Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний, страница 4

В некоторых случаях дифференциальное уравнение (0.13) удается решить апалптпчоски в замкнутой форме; в частности, к квадратурам приводится случай, когда выражение 1(д, д) не содержит д, и переменные в (0.13) разделяются. В общем случае для интегрирования урав- вввдкник 2т непня (ОЛЗ) нузкно обращаться к ЭВМ, (В свое время были предложены различные специальные пряемы графического интегрирования названного уравнения; теперь этими приемами практически пе пользуются.) В состояниях равновесия равны пулю обобщенная скорость (знаменатель правой части уравнения (0.13)) и обобщенное ускорение (числитель правой части уравнения (0.13)).

Таккм образом, в точках фазовой плоскости, соответствующих состояниям равновесия, производная Пд/Пд не определена н вместе с этим не определено направлеяие касательной к фазовой траектории. Такие точки называются особыли точками дифференциального уравнения.

В качественной теории дифференциальных уравнений устанавливается, что через любую особую точку проходит либо больше чем одна фазовая траектория, либо не проходит ви одной. Например, как мы видели на рис. 0.9, в, через особую точку в начале координат не проходит ни одна пз фазовых траекторий (такая точка называется особой точкой типа «центр»; никее будут рассмотрены особые точки других типов). Через всякую регуляриую точку фазовой плоскости (т. е. не особую точку) проходит одна и только одна фазовая траектория. Изображающие точки, лежащие в верхней полуплоскости, определяют состояния системы с поло"кительными значениями обобщенной скорости, т.

е. состояния, которым соответствует возрастание обобщенной координаты, поэтому такая изображающая точка движется вдоль фазовой траектории слева направо. Соответственно, изображающая точка, находящаяся в нижней полуплоскости, движется вдоль фазовой траектории справа налево. Отсюда также следует, что касательная к фазовой траекторип в точках пересечения траектории с осью с перпендикулярна этой осп.

Глава 1 СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ й 1. Линейные системы с одной степенью свободы при отсутствии трения 1. Основное дифференциальное уравнение и его решение. Изучение свободных колебаний представляет определенный интерес в связи с практическими задачами о движении механической системы после какого-либо возмущения ее состояния равновесия. Однако не только этим определяется важность темы, которой посвящена настоящая глава.

Дело в том, что характеристики свободных колебаний (собственные частоты и собственные формы) полностью определяют индивидуальные динамические свойства механической системы и имеют первостепенное значение также при анализе ее вынужденпых колебаний. Рассмотрим в общем виде консервативную механическую систему с одной степенью свободы, для которой уравнение Лагранжа имеет известную пз курса теоретической механики форму: 11.1) Здесь < — время, д — обобщенная координата, д — обобщенная скорость, Т вЂ” кинетическая энергия, П вЂ” потенциальная энергия.

Прежде всего образуем выражение кинетической энергии: $%< 1 1~ Т= —. „т<о< = — л т<г то 2 4а~ 2 <и< <=1 <=1 (1.2) где т, — масса <-й материальной точки, т, — скорость этой точки. Если г< — радиус-вектор <-й материальной точки ГЛ. Ь СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ этом значение а определится как коэффициент в выражении (1.4). Обратимся теперь к определению потенциальной энергии П, которая представляет собой функцию обобщевной коордипаты д: П = П(у). (1.5) Если, как это чаще всего бывает, потенциальная энергия обладает свойствами непрерывности и дифференцируемости, то ее можно разложить в ряд Маклорена в окрестности значения у= 0: П=П(0)+П (0)у+",'" д'+ ..., (1.6) где, как и выше, штрихи обозначают дифференцирование по обобщенной координате д.

Постоянному первому члену этого разложения может быть приписано любое звачение, так как потенциальная энергия определяется с точностью до произвольного постоянпого слагаемого. Поэтому удобно положить П(0)=0. Далее нужво вспомнить соотношение П'= — ~, (1.7) П едз 2 (1.8) где постоянная с = П" (О) (1.9) называется обобщенным коэффициентом жесткости или кеазиупругим кооффициеятом. Знак постояняой е зависит от устойчивости положения равновесия, от которого ведется отсчет координатй д. Согласно теореме Лагранжа — Дирихле потенциальная энергия консервативной системы в положении устойчивого равновесия имеет минимум, т.

