Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний, страница 10

Следовательно, П= —,'с [~'1~ «.~ Разлагая полученпое выражение в ряд и удерживая один первый член разложения, находим сх П= —; э 2 31 4 3. НЕЛИНКЙНАЯ ВОССТАНАВЛИВАЮЩАЯ СИЛА 83 отсюда следует, что характеристика восстанавливающей силы ч исто кубическая: дП ох Р(х) = — = Полученное выражение соответствует зависимости (3 7), в которой нужно положить () = са/(2(о), п = 2. Тенерь по формуле (3,8) и таблице значений со(и) находим искомую частоту свободных колебаний диска: сс со А /со А /с = 0,8472 1/с — — = 0,489( 1/с П р и м е р 3 2, Найти способом поэтапного интегрированна связь между амплитудой н частотой свободных колебаний свстемы с зазором (рис 3.2, б), Симметричная кусочно-линейная характеристика системы определяется уравнениями Р(х) = с,(х+ А,), х < — Ао, г(х) =О, — Ло <а <Ло, Р(х) = оа(х — Аа), х > Ао. На первом участке при х) А, дифференциальное уравнение дзнжепвя имеет вид х + а (х — Ао) = О, н его общим репгением служит выраисепие х = Сс з(н /сот + Со соз йоЗ + Ль в котором 1с, )сс,/т (си — масса груза), Постоянные С, и С, определяются из начальных условий х(0) = А, х(0) = 0 п равны Таким образом, Сс = О, Со = Л вЂ” Ао.

х = А соз /сот+ ло(( — соз йас), й = — (А — Ло) 1са юп /саа Время ц прохоскдепвя первого участка найдем пз условия, что прн 1 = ц должно быть х = Ло. и о тх = О, 3 я Г. Гьнсооко При этом скорость в конце первого этапа равна хцо = — (.4 — Ао) йа, Свободное движение на втором участке описывается дифференциальным уравнением 66 гл т своводныг колквлпия имеющим решение х = /Зг 4- /тгь Соаагещагг поаое начало отсчета времеви с гжмептгог перегона системы с первого участка па второй, определяем постоянные /д, и /тг из условий, что х = Аа, х = — (А — Аа)/га прп г = О. Отсюда следует Ог = — (А — Аа)/аа, Вг =Ам так что на втором этапе движения ,т = Аа — (А — Аа)/ааа Теперь найдем арена, пеобгходимое для перехода системы пз положения, характеризуемого координатой хм, н положение, соответстаугощее координате х = О: А а (А — Ао) /го Таким образом, частота свободных колебаний равна 2п йо '+ н (А/А а) 3.

Приближенные способы. Из-за громоздкости интегралов, входящих в точную формулу (3.6), для определения частоты свободных колебаний часто пользуются приближенными способами. Конечно, их ценность несколько упала ш-за возможностеи, которые, ныне предоставляют современные ЭВМ; однако эти способы до сих пор остаются весьма полезным средством для выявления общего характера зависимости частоты колебаний от их амплитуды, а также для прихидочных расчетов. Рассмотрим несколько приближенных способов применительно к случаю симметричной характеристики г'(г/). Отметим, что не~которые из них разработаны для значительно более широкого круга задач, чем рассматриваемые в атом параграфе, и будут неоднократно встречаться в последующем изложении. Простейший способ.

Наиболее прост, хотя не всегда достаточно точен, следующий прием. Примем, что колебания н нелинейной системе с симметричной характерпстят<ой опясываются законом д = А з(п(й/+ со), (ЗА1) подобно тому как это происходит в лпнейпгнх системах. Выражение (3.11) являетсн точным решением только 5 3 нилиннйпАЯ ВОсстАнАВлиВАюЩАЯ силА бт тогда, когда характеристика Р(д) лииейна. В общем случае подстановка (3.11) в дифференциальное уравнение (3.1) не обращает его В тождество. Отметим, что в моменты, прохождения через положеппе равновесия уравнение (3.1) удовлетворяется выражением (3.11), и потребуем, кроме того, чтобы уравнение (3.1) удовлетворялось также в те моменты, когда обобщенная координата д достигает максимума, т.

е. равна А. При этом обобщенное уокорение д также максимально по модулю: Следовательно, в указанные моменты должно выполняться равенство — аАйх+ Г(А) = О, т. е. (3.12) Последнее выражение позволяет легко получить,достаточно правильное общее представление о связи частоты Й с амплитудой А.

Так, если нелинейная характеристика имеет вид (3.7), то по формуле (3.12) найдем для частоты выражение аА Р а которое содержит верную степень амплитуды (см. точное решение (3.8)), но лишь приближенно определяет значение коэффициента:при А" ', если, например, п = 2, то по формуле (3.8) найдем й = 0,8472 ь' — А, а по приз Г7р ближепной формуле (ошибка составляет 18%). Способ прямой линеаризации. Способ основан на непосредственной (прямой) замене нелинейной характеристики Р(д) некоторым эквивалентным линейным выражением. Так, при симметричной характеристике вместо Г(д) принимается (ЗАЗ) р (Ч)=од где с — коэффициент лннеаризацни, значение которого подбирается из следу|ощих соображений.

Уклонение за- 5* гл. 1 свогодпыг колквлкия меняющей характеристики (ЗАЗ) от заменяемой характеристики Г(у) зависит ог коордииаты д (рис. 3.5): т(д) = Г(д) — сд. В задачах о колобаниях, очевидпо, более существепны уклопоппя г при больших зиаченпях коордипаты д; поэтому в выраясепии иятегральпого уклонения естественио «усилить» роль разпостей т при больших впачеяиях координаты д.

