Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний, страница 3

0.7,а). 3. Составление механической модели; силы, действующие при колебаниях. В курсах механики указаны основные типы спл, которые могут действовать на материальную точку; силы, зависящее от времени; спчы, завпсящпе от положения точки; силы, зависящие от скорости точки. Уеео-утех' 7 «ех, г Гис, 07 ВВЕДЕНИЕ В бокьпшпстве случаев к этим типам сводятся и те обобщенные силы, которые действуют прн колебаниях механических систем. Рассмотрим их подробнее, ограничиваясь здесь системами с одной степенью свободы. Обобщенные вынуждающие силы — внешние силы типа О (»), являющтгеся заданными функциямп времени; такие силы служат причиной вынужденных колебаний.

Источники возникновения вынуждающих спл весьма разнообразны: периодически изменяющиеся силы давления газовой смеси в цилиндрах двигателей внутреннего сгорания, инерционные эффекты в внбровозбудптелях, переменное притяжение электромагнитов и др, Весьма различны и законы пх изменения во времени, хотя в практике наиболее часто встречаются периодические вынуждающие силы.

Иногда вынуждающие силы не детерминированы, а представляют собой случайные функции времени (случайные процессы). В некоторых случаях возбуждение колебаний задается кинематнческп, когда какпм-либо точкам системы «предписано» некоторое определенное движение — оно также может быть детерминированным илп случайным процессом. В частности, кинематпческпм является возбуждение колебаний автомобиля пли железнодорожного вагона прп движении по неровному пути. Иак будет показано ниже, любое кинематичеекое возбуждение может быть представлено В виде некоторого эквивалентного силового возбуждения, т. е.

заменено действием соответствующих сил. Обобщенные позиционные силы — силы, зависящие от полон«ения (конфигурации) спстемы, т. е, от обобщенных координат. Среди позиционных сил особое значение имеют воеетанавливаюгцие силы, т, е. силы, возннкагощио при отклонениях системы от положения равновесия и направленные так, чтобы вернуть систему в это положение. Именно восстанавливающие силы обусловливают собственные колебательные свойства механических систем — их способность совершать свободные колебания. В механических системах с упругпмп элементамп восстанавливающие силы возникают вследствие деформпровапия этих элементов прн колебаниях (упругне силы).

В других случаях роль восстанавливающей силы может играть сила тяжести (маятнпк) или архимедова сила (корабль). Зависимости восстанавливающих спл от обобщенных координат, как правило, пелпнейны; однако при иссле- $6 ввидкнин довании малых колебаний — что во мпогих случаях достаточно — чаще всего допустима линварнзация таких зависимостей. Для системы с одной степенью свободы линейная восстанавливающая сила всегда может .

быть записана в виде ~(а) = — ед, (0.3) гдв д — обобщвллая координата, е — обобщенный коэффициент жесткости. Например, вели для маятника (рис. 0.(,а) принять за обобщенную координату угол отклонения от вертикали, то " '.'"Т обобщенная сила (момент силы тяжести) равна — тй( з1п а— = — тфд, т. в. с= таей Иногда обобщенная восстапавливающая сила возникает вследствие одновременного влияния двух различных причин. Таков, например, упруго закрепленный маятник (рис, 0.8,а), для которого е == соР+ тд), Рис. 0,8 гдо со — коэффициент жесткости пружины, т.

в. статическая сила, способная вызвать удлпленио пружины ла единицу длины. Этн влияния могут быть противоположными по напраглению; так, для опрокинутого маятника рис. 0.8,б) ( е = соР— тф. Если пружина имеет малую жесткость, такую, что ео1( ( тд, то обобщенный коэффициент я(всткост1т оказывается отрицательным, т. в. суммарная позиционная сила ле является восстанавливающей.

Обобщенные силы тренин зависят от обобщенных скоростей (по крайлей мере от их злака) и направлены противоположно двпжелшо. Силы трения ковш~кают в сочлененлях звеньев л опорах механической системы, а также в материале ее звеньев. К этой категории также относятся силы сопротивления среды (жидкости, газа), в которой происходят колебания; такие и им подобные силы ниже условно также называются силамп трения. Особенно значительно трение в демпферат, которыо спв- ввнднник с7 цпально вводятся в механическле системы для гагпения с:олебаннй. Чаще всего силы трения препятствуют развитию колебаний, например, служат причиной затухания свободных колебаний; механические системы, в которых действуют такие сллы, называются диссипативными.

В некоторых случаях силы трения оказывают протнвополонсное действие и возбуждают колебания (в автоколебательных системах — см. главу 1'«'). Эавссспмость обобщенной силы трения от обобщенной скорости наиболее часто представляют в одной нз следуютцнх форм (для диссипативных систем с одной степенью свободы): сила линейного трения д(д) = — Ьд; (0.4) кулопова сила трения*) ст(д)= — Ь зсяпд; (0.5) сила нелинейно-вязкого трения, обычно аппроксимируемая зависимостью (т(д) = — Ь(д~" з!яп д (0.6) плп зависимостью д (д) = — Ьсд — Ьздз — Ьздз (0.7) В некоторых системах действуют силы смешанного характера.

