Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний, страница 5

з' Теперь по формуле (1.11) находим собственную частоту: / с+ зс lг = г+2 з Пример 1.2. Определить движевие системы, возпикагощее после однократного вертикального удара по грузу, который связан с безмассовой гкесткой упруго закреплеяпой балкои (рис, 1 3, з). Обозначения: 21 — длина балки, т — масса груза, сз — коэффициепт жесткости пружины, я — величипа приложенного к грузу мгновенного ударного импульса, Прежде всего папдеп положение равновесии (рис, 1.3, б), Пусть в этом положении угол отклоиепия первоначальво горизоптальпой балки равен~у„: тогда малая статическая осадка пруя<ииьг определяется выраягением 1у„, Ка балку действуют следующие силы: вес гРУза тр, РеакЦиЯ пРУжины саЩ„, РеакЦиЯ шаРниРной опоры.

Для определепии угла ~р» составим уравнение момеитов гл т, своподнык нолввлння относительно центра шарнирной опоры: 2жу( — с (з<р = О. (а) Отсюда находим 2лор с(' о Теперь перейдем к анализу дзик1ештя и обозначим через у угол дополнительного отклонения при дзинзении системы после 1' удара. Тогда полный угол отклонения равен (рь + Ф, и полная реакция пружины составляет со( Орз + 7). Составим дифферевцилэ альное уравнение вращательного двшкения жесткой системы балка — груз: а 2щд( — со( (Та+7) = Н = 4т)з — Ор + ~у), сИ гяа ~ где впв(т — момент инерции системы.

Если раскрыть скобки в левой части этол Р~ то уравнения, то сумма первых двух членов согласРис. 1.3 по (а) окажется равной ну- лю и мы получим дифференциальное уравпешзе для координаты ю, отсчитываемой от положения равновесия: (б) баир + со<р = О Теперь легко заметить, что предварительное определение равновесного поло:кения оказалось, в сущности, л и ш н е й о и е р ацпе й. Можно было поступить проще: заранее опустить из рассмотрения силы, действующие в спстеме, когда она находится в положеп1ш равновесия, и включить в дифферепциалытое уравнение двшконня толы;о момент дополнительной реакции сз(~р (этот момеп1 равен — с„яю); при этом сразу получится уравнение (б).

Обычно именно тав п поступают в подобных случаях. Сопоставляя уравнение (б) с основным уравнением (1,10), видим, что инерционный нозффпцкеят и коэффициент ягестьости соответственно равны а = 4т, с = сь Теперь по формуле (1,11) находим собственную частоту: — 2 1т Перейдем к формулировке яачальпых условий, соответствующих движеншо после приложения ударного импульса Я. В момент, непосредственно следующий за ударом, положение балки остается 29 $ ь системы ниэ тгнния неизменным, следовательно, фе = О Скорость груза получает мгновенное приращение фр1, определяемое из теоремы об изменении количества движения: 2тфе1 — О = Я. Следовательво, начальные условия ииеют вид Я фо О фе 2т1 ' Согласно решеяшо (114) движение описывается выражением Я ф =- 2тз1 еш ЛЦ причем наибольшее отклонение от полон ения равповесия равно Я Я фятх= 2тв1 т/с т1 ">, сот а вышюппое ударом наибольшее усилие в пру'кппе .у 'е с ф 1=5~~ 2.

Метод Рэлея. Во введении был пояснен приближенный способ приведения к спстоме с одной степенью свободы, основанный па априорных соображениях о конфигурации системы при ее колебаниях. После такого приведения нужно образовать соответствующие выраясепня для потенциальной и кинетической энергии и тем самым установить значения коэффицяента жесткости с и инерционного коэффициента а.

