Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1), страница 3

Докажем, что в случае гараллельностн многообразий (16) н (17) а„= О (1=1,2, ..., й), т. е. координата х для всех точек многообразия, параллельного к многообразию х = О, есть величина посглоянная. В самом деле, допуствм, что аигфО (1 - 1, 2, ..., й); в таком случае, полагая где >ч — некоторые постоянные чнсла. Можно записать его также в форме тождественного равенства линейных форм: и а / и Х агхг= Х Ьг~,Е а!газ г=! 1=1 г=! (б) З 2. Векторы н лннейные операции над ними Пусть дана прямая г.: хг=7ггг+с! и пусть точки А(а,) н В(д!) принадлежат этой прямой: а,=йгуг+с, дг — — а!бе+с, (Е=-1, 2, ..., и), где Ф„Фг — значения параметра, соответствующие точкам А, В.

Допустим дла ОпРеделенносгн, что Р! ( !г ПРн этих обозначениЯх совокУпность г„= О при р ~ г) гу =— а„в мы получим точку многообразия (17), принадлежащую многообразию (16), что противоречит гипотезе параллельности. Задача 4. Иайти условие, при котооом (и — д';лгсрнос многообразие 6и заданное в и-мсрном пространстве уравнсниямт ~„гагтхг —— О заключено в (и — П-мерном пространстве г.и г, заданном уравнением ~~ агх. = О. (Ь) ;=.! ' Из првнадлежносгн многообразия Е„г многообраэню Еи ! следует, что если система х-ов удовлетворяет всем к уравнениям (а), то она удовлетворяет также уравненню (Ь).

Уравнение (Ь) есть слегствве уравйеннй (а). Отсюда получаем, что коэфнцненты уравнсння (Ь) выражаются линейно через козфнцненты уравненнй (а). Искомое условие запншется э виде: а ггу= Х'~~!с (1=1,2, ..., и), (с) г=! (гл. ! элементы л-мегной Гвомвтеин 12 точек прямой е., для которых Ф< х С(~~, мы назовем отрезком прямой, соединяющим точки А и В. Точки А и В будем называть концами отрезка. Ясли отрезок АВ снабдить направлением, условившись считать точку А началом, а точку В концом отрезка, то такой отрезок называется наираеленным отрезком и обозначается АВ.

Понятие направленного отрезка оказывается чрезвычайно полезным во многих областях геометрии и анализа. Направленные отрезки можно рассматривать как самостоятельные величины — векториальные величины, и по аналогии с векторной алгеброй трехмерного пространства для этих величин можно создать специальную алгебру, чрезвычайно богатую приложениями.

Мы сейчас изложим элементы линейной векторной алгебры и-мерного пространства Направленный отрезок АВ в дальнейшем мы будем называть ееелдором. точку А — началом, точку  — концом лектора. Ддя определения равенства двух векторов воспользуемся понятием параллельного перенесения. Пусть М вЂ” некоторое множество точек. Пусть координаты х„х, ..., х„каждой точки множества М получают приращения й„Ь», ..., й„: точка (х, х», ..., х„) множества М переходит в точку (х, +Ь, ха-( — Ь», ..., х +Ь„), где Ьы Ьм ..., ܄— постоянные числа. Множество М перейдет при этом в новое множество Щ<. Такое преобразование множества М в М называется «араллельным перенесением. Прямая к< =Ь,С+1, (<= 1,2,..., и) при параллельном перемеШении перейдет в прямую х,=к<1+с< (1=1,2,..., и) с равными (или пропорциональными) коэфициентами к<.