Таковы, например, силы ()(д, 7), зависящие от координат и времени, которые нельзя представить в виде суммы позиционной силы и вынуждающей силы; зтп силы характерны для параметрических систем, о которых кратко было уже сказано выше. Смешанным характером обладают такясе силы с,С(д, д), зависящие от координат и скоростей и притом непредставимые в виде суммы позиционной силы и силы трения; иногда таите силы придают механической системе автоколебательные свойства. Прп составлеппи механической модели большое значение имеет разумное пренебреясение песущественнымп составляющими спл, а для учитываемых в аналкзе составляющих — правильная схематпзация пх свойств.

Так, «) Здось ичеотоя в виду вростейший яид закона кулояова трения, в котором ие учитывается разнице месяССу козффициептаии тренин покоя и трения движения. 2 Я. Г. Паповао Введкние при определении собственных частот механических систем в больгппнстве случаев допустимо пренебречь действием сил трения; ими можно пренебречь и при исследовании вынужденных колебаний в достаточном удалении от резонанса. Аналогично этому, если рассматриваются малые колебания, то часто можно пе учптывать нелинейность восстанавливающих сил.

Впрочем, подобные упрощения нужно делать осторожно, имея в виду, что, казалось бы, малые влияния иногда могут явиться причиной важных следствий принципиального характера. Так, даже весьма малые силы трения необходимо учитывать прн анализе затухания свободных колебаний, а танисе при определении резонансных илн околорезонансных амплитуд вынужденных колебаний.

Подобно этому нужно помнить, что даже малые параметрические силы могут вызвать весьма опасные колебании типа параметрического резонанса (ем, главу 111). 4, Понятие о фазовой плоскости. Обычное описание движения системы с одной степенью свободы в виде зависимости обобщенной координаты от времени о = о(~) ве является единственно возможным. В ряде случаев, особенно при изучении нелинейных механических колебаний, определенными достоинствами обладает представление движения на фазоеой плоскости. Состояние системы в любой фиксированный момент времени 1 определяется парой соответствующих значений д и о и может быть представлено изображающей (фазоеой) точной в плоской декартовой системе координат д, д, если откладывать по оси абсцисс обобщенную координату о, а по оси ординат — обобщенную скорость д. Такая плоскость называется фазоеой.

В процессе движения рассматриваемой системы величины о и д изменяются и соответственно меняется положение изображающей точки на фазовой плоскости. Геометрическое место изображающих точек для данного движения называется фазоеой траекторией. На рис. 0.9,а,б показаны фазовые траектории для случаев равномерного (а) и равноускоренного (6) движений материальной точки. Положение исходной изображающей точки ЛХе опре. деляется начальными условиями. Для построения фазовой траектории при заданном законе движения д(З) нужно путем дифференцирования образовать выражение скорости д(~), а затем исключить вввдннив время пз двух уравнений: о = д (с), ) = д (г).

(0.8) грункцня ч = ч(ч) (0.9) и описывает фазовую траекторию данного движения. Ипрочем, для построения фазовой траектории переход к явной функции (0.9) не обязателен; фазовую траекторию Рис. 0.9 можно стропть непосредственно по уравнениям (0.8), которые представляют уравнение фазовой траектории в параметрической форме. Фазовая плоскость особенно удобна для представления колебательных процессов, когда координата и скорость не выходят за известные пределы; поэтому вся картина движения даже в течение неограниченного времени занимает ограниченную часть фазовой плоскости.

Таковы, например, свободные гармонические колебания о = А з|п(й~+а), прячем угловая частота й, а также зависящие от начальных условий величины А и а известны. Для скорости имеем д = Ай сов(М+ о). (ОЛО) Исключив время из этих двух уравнений, получим уравнение фазовой траектории ь' (О.И) т. е. уравнение эллипса. В данном случае зся фаэовая плоскость заполнена бесконечным множеством вложенных друг в друга таких эллипсов с общим центром в начале координат и отлн2э ВВЕДЕНИЕ 20 чающихся друг от друга только параметром А (рис.

0.9, в). Направления движения изобража|ощих точек вдоль фазовых траекторий показаны на рисунках стрелкамн. Все фазовые траектории системы однотипны, а начальные условия фиксируют определенный выбор конкретной траекторяи. Совокупность фазовых траекторий описывает все возможные движения даяной системы и называется фазовой диаграллой (фазоаььп портретом) данной системы. Структура фазовой диаграммы наглядно характеризует качественные особенности возможных движений рассматриваемой системы. Следует иметь в виду, что фазовая диаграмма не только может служить иллюстрацией закона движения, после того как он найден путем интегрирования дифференциального уравнения задачи.

В принципе фазовая диаграмма может быть построена непосредственно, п о этому уравнению, без его решения в виде д= д(1). Так, для автономной системы, описываемой нелинейным дифференциальным уравнением д'+ й'д = Лд, д), (0.12) 'Й~ после замены д = д — получается уравнение лд лд 1(д, д) — ь'д лд д (0.13) которое определяет искомую связь между переменными д и д. В принципе решение этого дифференциального уравнения первого порядка имеет вид д=д(д, С), (0.14) где постоянная С определяется начальным условном у=аз прн д=до (до и до — начальные значения обобщенной координаты и обобщенной скорости). Каждому значению С соответствует определенная фазовая траектория, а совокупность таких траекторий образует фазовую диаграмму системы.