е. П"(О) > О. Отсюда следует, что е ) 0 вблизи устойчивого положевия равновесия. определяющее связь потенциальной энергии с обобщенной силой ~. Так как в положении равновесия обобщенная сила равна нулю, то при отсчете координаты д от полонеения равновесия системы производная П'(0) обращается в нуль; при этом разложение (1.6) начнется с члена, содержащего вторую степень координаты д.

Считая перемещепия д малыми, мы сохраним в разложении (1.6) только упомяяутый член, так что окончательно получим Ф С СИСТЕМЫ БЕЭ ТРЕНИЯ 25 ад+ сд = О. (1АО) Иногда, в зависимости от вида механической системы, может оказаться более удобным пе метод Лаграпжа, а какой-либо иной путь составления дифференциального уравнения задачи; разумеется, что пезависимо от выбранного способа для рассматриваемых здесь линейных систем с одной стекенью свободы без трения окончательное дифференциальное уравнение запишется в виде (1А0). Введем обозначение (1А1) тогда вместо (1.10) получим д+й'д=о.

(1.12) Общее решение этого уравнения имеет вид д = С1 з1п М+ Сз сов И, (1.13) причем постоянные С1 и Сг определяются через началь- ные условия д(0)=- де и д(0) = дэ в виде ~о Окончательно имеем д = — — з1' и И + д соз И. Ро ь (1.14) Иногда пользузотся иной формой записи: д= А з1п(И+и), (1.15) Для определения обобщенного коэффициента жесткости с в каждом конкретном случае достаточно построить выражение потенциальной энергии в виде квадратичной функции обобщенной координаты д, пркчем отсчет координаты д следует вести от положения равновесия и принять, что этому положению соответствует нулевое значение потевциальной энергии.

Если окажется, что с с 0, то это будет означать неустойчивость соответствующего положения равновесия. Подставив в уравпение Лаграпжа (1.1) выражепия (1.4) и (1.8) для кинетической и потенциальвой энергии, получим основное дифференциальиое уравнение задачи о свободных колебаниях: ГЛ, 1. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБЯЛ!ИЯ 1'ДЕ А= )т ~ — ~ +д„, а =-агс1д —.о. (1.16) во Из выражения (1.15) видно, что двиятение представляет собой незатухагощие гармонические колебания с амплитудой А и угловой частотой й (рис. 1.1). Подчеркнем, что 7= и-и амплитуда колебаний опрей деляется начальными условнямп по первой формуле (1.16), а угловая частота ч колебаний зависит только от в параметров системы (см.

1 формулу (1.11) ) и не завпскт от начальных условий; по этому признаку величина й называется собственной чаРис, 1.1 охотой системы. Собственная частота представляет собой число свооодных колебаний за 2я единиц времени. Период свободных колебаний, т. е. длптельность одного полного цикла колебаний, определяется формулой Т = 2я '1/ —. (1.17) П р и м е р 1,1 Определить собственную частоту системгя (рис, 1.2), состоящей из упруго закреплеипой горизовтальво расположенной рейки А, которая лежит иа упруго эакреплеввом од.

вородвом цилиндре В и катке С. Считать, что трение между рейкой и цилиндром исключает возможность просвальзывавик рейки ~ММгг Рис, 1.2 по цилиндру, Обоэвачевия: го~ — масса рейки, жэ — масса цилиндра, щ — коэффициент нгесткостп гориэоптальвои пруживы, с„— коэффициевт жесткости вертиьавьпой пружины, г — ралиэс сечеиия цилиндра, 1 — расстояние от оси цилиндра до точки крепле- й Г. СИСТЕМЫ БРЗ ТРЕНИЯ 27 пия вертикальной пружины. Массами пружин и катка С яренебречь. Примем за обобщенную координату горизонтальное перемещение какой-либо точки рейки; так как рейка движется поступательно то выбор этой точки безразличен, Отсчет координаты х будем вести от положения равновесии, когда обе пругггииы не деформированы При перемещепии рейки, равном х, цилиядр поворачивается па угол гр = х!с Кинетическая эиергия системы равна 1, 1 Т= — згх+ — Т р; 2 г 2 з подставив сюда Тг = жиз)2, ср = х/г, получим Т= — т„х + — лг х = — ~т + — тз) х . 2 г 4 з 2~ г 2 з~ Отсюда непосредствепво видно, что инерционный коэффициент в д»яком случае равен 1+ 2 2' Потеицлэльяая энергия определяется деформациями обеих пруягшк Таким образом, коэффициент жесткости системы равен (з с=с + — зс.