Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний, страница 2

0.1 (а — маятник, б — груз на пружине). Ко второму разделу относится изучеппо колебательных процессов, вызываемых н поддерживаемых вынуждающими сллами, т. е. сичамн, заданными в виде явных функций ВВЕДЕНИЕ времени и не зависящими от движения системы. Прпморамп могут служить те же системы — маитнпк п груз на пружине, но при действии вынуждающих сил Р(г) (г — время). В некоторых случаях вынужденные колебания возникают в розультате кинелатического возбдрадеиии, т.

с. дз1зрЯ д д тра~в ~1 лргт С',1 е Ряс. ОЛ заданного в виде явной функции времени принудительного движения какой-либо точки (каких-либо точек) механической системы. Такие случаи иллюстрированы рнс. 0.1,д, е; в схеме д колебания маятника вызываются заданным колебательньпи движением оси подвеса в горизонтальном направлении, а в схеме е колебания груза возникают вследствее заданного движения левого конца пружиня. При дальнейшем углублении в проблему механических колебаний можно обнаружить существование колебательных явлений иных типов, которые принципиально отличазотся от точько что названных.

Прежде всего отметим параметрические колебания, возникающие в системах, параметры которых (жесткость или масса) заданным образом периодически изменяются во времени, Примером параметрического возбуждения может служить маятник, ось подвеса которого совершает заданные колебания в вертикальном направлении (рис. 0.2,а). Если состояние относительного покоя будет каким-либо образом нарушено, то возникнут угловые то ВВЕДЕНИЕ колебанпя, причем в зависимости от сьчетанея парамотров системы указанные колебания могут быть как ограниченными, так и неограниченно возрастазозцямн во времени. В последнем случае говорят о параметрическом резонансе системьь И по физической сущности, п по математическому описанию эта задача принципиально отличается от задачи о вынужденных колебаниях маятника прн заданном горнзоптальном движении оси подвеса (рис.

ОЛ, д). Совер|пекно особое явление представляют автоеолсбания— незатухающие стационарные колсбання, поддерживаемые за счет энергии, которая подводвтся к сну гз стеме от источников неколебательа ного характера. Прп этом силы, Рас 02 подводимые к системе от источ- ников энергии, меняются во времени в зависимости от самого движения системы и прп отсутствии движения равны нулзо. Простой пример автоколебательнои системы показан на ркс. 0,2,б — маятник, который при каждом прохождеппи через положение равновесия кспытывает действие мгновенного импульса Я заданной величины и направленного в сторону скорости. Такие импульсы могут поддерживать незатухающие колебания маятника прп наличии трения в системе.

Здесь нужно подчсркпутгь что действующие на автоколебательную систему внеппше силы (в данном случае ударные) не являются вынуждающими силами в обычном смысле этого термена, так как оки не заданы в виде явных функций времени, а управляются с а м и м д в и ж е н и'е м. К колебательным такнсе относятся системы с переменнымп параметрами, если этп параметры заданы периодическими функциямп координат (а не времени). Иногда такие системы называют автопараеетричесеина. Физические различия между природой колебаний указанных четырех типов весьма глубоки; в достаточной мере специфичны и соответствующие математические методы исследования. Каждому пз этих типов колебаний ниже посвящена отдельная глава.

2. Составление механической модели; ограничение числа степеней свободы. Любая реальная механическая ВВЕДЕНИЕ система продставима в виде бесконечного числа материальных точек, массы которых бесконечно малы; так как связи между этими точками не язлшотся абсолютно жесткими, то число степеней свободы такой системы бесконечно велико. Точное решение аадач о колебаниях деформируемых систем удается получить в замкнутой формо липть в немногих, относительно простых случаях (например, задачи о свободных и вынужденных колебаниях упругих стержней постоянного сечения при равномерном распределении массы по длине стержня).

В обШем случае это сделать невозможно, и приходится упрощать расчетную модель, в частности путем уменьшения числа степеней свободы. Можно указать три основных способа образования конечномерных моделей. П е р в ы й с п о с о б состоит в том, что относительно менее массивные части системы полагаются вовсе литпеппыми массы и представляются в виде безынерционных эломентов (жестких пли деформируемых), а наиболее Л Рис. 0.3 жосткио части конструкции пршшмаются аа абсолэотно твердью тела; если размеры последних малы.

