Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний, страница 8

А" не (2.27) После интегрирования при начальном условии А (0)= Ао находим зависимость А (1): 4 а (2.28) е — г/ 2Ь (и 1) Ье+г т (и) Ае-1 .Г Конкретный вид этой зависимости определяется значением показателя и. Прежде всего остановимся на случае, когда п = 2 (кводратичеекое трение); при этом иэ (2.28) получается .4 = 'з е (2.29) 1+ — Ф о Зне т.

е. огибающая имеет вид гиперболы. С помощью решения (2.28) можно получить огибающую и для другого важного частного случая, когда и=О. "® Согласно (2А7) етому случаю соответствует выражение ()е = — Ь '~ е (2.30) )т( определяющее симу кулонова трения, величина которой Рнс. 2.5 не зависит от величины скорости. Подставив и 0 в общее решение (2.28), получим А=Ае — — „ 2ЬЬ (2.34) т. е. убывание амплитуд следует линейному закону, а амплитуды образуют арифметическую прогрессию; этот результат также соответствует точному решению. На рис. 2.5 показаны верхние огибающие для трех указанных выше значений п. Общий вид фазовых траек- 4 н г няяпано гл. х своводныв колввлния торий такой же, как и в случае линейного трения (рис.

2.3, а). Отметим, что при и чь 1 отношение двух соседних наибольших отклонений непостоянно; отсзода можно заключить, что логарифмический декремент оказывается переменной величиной, зависящей от амплитуды: А; Л вЂ” 1п —,, ье1 где 1 — номер рассматриваемого цикла. Если, как зто предполагалось выше, разность ЛА,=А;+~ — А, мала по сравнению с А„то можно записать* А;+д ~ А~+ ~ А Подставив сюда выражение (2.23), получим зависимость логарифмического декремента от амплитуды: Л= — А 4Ы "С (п) с П Рвс, 2.6 Отсюда непосредственно видно, что лишь прн и = 1 логарифмический декремент не зависит от амплитуды колебаний и остается неизменным в процессе колебаний.

При я=2 в процессе затухаю- и ГА) щих колебаний логариф- 2 мический декремент убывает вместе с убыванием амплитуды, а прн и = О 1 (кулоново трение), наобо- рот, он увеличивается с о=д уменьшением амплитуды. Зависимости логариф- О мического декремента от амплитуды колебаний схематически показаны на рис. 2.6. Метод медленно меняющихся амплитуд. Зтот приближенный метод был предложен Ван дер Полем для широкого класса задач о колебаниях систем со слабой не- линейностью, когда дифференциальное уравнение движения можно представить в виде Ч + нед = 1 (Ь я) (2,32) % 3. СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ где ((д, д) — функция, состоящая из относительно малых нелинейных членов. Например, в задаче о затухающих свободных колебаниях систем с нелинейным трением нужно переписать уравнение (2А8) в виде (2.32), положив (2.33) Рассмотрим решение уравнения (2.32) по методу медленно меняющихся амплитуд для общего случая, а затем вернемся к частному случаю (2.33).

Решение дифференциального уравнения (2.32) разыскивается в виде (2.34) су = А сов(7с»с — ср), но предполагается, что А и ф — функции временп. В зависимости от свойств вновь введенных функций А(1) и ф(1) зависимость (2.34) может оказаться более или менее близкой к гармоническим колебаниям с частотой сс». Прп постоянных А и ф вырансение (2.34) совершенно точно описывает гармонические колебания.

В случае, когда А и ф — «почти постоянные», т. е. Медленно меняющиеся функции времени, вырахсение (2.34) описывает колебания с медленно меняющимися амплитудой и фазой; этот случай типичен для систем со слабой иелинейностью, в частности для рассматриваемых здесь систем. Если подставить выражение (2.34) в основное уравнение задачи (2.32), то получится уравнение, содержащее две неизвестные функции А и ф. Для определенности замены одной функции о двумя функциями А и ф нужно указать какое-либо дополнительное соотношение между последними; Ван дер Поль предложил принять в качестве такого соотношения следующее: А сов((с»с — ср)+ Аф з1п(рсос — ср) = О. (2.35) Если теперь продифференцировать выражение (2.34), то с учетом (2.35) получится весьма простое выражение для скорости: д = — сс»А з1п(7с»с — ср), (2.36) — такое же, как если бы величины А и ф были постоянными.

Поэтому и выражение для ускорения окажется относительно простым и не будет содержать вторых 4» ГЛ. Ь СВОБОДНЫВ КОЛЕБАНИЯ производных А и ф: Ч = Аяза[и(ее~ ф) Айосоз(М ф) ч + Ай,ф соз (!сот — ф). (2.37) Подставив выражения (2.34), (2.36) и (2.37) в заданное уравнение (2.32), получим уравнение первого по- рядка — Аяо ып $+ Авоф соз ф = 7'[А соз ф — Айо зш ф), (2.38) где ф = Йо1 — ф. Из соотношений (2.35) и (2.38) можно найти следующие выражения для производных А и ф: А =- — — 7'[Асозф — А1с, з1пф] з1пф 1 о ф =- — ~ [Асов ф, — Ай з1пф) созф о (2.39) (2.40) Копечно, при интегрировании в правых частях величина А считается постоянной. Именно зта операция усреднения составляет существо метода медленно меняющихся амплитуд. До сих пор все выкладки были вполне строгими, и лишь теперь делается упрощение, вносящее некоторую приближенность в решение.

