Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний (1048764), страница 6
Текст из файла (страница 6)
7 ус а,ьгг гага г Рис. 1.4 Рис. 1 5 Пример 1,4 Найти методом Рэлея собственную частоту колебаний консольной балки постоянного поперечного сечекпя Тл/ = = сопзц считается также постолнпой пптенсианость ол ее массы (рис, 1.5). Примем сначала (а) что удовлетворлет кинематпческим граничным условиям па левом конце и одному из силовых условий на правом конце (сило- 35 5 1. системы вез тввнея вое условие 1"(О = 0 здесь нарушено!), Подставлви (а) в (1.26), вычисллем 4,47 ч/ Ех П качестве формы колебаний лучше нринить фунггциго 3 3 4 21 31 + 21з (б) котораи удовлетворяет всем граничным условиим задачи: !(6) = о, 1'(о) = о, 1" О) =- О, 1"'(1) = О. Подставив (6) в формулу (1,26), найдем 3 64 ГЕХ и ' что линн на 3,4 ей отличаетск от известного точного значения где йе = Гс"/а, описывает монотонное удаление системы от равновесного положения и свидетельствует о его неустойчивости. Знак коэффициента с зависит от параметров системы, т.
е. в некоторых случаях состояние равновесия может быть устойчивым илп неустойчивым в зависимости от комбинации значений этих параметров. 3* 3. Зависимость устойчивости равновесия от коэффициента жесткости. Во всех рассмотренных выше случаях речь игла о колебаниях около полотггспия заведомо устойчивого равновесия; формальным призпаном устойчивости служит положительность коэффициента жесткости с, равного значеншо второй производной П (О) потенциальной энергии в положении равновесия.
В реальных механических системах может оказаться, что с ( О. При с ( 0 основное дифференциальное уравнение (1 10) молгпо записать в виде ад — сед = О, (1.28) где с*=!с! — абсолготное значение обобщенного коэффициента жесткости. Решение уравнения (1.28) д = Л зЬ ()ге(+ а), гл., 1. своводпые колввлния Обращаясь к рассмотрению таких случаев, будем считать, что существует лишь один варьируемый параметр Я системы, при изменении которого может измениться знак коэффициента жесткости с =с(Я). Состояния равновесия устойчивы в той области значений Ю, в которой с(Я) > 0; при с(Я)(0 состояния равновесия неустойчивы (случаи «отрицательиой жесткостиз). Критические значения параметра Я являются корнями уравнения с(Я)=0.
(1.30) Пример 1.5. Длл симметричной системы, изображенной на рис, 1,6, введем обозначения: 6 — вес тела, 1 — момент инерции тела относительно оси шарнира, ез — суммарный коэффициент Рис. 1.7 Рис. 1.6 язесткости обеих пружин, Ь вЂ” высота расположения центра тяжести тела, 1 — высота расположения оси прузкив. Найти критическое значение коэффициента жесткости еа При малых значениях угла отклонения тела дифференциальное уравнение вращательного движения имеет внд 7ю+(г1 — ПЬ)р=с, Таким образом, в данном случае устойчивость равновесия определяется знаком разности е=ер — аЬ.
Критическое значение г,,р — — СЬ/П. Пример 1.6. Найти критическое значение силы Р для системы, изображенной па рнс, 1,7, а; весом верхнего стержня пренебречь. Коэффициент жесткости спиральной пружины, расположенной внизу стойки, равен г, (с, представляет собой упругий момент, соответствующий повороту стойки вокруг шарнира на угол, рав- 5 1, СИСТЕМЫ БЕЗ ТРЕНИЯ 37 пый единице), Обозначим: ! — высота стойки, Ь вЂ” длина верхнего стержня, Π— вес стойки, Силы, действующие па стойку, при ее отклонений ка малый угол ф, показаны па рис, ! 7, б.
Закищем дифференциальное уравнение вращательного движения стайки (для малых откловеиий) О!' " + г+ 2Р оу 3 Так как Ь з!и ф = )з!и 1р то яри малых углах ф и ф можно врипять ф = ф!(Ь. Таким образом, обобщенный коэффициент жесткости равен Отс1ода непосредственно видно, что критическое значение силы Р в соответствии с (!.30) определяется выражением При увеличении размера Ь критическое значение Рэа также увеличивается. Пример 1,7. Осповай изображенной на рис. 18, а системы служит жесткая рамка 1, враща1ощаяся с постоянной угловой скоростью ю вокруг вертикальной оси Горизонтальный стержень 2 и(!., и — 17)ыа Рис.
