Го Сл..., Г«) и точками некоторого тела у установлено взаимно-однозначное соответствие, и пусть С,=е,(ип и......

и«) (8) суть уравнения, реализующие это соответствие. При этих условиях уравнениям (6) многообразия можно придать вид: х,=Р,(и„и, ..., и„), гле (л„ая, ..., а«) есть произвольная точка тела к и где положено: ~~(ио ия ° ° ° я~)=Г«[рс(и«ит . и«): ° 9«(и~ цл ° ° . л«)) Так как каждой точке (и„ а„, ..., и«) отвечает вполне определенная точка многообразия, то систему чисел (и„ а, ..., к ) можно назвать координатами точек многообразия. При таком определении система (8) реализует переход от одной системы координат к другой. Укажеы сейчас иа другое определение аналитического «эюгообразня % 1О) Аньлнтнчяскив многоозглзяя мнохообразием й (к ч л) лалгеренил в л-мерном пространстве называется геометрическое место точек, координаты которых в л-мерном пространстве удовлетворяют л — А уравнениям: ~р (хы хя, ...,х„)=0 (/=1,2, ...,л — А) (9) (функции ы мы считаем дважды диференцируемыми).

При этом л — к уравнений (9) независимы. Это значнт, что определители (л — к)-го порядка, составленные из элементов матрицы (бтт) (/=1,2, ...,л — л) не могут одновременно обрацаться в нуль во всек точках пространства. При таком определении многообразия к измерений можно рассматривать как пересечение л — к многообразий (л — 1) измерений. Точки многообразия (9), лля которых ранг матрицы ( — ~ меньше и — к называются критическими, остальные — обыккоаенкылш. 1т1й не касаемся в общем виде трудного вопроса, прн каких обстоятельствак многообразие в параметрическом виде можно представить в виде (9). Это, между прочим, было бы возможно, если бы мы сумели из к уравнений (6) исключить параметры 1ы 1з, ..., Фк Пусть точка М„есть обыкновенная точка уравнения многообразия, заданного в параметрической форме (6).

Выберем из системы (6) к таких уравнениЙ, чтобы их функциональный определитель, составленный из правых частей этих уравнений, для значений параметров, отвечающих точке М„, отличался от нуля. Примем для определенности, что это суть первые к уравнений. Мы можем в силу основной теоремы о неявных функциях выразить в окрестности точки Мр параметры 1ы 1я, ..., 1ь через координаты хм хм ...,хя.

Подставив найденные значения параметров в остальные и — Й уравнений, выразим л — й координат хт (1 ) Л) чеРез кооРдинаты х„ хя, ...,х„: х,— - — Гг(хп х„...х„). Таким образом мы представили в окрестности точки М уравнение нашего мнопюбразия в форме (9), где тт ха+1 рт(хы хез ' 'э хь) Точка Ме будет также обыкновенной точкой в смысле определения обыкновенной точки многообразий, заданных уравнением (9). В самом равен и — к, нбо функцнональный оирелелнтель 1дх,~ (1=я+1, А+2, ...,л) равен единице.

1гл. 1 50 Функции тОчки в л-меРном НРостРанстве Пусть, обратно, М есть обыкновенная точка многообразия (9). В силу основной теоремы о неявных функциях мы в этом случае можем в окрестности этой точки и координат точек многообразия (9) выразить через /г из иих, например через х„х„..., х,. В окрестности Мр уравнению миопюбразия (9) можно придать параметрическую форму, где в качестве параметров будут фигурировать координаты Х,, Х„..., Х4. Легко убедиться, что точка Ме будет также обыкновенной в смысле определения уравнения (9).

Таким образом в окрестности обыкновенной точки мнопюбразня возможен переход от одной из двух основных форм задания его уравнений к другой. Криволинейигяе координаты. Пусть нам задано в параметрической форме уравнение Л4-мерного многообразия в л-мерном пространстве (4л ( и); х4=Д4(С„СЕ, ..., С,„) (1=1,2, ..., л ) гл). (10) Примем согласно данному выше определению параметры 14 за координаты ка данном мнопюбразии (криволинейные координаты). Точки многообразия, для которых все координаты х, будут функциями одного параиетра т, образуют линию на данном многообразии. Обозначим через ~Ь элемент дуги этой линии; тогда, обозначаи через 44х4 приращения координат, которые получаются при продвижении по кривой на длину 44з, получим: дзэ='~, 4х,э="» (,')~ — ",'д1,.) ='» АНАР,д1л (11) 4 4 Р 4 4 где А =А, =~ —" ° — ".

Положив 444Е=,Р4Щ исоза = — получим: ч т ду„дУ'„ т4 П44 и 4=А дг,'дг,-' 4 4 с441 Ь 4, 4Ы = 4Ф ~~.', А, сов а, соз а . Покажем, что в правильной точке многообразия ~~А4 сова, сова.. О при любых значениях а„а следовательно, ~ Ансоза,совку больше некоторой положительной константы, зависящей только от А,. В самом Леле, допустим противное, т. е. что сумма при некоторых значениях а4 равна нулю, тогда в силу (11) при тех же значениях а будем иметь: 44'а д Р д--соз ау — — О (4= 1,2...