Легко доказать, что и обратно две прямые с равными (или пропорциональными) козфициентами Ь< получаются одна из другой путем параллельного перенесения. Два вектора АВ и А В будем считать равными, если один из них переходит в другой путем параллельного перенесении. Пусть мы имеем четыре точки: А (а„а, ..., а„), В(Ь„Ь», ..., Ь„), А, (а,', а.', ..., а'„), Ю, (Ь,', Ь»', ..., Ь'„). + Условием оавенства вектопов АВ и А,В, будет: а,' — а,=Ь,' — Ь, или Ь,— а<=-Ь<' — а,' (<=1,2, ..., и). Каждому вектору АВ можно отнести равный ему вектор, начальная гочка которого лежит в начале координат. Поэтому в дальнейшем мы без оговорок будем иметь в виду такие векторы. По аналогии с векторной алгеброй двух и трех измерений будем называть компонентами вектора ОА координаты его конца А(а,,а», ..., а„) (начало этого вектора совпадает с началом координат).

ввктогы и линейные опаглции илд ними Векторы обозначаются жирными латинскими буквами а, Ь, с, ... Символ а (а„аа, ..., а„) означает векторе компонентами а„а, ..., а„. Если рассмотреть совокупность векторов, имеющих начальные точйи в начале координат, то концы этих векторов образуют л-мерное пространство, а компоненты этих векторов будут совпадать с коордннатзми нх концов.

Зто обстоятельство дает возможность трактовать л-мерное пространство с двух точек зрения: пространство как совокупность точек и пространство как совокупность векторов, Наличие при векторной точке зрения компактной символики и возможность непосредственно оперировать с векториальными величинами дает часто преимущества второй точке зрения на л-мерные пространства. Сложение векторов. Пусть даны векторы ОА=-а(а„аа, ..., а„), ОВ=Ь[Ь>, Ьа> . ° .> Ь»). Построим теперь вектор АС=ОВ=-Ь, начало А которого совпадает с концом вектора ОА=а. Вектор ОС назовем суммой векторов а и Ь и будем инсат>и ОС=а+ Ь. Очевидно, компоненты вектора ОС равны: а,+Ь, (>=1, 2, ..., л).

Вообще сум гой >л векторов а„а, ..., а„нпзывпетсн веклгор а. который ивгнепгсн замы:пюги>ик ло.тгон А А,А„... А„, г'-е звено «стог>ого рпвно вектору а, =А,,А,. В ы ч и т а н и е двух векторов можно определить как операцшо, обратную сложению. Рпзлптлью а — Ь двух векторов назовем ве>алорс, который, будучи прибавлен к вектору Ь, даст вектор а. Введем понятие нулевого вектора О, как вектора, все компоненты которого равны нулю. Вектор О геометрически означает выродившийся в точку вектор, начало и конец которого совпали. Очевидно: а — а=О. Умножение вектора на вещественное число — скаляр.

Дадим сейчас определение другой линейной операции †умножен вектора иа скаляр. Пусть р †цел число. Назовем вектором ра сумму р векторов, равных а. Введем следующие обозначения: 1) Если РЬ = а, то обозначим: Ь = — а. 1 Р т г1 2) — а=>л~- а) (т и р — числа целые и положительные). Р Р и> >я 3) — — а=Π— --а. Р Р 1гл. 1 эламаиты а-магией гвпматеии Таким образом мы определили операцию умиожеиия вектора иа рациоиальиые числа через операцию сложения.

Заметим, что если а =(п„аа, ..., а„), то 1 г1 1 1 ра=(рп„рпа, ..., ра„), — а=~ — а„— и„, ...,— и ); отсюда Операция умиожеиия вектора иа рзциоиальиое число сводится к умножению иа это число всех его компонент. Операцию умножения иа иррациоиальиое число и нельзя уже определить через операцию сложения.

Из соображений иепрерывиостм иазовем вектором па, где и — произвольное вегцествеииое число, вектор па=(ппм и „..., па„). Операции сложения и умножения векторов обладают законами коммутативнпсти: а+Ь=Ь+а. псгоциативнпсти сложения: (а+Ь)+с=а+(Ь+с), ассоциативности умножения: Е(гла) = (Ьи) п и двумя дистрибул~нвными законами: (1+т)а=Еа+та, 1 (а+ Ь) = Еа+ ЕЬ. Справедливость этих авионов вытекает из того, что действия иад векторами сводятся к аиалогичиым действиям иад их компонентами. Вопрос о коммутативиости умножения вектора иа скадар ие ставится, поскольку оба множителя неравноправны.