Предполагая, что рассматриваемая система близка к линейной, мы можем считать, что переменные А и ф не успевают получить заметных приращений за один цикл 2Я/йз и что производные А и ф постоянны в течение любого одного цикла. Позтому, хотя эти производные выражаются сложными нелинейными функциями времени (2.39), не повлечет большой ошибки замена зтих функций их средними за период 2я/йо значениями: А = — 2 — Ь ) ( (А соз Ф вЂ” Айз в[п ф) з1 и ф дф г о о ф — 2 Ав ~ ~(АСОБФ вЂ” Айозшф) созфАф. 2ЯААр о я 2.

систвмы с тгвнием 'Уравнения (2.40) запишем в более коротком виде: Ф (А) ' Ч' (А) (2.41) з (укороченные уравнения Ван дер Поля), причем Ф(А) = — ~ ~(Асов ф, — А1с,з1пфз(и~рйр, О Ч(А) = ) 1(Асов ф — А7с,э(п ~~) соз ~р й~. о (2.42) Таким образом, нужно прежде всего вычислить интегралы (2.42) в предположепии, что А — постоянная величина. После этого интегрируются дифференциальные уравнения (2.41); конечно, на этом этапе выкладок уже признается, что величина А — переменная.

Возвращаясь к задаче о свободных колебаниях систем с нелинейным трением, образуем с помощью (2.33) выражения (2.42): Ф(А) = — ~( — — ) — Айээ1п Ф)" ~( — Айоэ1пф)~в(пфйр= е о "" Г 4ЬАЬе Г .„+, = — — ) эш файф е О Ч(А)=0. Интеграл, входящий в выражение Ф(А), уже встречался выше и был обозначен через 1(п) (см. (2.20)); следова- тельно 4ЬА ЬФХ(и) Ф(А) =— Теперь согласно (2.41) получаем укороченное уравнение 2ЬАава-гУ (э) А=— яа Если теперь заменить а = с/йам то мы вновь придем к уравнению (2.24), полученному выше методом энергетического баланса в предположении, что й = йэ. Следовательно, дальнейшее решение приведет вновь к уравнению для огибающей (2.28).

гл, |. своводкые колвБАкия Хотя в данном случае метод медленно меняющихся амплитуд не дал новых результатов, но них|е мы увидим, что он окажется весьма полезным при решении других нелинейных задач. 3. Гистерезисное трение. При циклическом деформировании упругих тел, даже при малых напряжениях наблюдается некоторое нарушение закона Гука, выража|ощееся в появлении петли зистерезиса; на рис. 2.7 показана такая петля в координатных осях напрян<евие о=Ее а — деформация е. Расположенная внутри петли гистерезиса площадь диаграммы определяет энергию, рассеис ваему|о за один цикл колебаний в единице объема материала. Так как расстояния между ветвями обычно Рвс, 2.7 весьма малы, точную фор- му петли в экспериментах установить аатруднительно. В то же время площадь п е т л и может быть определена достаточно надежно.

Установлено, что площадь петли гистерезиса для большинства конструкционных материалов практически н е зависит от темпа деформирования (т. е. от частоты процесса), но зависит от амплитуды деформации. Сказанное справедливо и по отношению к целой конструкции: рассеиваемая за один цикл в конструвх~ии энергия П не зависит от частоты колебаний, по связана с их амплитудой.

Эта зависимость обычно принимается в форме 1? = с|А "+', (2.43) где се и и — постоянные, определяемые из экспериментов. Такая зависимость и р и н ц и п и а л ь н о отличается от внешне сходной с ней зависимости (2.21), в которую входит амплитуда колебаний тоже в степени и+ 1, однако в выражение (2.21) входит также и частота й, от которой не зависит коэффициент ес выражения (2.43). Для определения закона, описывающего затухание колебаний прп гистерезисном трении, вновь воспользуемся уравнением энергетического баланса и приравняем рассеиваемую энергию (ее следует взять со знаком ми- $ к системы с тгением пус) приращению энергии (2.22) за один период: — аА "+' = САЛА.

Отсюда следует уравнение в конечных разностях ЛА = — — А", которое, как и (2.23), можно заменить дифференциальным уравнением ЫА аа а — = — — А. (2.44) сИ 2нс После интегрирования этого уравнения при начальном условии А (0) = Ао получим Ао (2.45) Отметим, что в частных случаях п=О, я=1, и= 2 здесь вновь получаются результаты, схематически показанные выше на рис. 2.5. Любопытно, что при гистерезнсном трении также может получиться экспоненциальная зависимость А(1) (если и= $), которая типична для случая линейного вязкого трения.

Наконец, укажем, что кулоново трение можно считать не только частным случаем нелинейного трения (2А7), но и частным случаем принятой здесь основной зависимости (2.43); в обоих случаях оно характеризуется значением п= О. 4. Ударное демпфирование. В некоторых системах основной причиной затухания колебаний является не непрерывное действие сил трения, а мгновенные потери энергии при соударениях.

Рассмотрим случай, когда такие соударения происходят всякий раз, когда система проходит через положение равновесия, причем мгновенная потеря анергин пропорциональна энергии системы перед соударением. В этом случае мгновенную потерю энергии удобно представить через скорость системы н пеРед соударением; 0 =Ьнт, (2.46) где Ь вЂ” некоторый постоянный коэффициент, имеющий размерность массы.