Примем за меру уклопекия произведение гу =(Р(д) — сд]д и рассмотрим шмееральное квадратическое уклонение А 3=,1 (Ч)'Ф вЂ” А Рис, 35 которое, очевидно, зависит от вьгбора пара~метра с. Для миппмизации этого укловения воспользуемся условием д =о, (ЗЛ4) из которого и может быть найдено минимизирующее зпачеяпе с.

После етого задачу можно считать, в сущности, решевпой, так как она приведена и лияейному уравпепию. Итак, задача сводится ж минимизации иигограла 3= ~ ((Р(у) — у)И'Ф -А т. е. к определению минимизирующего зкачепия с. Выполипв операции, указанные в (ЗА4) и (ЗА5), получим А А ~ )т(о)овло 5 ( к(о) озл (3 (б) -А о Так, папрвмер, при характеристике (3.7) паходим е — — ) ()де дд = — РАт. 5 Г 5 ) 7 в г пклипкнпля восстлплвлпвлюгцля силл Соответственно для частоты получится й = 0,84<32 1/ — А.

Ч а г (Л вш(И+ а)] = Ь<(Л)е)п(И+ а), (ЗЛ7) где Ь< — козффпциспт Фурье, опредсляемый выражением Ь, = — ~ Г(Лв(п<р)в(п<]«1<р, <]> — И+ с<. (3.18) .< о 11одстаповка выражений (3.11) и (3.18) в уравнение (ЗЛ) приводит к соогпошонню — аЛаг+ Ь<(Л)=-О, нз которого следует первое прпблпя<енпе лля квадрата частоты: Ь' = Ь, (А) аА (3Л9) Пусть, например, функция г(д) определяется выраженном (3.7). Тогда по формуле (3.18) находим гл Ь, =- — ] ])Агя«г<уг)~<Р«ф = — — ()Лг, о Посрс<ппость стого розультата сосгавлнсг всего 0,23 о~о. Идею минимизации интегрального квадратического уклонения можно распространить и на случай поспмметричпых характеристик. <<Хетод гармонического балапса.

Этот приближенный метод является одним нз наиболее распространенных при рсшоппи многих пелппевных задач тоорпп колеоаппй. Применительно к рассматриваемому здесь дифференциальному уравпо<ппо (ЗА), когда Г(1) = — г'( — а), его простошппй вариант состоит в следуппцом. Как к выше, примем решение етого уравнения в виде (3.11) и подставим его в левую часть дифференциального уравнения (3.1). Второе слагаемое Е[Л гйп(И+ а)] является периодической фуш<цпей периода 2л«(с, и его можно разложить в ряд Фурье.

Сохранив в згом разлояшппп окпп порсый члсп, п<риблнжспно ямоем Гл ! своводкыг !гопгвлпия т. е. во == 0,75 — А"-, !о = 0,8660 )тà — А с о!пивной 2,2 %, Метод л!едлеяно меня!ощигея амплитуд. Для того чтобы применить н рассматриваомой задаче изложенный выше метод медленно моняюгцихся амплитуд (см. стр. 50), нужно прежде всего выделить из заданнои функция г(д) линейную часть сд (если функция Г(д) чисто нели пенная, т. о.

пе содеряопт линейного слагаемого, то !!от<!д в принципе пео!Рнменпм) и представить дифференциальное уравнеоше (3.1) в виде (2.32), положив р(у, у) = — "'("+ йову (3. 20) здесь йо= е/а — аовадрат собственной частоты липгаризо( 2 ваши!и спггомы). Далее образу!отея выра!кения (2.42): Ф (А) — — ~ ~ — ( ') + ) оА соч ор1 ьбп ф й~, (3 21) о ов Ч'(А) = ~~ — ' -( )ооАсозор~созф!(ор. (3.22) о Рассматривая выра!кение (3.21), можно заметить, что под знаком интеграла поремножаются четная п нечетная функции угла фд в заданном яреме!кунка шггегрврованпя ети функции ортогональны, так что Ф(Л)=0.

Ого!ода, согласно первому уравнению (2.41), следует А =О, нлп А = сонз1 — результат, который можно было предвидоть для рассматриваемой задачи о свободных нолебанпях консервативной системы. После того, как будет вычислоно значопие Ч'(А), но второму выражению (2.41) образуется величина ф. Вал!- но отметить, что зта величина постоянная, так что ор = ф1+ фо и аргумент в решении (2.34) принимает вид о(! = йо1 — ор =(!оо — ф)1 — (рю 6 3, инлипнйнАЯ ВосстлнлиливлюШля силл 71 Таким образом, частота свооодных колебаний заданной нелинейной системы определяется выражением й =- й„— р =- ).Π— —.

Ч' (А) (3.23) а (а) где )с~ = с)т. Для вычисления по способу прямой липеариззции пужяо воспользоваться формулой (3.16), разделив область иатегрироваиия Л Лс лис !Л) ф) 3 !. ДЗ Д йб )(6 ! =))й 1'ис. 3 6 при х ) О па два участка 1!а первом участке (О ( х ( Ас) с (з) = — О и иптогрпровавие дает нуль. Позгому 5 з ( б'1о .4е 1 с= —. с (з — А)с !(с=с 1 — — +— о а е! АА б(ь)' Л„ (б) На рпс, 3.6 показзпь! зависимости (с) п (б), а также пайдевпьш в примере 3.2 результат точного решопия.