Единичные векторы. Обозначим через А, точку оси Оки имеюшую 1-ю координату, равную единице, а остальные координаты равные нулю. и векторов (1=1,2, ..., и1 е,=ОА, иазываются единичными веклюрпми, а их совокупность — координатным крестом. Всякий вектор а(а„п,„..., и„) выражается линейно через едипичиыс векторы: а=п,е,+апа+ ... +а„п„.

В этом легко убедиться, заметив, что 1-я компонента всех слагаемахравиа нулю, кроме гьчго слагаемого и,в„для которого эта компонента равна пе линвйнля зависимость ввктогов % З) ф 3. Линейная зависимость векторов Пусть дана система е» векторов а„ ам ..., а„. Мы скажем, что вектор а линейно выражается через данные т векторов, если существуют т чисел Ан Ам ..., й таких, что а=й,а,+йеа +... +й а . Мы скансем, что данная система т векторов ам а„..., а линейно незиеиеилш, если, каков бы ни был вектор этой системы, его нельзя выразить линейно через остальные векторы этой системы.

Число т называется ранеэи этой системы, Если среди векторов данной системы можно выделить й т векторов таких, что через них линейно выражаются все остальные векторы системы, и если нельзя выделить меньшего числа векторов, обладающих тем же свойством, то мы скажем, что векторы системы линейно завиимы, з система имеет ранг й. Найдем аналитический критерий линейной независимости данной системы векторов. Будем считать, что каждый вектор системы задан его координатами. Итак, пусть 1-й (1 = 1, 2, ..., т) вектор а, системы имеет координаты аи, аа, ..., иие Условие линейной зависимости векторов данной системы можно представить так: й,а,+А.аз+... +Й„,а„=О, (18) где й,— скаляры Я,А<е О). Подставляя в уравнение (18) вместо каж-.

дого вектора его выражение через единичные векторы, получим: ~~, '1е,а, = ч~~~й,и„в1 — — ~ч.", (~~~И,а,)е, = 0 или ,~~А,ам==О (1=1,2, ..., и). (19) 4=1 Таким образом, для того чтобы данная система векторов была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений (19) имела относительно й, нетривиальное') решение. Рассмотрим отдельно трн случая: 1) т) л. В этом случае система (19) имеет всегда нетривиальное решение. В самом деле, составим определитель а„и, ...

и,„ ия,а ... аз„ а„,и„... а„„ Если Ь равен нулю, то, положив в (19) й,=О прн 1>и, получим однородную систему уравнений с определителем, равным нулю. Такая т) Решение нетривиально, если Х Л,е~ О, 1гл. [ 1б элементы и-мш ной геометеии система имеет нетривиальное решение; в этом случае уже первые и векторов оказываются линейно зависимыми. Если Ь не равен нулю, то мы подставим в (19) й„+, — — 1, Й,=О при 1) и+1. После подстановки мы получим неодйородную систему уравнений с определителем, отличным от нуля, для определения остальных йг Здесь мы опять получаем нетривиальное решение системы (19). Таким образом всякие и+1 векторов в п-мерном пространстве линейно зоыиимы.

Отсюда мы также получаем следующий важный результат: ТЕОРЕМА. Если нам дано и линейно незпвисимых векторов в п-мерном пространстве, то любой велапор этого прогьпранства может быть линешю выражен через и донных векторов. Иными словами: если ним дано и линейно независимых векторои а„а„..., а„, то любой вегапор а можно представить в виде: а=у,а,+уэа„+ ... +у„а„. 2) т=и. Для того чтобы система (19) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы Л бьш равен нулю. Таким образом Ь+ О является необходимым и достаточным условием линейной независимости рассматриваемой системы векторов. 3) т ( и.