После этого гп> формуле (1.11) вычисляется собственная частота. Ролей доказал теорему, согласно которой вычисленный указанным способом результат всегда приводит к преу в е л и ч е н н о м у значению собственной частоты. Пусть, например, для систеиы па рис 0.4, е дано: массы всех трех тел одинаковы и равны >и, коэффициенты жесткости всех пружин также одинаковы в равны сь Следуя методу Рзлея, примеи хг = ахь х, = рхь где а и р — некоторые разумно выбранные числа, Кинетическая эяертия системы выражается через единственную обобщенную скорость х: 1 ° 1 ° 1 Т= — тхе + —.

тхз + — тхт = — тхе (1 с ае -с р~) 2 х 2 з 2 з 2 ГЛ, Г. СВОБОДНЫЕ КОЛЕВАНИЯ а потенциальная энергия спстемы — через едннственпуго обобщенную коордпнвту зк 1 П= — н с г + с с (х — з ) + —.с (г — з) = Н с,*', (1+ (а — 1) + (р — аГ). Следовательно, коэффвцпенты уравнения (1ДЗ) в данном случае равны о = т(1+ а'+ рт); с = ср(1+ [а — 1)Р+(р — а)') к собственная частота определяется выражением: с се т уР 1+ (а — 1) + ((3 — а) а лг ()с 1+ аз+ «)з у: °,/ Конечно, этот результзт зависят от выбранных значений а н б, Если рассмвтрпззть частоту кзн функцию а и р, то согласно упо- мянутой теорерге 1'елея мкпнмум этой функции определяет истин- ное значение искомой частоты; по этому поводу см пнже более простой пример 1,3, Останонпмся на случае свободных иггибных яолвбаиий балоке).

Прогиб у любой точки осп балки с абсциссой х меняется во времени, т. е. у=у(х, «). (1.18) Согласно основной идее метода Рэлея примем у = д(«) «(х), (1.19) где 1(х) — заранее назначаемая функция координаты х, характеризующая форму изогнутой осн балки прн колебаниях, д(«) — некоторая, пока неизвестная, функция времени.

Так как функция «(х) задается более или менее произвольно, то результат решения задачи окажется, как правило, приближенным (если случайно в качестве «(х) будет принята истинная форма оси балки при колебаниях, то результат окангется точным). Форму оси следует выбирать с учетом заданного способа закрепления балки, которым определяются граничные условия для функции «(х). Различаются иинематичвсвив н силовььв граничные условия. Рассмотрим зти условия в частных случаях, обозначив через хе абсцпссу рассматриваемого конца балки.

*) Предползгаетсл, что читатель изучал сопротнвленне материалов н знаком с теорнен нзгноз балок прн статических нагрузках, $ с систвмы Без тРения На жестко заделанном конце балки невозможны прогиб п поворот, т. е. у ( ., 1) = О, — Р ( „~) = О. Этп равенства должны удовлетворяться в любой момент вроменп, что будет иметь место, если входящая в (1.10) функция /(х) удовлетворяет условиям /(те) == О, /'(ха) = О. (1.20) Здось штрихом обозначена операция дифференцирования но координате х. Оба условия (1.20) — гшиеъгатические, т.

е. относятся к перемещениям концевого сечения. Если конеЦх —.— хе шаРниРно опеРт, то на этом конце должны тождественно равняться нулю и прогиб и изгибающий момент е) р (х, ~) =- О, — е (ха, ~) =- О. Отсюда следугот граничные условия для функции /(х): /(ха) = О, /" (ха) = О. (1.21) Первое из этих условпй — кпиематпческое, второе условие — силовое. Наконец, на свободном конце х = — хе должны равняться нулю изгибающий момент и поперечная сила, т. е. Ъ( . ') =о — ".( * ) =о. дт ' дт При этом должны удовлетворяться два силовых граниных условия: /" (х,) = О, /" (х ) = О.

(1.22) Далее будем нолагатго что функция /(х) вьгбрана с учетом тех или иных заданных граничных условий; обратимся к определепиго кинетической и потенциальной энергии. *) Здесь необходимо есяомвить соотношения теории совротивлеиия материалов: М = ЕУ вЂ” т О = Ы вЂ” е, где М вЂ” иагибаюдх дла щий момент, Π— воверечвая сила, ЕХ вЂ жесткос сечепия ври изгибе.