° ~ Л)з 4 дД4 д)4 ,4=4 причем ~~.',созэа4 — — 1 ф 01 но в таком случае все определители л-го порядка вида ~ — ' ~ будут равны нулю, что противоречит условию прадг4 дГУ вильности точки многообразия. Таким образом в правильной точке многообразия, если точка 4)1(44, 4; ° ° ., Рь) пространства (г„ ь4, ..., 14) переместится иа бесконечно малую величйну, то соответствующая точка мгогообразня переместится на бесконечно малую того же порядка. аналитические многооввлзия Имея выражение диференцизла дуги через диференциалы координат в каждой точке многообразия, можно на данном многообразии решать основные метрические задачи геометрии, не прибегая вновь к общему уравнению многообразия.

Пусть, например, на многообразии дана линия, соедннающаЯ две данные точки А(>ею)) и ВЩ, заданнаЯ УРавненнем: 4)='ре(ч) (1=1 2 ° ° - йео~( ~<т>) При этои т, |, суть значения параметра, соответствующие точкам А и В. Тогда длина з заданной линии вычислится по формуле: ч *-)' >/Х ем|'Е)Ь )Чек (12) Задача о разыскании зеодези'|ескик — ливий наименьшей длины срели линий, соединяющих на многообразии две данные точки, приводится в силу (12) к задаче разыскания линии, вдоль которой интеграл (12) принимает наименьшее значение. Эта задача является одной из основных задач вариационного исчисления. Многообразие, заданное уравне- 'я' пнем (9), допускает параметрическое представление в окреспюсти любой его обыкновенной точки. Вместе с тем в та- р кой окрестности можно ввести систему криволинейных координат.

Такаясистема координат, заданная только в окрестно- 3 сти некоторой точки многообрааня, называется местной системой| координат. Мы можем ввести криволинейные коорлннаты и в самом евклидовом пространстве. Пусть нам заданы пара- Черт. 5. метры г„Гз, ..., Г„такие, что координаты всякой тоесй евклидова прострапс|па (илн некоторой его области) выражаются через эти параметры: к)=о|(~>, 1з, ..., 1„) (1=1,2, ..., л). Параметры 8» йл ..., 1я ыо>яно рассматривать как криволинейные координаты точек евклидова пространства, Многообразия (л — 1) измерений с,=сопзг. будем называть координатными многообразиями; очевидно, имеется и систем координатных многообраанй, Приведем несколько примеров криволинейных координат в евклидовых пространствах.

Примеры 1. Сферические координате|. Рассмотрим тзх пзэыпзоыые сферические координаты: радиус-вектор р точки Л в трехмерном евялпловом пространстве есть ее расстояние до начала координат О (черт. 5); широтой ч точки л называют угол л|ежлу вектором ОА и плоскостью кОу ~Ч изменяется от —— 2 ло — ~; долготой ы точки А назовем пзугрзниый угол межпу плоскосгью, 2/' проходящей через ось Оз и точку Л (плоскоспю мерплпаиз точки А) и [гл.

П 02 ФУНКЦИИ ТОЧКИ В И"МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ плоскостью хОХ (ф меняется от — и до и), или, то же самое„ф есть угол между проекцией ОВ вектора ОА на хОу и осью Ох. Имеемг ОВ = р соз р, АВ = р я!и р. Следовательно: х = р сг'5 р соз б у = р соз р з!пф, х = р 5!п р аз =г(х'+ПУ«+г(55=4Д+РМРЗ+РЗСОзэтг(ргэ. На поверхности сферы с центром в начале координат р= сопз!5 широта р и долгота ф принимаются за координаты точки на сфере (географические координаты; при этом ) Азз — — рз (гбрт + созт р пгфг).

В л-лгериолг пространстве обобщением системы координат р, р, ф будет систелга кооРдниат Р, Рг„рч. „Ря г, опРеделаемаа Равенствами: Хг = Р сов у! Сов'Рз ... СОЗР 5СО5Р Хг = Р СозтгС05РЗ ... СО5Р З З!П Р ХЗ=РСОзтгсОЗРЧ ... С05Ргг 5МПР«г З, х„= р згп рг, и!55 = Ргкхгз = ггрз+ рзггр 5+ рз сонг рггзр з+ ... + рз соззрг ...+Созз р г(р г На (и — 1)-мерном сферическом многообразии р= сопя!.

рг, рз, ..., рп образуют систему криволинепньж координат. ж ЭЛЛггпжггкселиЕ Каордилаты. ПУСТЬ ап аз, аз — ПРОИЗВОЛЬНЫЕ РаЗЛИЧНЫЕ Действительные числа аг)аз)аз)0. РэссмотРнм снстемУ повеРхностей 8, второго порядка: (13) Пока й) а,, 8а есть зллипсоид;прил, «Л)ак,8г есть одиополостный гипербо- лоид; прн а,) й)аз — двуполостиый гиперболоид; при л, равном одному из ЧИСЕЛ ао аз, аз, ПОВЕРХНОСТИ 8ь ВЫРОжДаЮтСЯ В ПаРУ СЛНВШИХСЯ ПЛОСКОСтсй; ПРИ !гк'аз МЫ ИМЕЕМ МННМЫВ ЭЛЛИПСОИД. Пупгь А(х, у, з) — фиксированная точка. Уравнение (13) определит нам такое В, что поверхность 8г будет проходить через точку А. Уравнение (13) есть урзвиение третьего порядка относительно Л: Р(Л) = (Л вЂ” а,) ( — ат) (Л вЂ” аз)— — (х«(Д вЂ” аг) (Л вЂ” аз) + ут (д — аз) (Л вЂ” аг) + хз (й — аг) (й — аз) т = 0 При изменении Д от + со до аз многочлен Р(й), как легко проследить.