1,8 длиной 2В служит направляющей осью для кружипы У; один конец кружияы связан с рамкой, а к другому концу прикреплен груз 4 массы т, который может скользить без трения вдоль стержпя И Коэффициент ткесткости пружины равен сь а ее педеформироваппая длина равна !. Е!айти критическое значение угловой скорости, Положению отпосительпого равновесия груза соответствует растяжение кружипы па величиву гз, которая может быть ГЛ«1, СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ найдена из схемы сил, данной на рис, 1.8, 6, т, е, из соотношения 1а()+ гр — )г) ь = сосо. (а) Устойчивость этого состояния равновесия груза зависит от значений угловой скорости вращения системы, Вращение системы примем за переносное движение, тогда двиноение груза вдоль стержня будет являться относительным движением, Обозначив через г дополнительное удлинение пружины в произвольный момент процесса движения, запишем переносную силу инерции в виде т(1+ г,+ г — Н)ю', тогда дифференциальное уравнение относительного движения груза примет вид тг = — со(го + г) + т() + го + г — Н) соо, или, при учете (а) тг+ (со — лосос) г = О, Гледовательно, обобщенный коэффициент жесткости равен с = = со — лоооо, и критическое значение угловой скорости составляет ы«р — — Рсо)т.
Отметим, что оно не зависит от значений 1 в «, и совпадает со значением собственной частоты колебаний груза на пружине при отсутствии вращения. Я:Э Г«с сЛ При ю ) ю«р состояния относитезьно равновесйя груза неустойчивы, П р и м е р 1,8. Покааанная на рис. 1.9, а система представляет собой маятник и состоит из стержня 1 с горизонтальной осью подвоза 3 сс 1 и груза 3. Горизонтальная ось маятника равномерно вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной оси, совпадающей с равновесным положением оси 3 стержня. Найти критическое эначе- 0 б т ние угловой скорости. Введем следующие обозначения: Рис.
1.9 1 — длина стержня, т — масса гру- за, ор — малый угол отклонения стеряоня от вертикали (рис, 1,9, б), В дифференциальное уравнение от нос и те льно г'о движения маятника нужно ввести момент силы тяжести и момент переносной силы инерции: — тр1ср+ тюоР~р = т1оор. (Кориолисова сила инерции параллельна оси подвеса и в уравнение моментов не входит.) Таким образом, мы приходим к уравнению ~р+ ( ) — со~) ор = О, из которого непосредственно видно, что критическая угловая скорость не зависит от массы груза и равна ю«р = рр)й 39 З С СИСТЕМЫ ВЕЗ ТРЕНИЯ При а ( от„р система устойчива,причем частота свободиыл колебаний определяетсл формулой ~кр При от > мнр состояние относительного равновесия неустойчиво, В рассмотренных простых примерах по существу не было необходимости в составлении дифференциальных уравнений движения, так как для суждения об устойчивости и для определения критического значения параметра было достаточно построить выражение с(Я).
Однако для систем с несколькими степенями свободы — даже находящихся под действием только позиционных сил — исследование устойчивости требует предварительного составления дифференциальных уравнений движения (см, гл. 1У). Устойчивость состояний равновесия удобно исследовать также с помощью фазовых диаграмм. Отметим, что их можно построить и не решая заданное дифференциальное уравнение движения, т.
е. не разыскивая закон движения д = д(1) в явной форме. 'Ее С помощью замены д =- д — из (1.12) получается Ед дифференциальное уравнение фааовых траекторий (1.31) После интегрирования мы вновь придем к уравнению (0.11) и к семейству эллипсов, показанному на рис. 0.9, в. Если с(0, то после замены й', = — с/а получим вместо (1.31) дифференциальное уравнение фазовых траекторий ьт Йт Его решение имеет вид Фазовые траектории для этого случая показаны на рис. 1,10.
Они состоят из семейства гипербол и четырех полупрямых, являющихся асимптотами этих гипербол. ГЛ. Х СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 40 з 2. Системы с одной степенью свободы при наличии линейной восстанавливающей силы и трении $. Линейное трение. Для изучения свободных колебаний системы с одной степенью свободы при наличии линейного трения будем исходить из уравнения Лагранжа д»дТ'1 дТ дП вЂ” — — — = — — +0* д» 1д' ! дч дг (2Л) в котором ч»и — обобщенная сила линейного трения. Для ее определения примем, что на каждую точку системы действует сила линейного трения м» = — р»ч»» (2.2) где р» — коэффициент трения.
Вспомнив основное выра- жение обобщенной силы и дт» Й~ »д » 1 Заданное возмущение состояния равновесия определяет начальное положение изображающей точки, С течением времени эта точка будет монотонно удаляться от начала вдоль соответствующей криволинейной фазовой траектории: это означает монотонный уход системы от состояния равновесия. Исключение составляют изображающие точки, лежащие на прямой») = — Т»ид; если в начальный момент задано такое возмущение, что»1(0)= = — йи»Т(0), то система будет стремиться к состоянию равновесия. Но это не может Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