ГЛ., 1. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ Скорость поперечного движения любой точки оси балки определяется выражением — „= д(1) 1(х). д — т(х) дх ( — = — т (х) у'(1) /'(х) Ых. Здесь т (х) —. интенсивность распределенной массы, т (х) ах — масса расматрпваемого элемента. Интегрируя по всей длине 1, находим полную кинетическую эперьтпо балки Т = —, ~т(х)1о(х) о(х. о (1.23) Сравнивая полученный результат с общим выражением (1.4) для кинетической энергии, приходим к заключению, что входящий в (1.23) интеграл представляет собой ипер- цпонньш коэффициент: а = ~ т (х) (о (х) о(х.

о (1.24) Для определения потенциальной энергии нужно исходить из выражения п= -', (ок (о',) о*, о которое устанавливается в курсе сопротивления материалов. Подставляя сюда до —., = а (1) 1'(х), находим и= — ','" ~ЫГ(.)) ~. о Из сравнения этого результата с выражением (1.8) сле- Соответственно кинетическая энергия бесконечно малого элемента длиной ах равна Ф Ь СИСТЕМЫ ВЕЗ ТРЕНИЯ 33 дует, что коэффициент жесткости определяется формулой с =- ) ЕХ (("(х))одх. о (1.25) После определения коэффициентов а и с по формулам (1.24) и (1.25) собственная частота находится согласно (1.11) в виде о ) т (х) 1 (х) Ых о (1.26) / 1 ЕР (*) [1'( ))'д о о 1 ( ) го ( ) лх о (1.27) где г'(х) — площадь сечепия стержня. Пример 1.3. Двухмассовая система (рис, 14, а) определяется следующими параметрами: т, = тт = т, с1 — — со со.

3 я г. паяовао Можно доказать, что если функция 1(х) удовлетворяет заданным кииематическим граничным условиям, то приближенный результат (1.26) всегда больше истинного зпачепия низшей собствеппой частоты балки. Метод Рэлея может быть использован для приближекного определения низшей собственной частоты любой системы с распределенными параметрами — пе только балок, совершающих изгибиые колебапия, по и стержпей при их продольных или крутильпых колебаниях, а также — с соответствующей модификацией — рампых конструкций, пластин и оболочек.

Так, например, в случае продольных колебаний стержпя аналогично сказанному припимается, что продольные перемещения и(х, 1) описываются тем же произведепием (1.19). При этом граничными условиями будут: па свободном конце ('(хо) = О, иа закреплеппом конце 1'(хо) = О. При помощи прежних рассуждепий можно получить собственную частоту в виде ГЛ„1. СНОВОДНЫЕ КОЛЕБАЕП1Я Найти собственную частоту по методу Рзлвя, приняв х, = ах, 1а — постояннап), и исследовать, как влияет выбор значения а е пределах 0 —: 3 на вычисляемое значение собственной частоты, В данном случае имеем Т = 2 тхз + 2 (ах ) = 2 тхл гг1+ а ); 1 П = — с хз -)- — с (ах — т )з = — с хт (а~ — 2а + 2).

2 от 2 ол л л) 2 о! Следовательно, с = т(1+ ал), с = сл(аг — 2а+ 2) и собственная частота равна Г 2 Зависимость коэффициента т от значений а (а > О) показана на рис, 1.4, б. Как указывалось выше, при произвольном выборе а вычисленное значение окажетсл выше истинного; точный результат т = 0,618 (см, ниже пример 4.3) соответствует точке минимума кривой на рис, 1.4, б, где а = 1,618 Из графика, между прочим, видно, что а зоне минимума значения а довольно слабо влияют на величину т. Поэтому кз-за произвола, допускаемого при выборе значения и, обычно пе возппкают болыпие ошибки в определении собственной частоты, Как правило, то жо относится и к другим механическим системам — в этом и состоит практическая цеппость метода Рэлея.