то их считают маторнальнымп точками. На рис. О.З,а — и показаны примеры образованных таким способом систем с одной степенью свободы. Следует обратить внимание на нх характерные особенности: упругие элементы, изображенные в виде прулшн на рпс. а, б, в, счнта|отся безмассовыми; то эке относится к упругим стержням на рис. г, д, э и жестким стержням 42 вввдвнив на рис. е, хе, и; в схемах на рис. б, е качение пе сопровождается скольжепивап в схеме на рис. г груз считается сосредоточенным (материальная точка). Здесь же, а также в схеме на рнс, д горнзонтальныв перемещения грузов считаются пренебрежимо малыми.

В качестве обобщенной координаты принято: на рис. а, б — горизонтальное перемещение, на рис. е, г, д — вертикальное перемещение, па рнс. е — и — угол поворота. На рис. 0.4 показаны образованные таким же образом спстемы, имеющие болев чем одну степень свободы. Конфигурация системы, показанной на рис. а, определяется гч хг .Ъя с гс гг е Рве.

0,4 перемещениями хп хг, хз поступательно движущихся грузов; зта система обладает тремя степенями свободы. То >ке относится и к системе на рпс. б, если считать грузы материальными точками (при учете конечных размеров грузов и инерции нх поворотов система на рис. б имеет шесть степеней свободы). Положение системы на рис. е определяется двумя обобщенными коордииатами— вертикальным перемещением центра масс груза р и углом вго поворота сг. Также две степени свободы имеет твердоо тело, показанное па рис, г; адвсь за обобщвнныв координаты принята вертикальная координата подвижной опоры н угол поворота тела вокруг втой опоры. В отличие от етого пз-за податливости горизонтальной опоры тело на рнс. д имеет три степени свободы.

Если масса вала в системе на рнс. е пренебрежимо мала, то система ВВЕДЕНИГ обладает двумя степенями свободы; в качестве обобщенных координат на рксупке показаны углы поворота мас- СИВНЫХ ДКСКОВ Ч'П (Р2. Согласно в т о р о м у с п о с о б у распределепные по всему объему системы свойства податливости локализуются в конечном числе точек (плп линий). При этом система представляется в виде совокупности упруго (ялн вязкоупруго) сочлененных жестких элементов. Например, упругая балка с непрерывно распределенной массой Рис 0.6 Рис, 0.5 (рис.

0.5,а) монсет быть приближенно ааменена цепочкой жестких звеньев, соединенных упругпми шарнирамп. При выборе числа шарниров следует исходить из требуомого уровня точности (см. Варианты замены па рис. 0.5, б, в) . Третий способ оспован на некоторых априорных предположениях об паменениях конфигурации системы в процессе колебаний.

Пусть для определенности речь идет о колебаниях показанной на рис. 0.4,а системы с тремя степенямп свободы. Согласно этому способу мо»кно принять, что отнотпения между перемещениями х~(С), л2(С), лз(2) неизменны во времени, а числовые значения таких отноптений (х2/х1= с«, л«/х~ = 'Р) заранее назначаются; рааумеется, это вносит элемент п р о и э в о л а в рошеяпе. В реаультате движение системы полностью описывается одной функцией времени, напркмер х1(1), через которую непосредственно выражаются перемещения всех точек системы; такая система имеет всего одну степень свободы.

Соответственно тому же способу, для двухопорной балки (рис. 0.5,а) принимается. что в любой момент процесса колебаний форма изогнутой осп остается непаменной и меняется лишь ее масштаб. Если ааранее аадать форму в виде «подходящей» координатной функции ((х), Ввкдение то прогибы осл балки будут описываться произведением у(х, «)=у(Г)((х), (ОЛ) в котором д(«) — функция времени, являющаяся единственной неизвестной задачи. Для иллюстрации ла рис.0.6 показана изогнутая ось балки в избранные моменты процесса колебаний ~«, 7« и ~з, все кривые име«от одну и ту «ке форму и различаются лигпь масштабом.

Таким обрааом, при фиксироваллом выборе функции 7'(х) выражение (0.1) определяет переход к системе с одной степенью свободы, причем д(~) представляет собой обобщенную координату. Эта идея приведения к системе с одной степенью свобол~ ды лежит в основе излагаомого ниже метода Рэяея (см. стр.

29 — 35). Точность ретпепия может быть повышена, если вместо (О.т) описать движение балки суммой произведений Уг г у (х, г) = ~ дг (7) ~, (х), (0.2) где 7,(х) — задаваемые координатные фуикуии, а,('«) — искомые функции вромели, играю«цие роль обобщеллых координат, э — сохраляемое в модоли число степеней свободы системы. О соображениях, которыми следует руководствоваться прн выборе координатных функций, будет сказано ниже. Одна п та же система может быть приведена к система с несколькими степенями свободы любым нз трех способов. В качестве пркмора на рис. 0.7, а — г показалы три варианта призодения для двухопорной балки с распределенной массой (рис.