Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний, страница 14

11о этой прпчипо эксперпментальпая запись (виброграмма, осцпллограмма) реального процесса свободных колебания, как правкло, не представляет собой синусоиду, характернузо для процесса свободных колебаний системы с одной степенью слободы. Однако при специальном выборе начальных условий моясно добиться того, что дяплсонпе будет описываться только какой-лпбо одной, например г-й, составляющей: д,=АР В(п()с„(+ ос,) (1= 4, 2, ..., в). (Аг.70) В этом случае отношения мезкду обобщенными координатами будут оставаться неизменными во времепп и соответствугот г-й собственной форме. В частности, для реализации этого г-го главного колебання достаточно, чтобы в начальный момент обобщенные скорости равнялись нулсо, а обобщенным координатам были приданы значения, определяющпе г-го собственнуго форму.

Н ример 4,5. Найти нвилсение системы, рассмотренной в примере 4 1, если состонпне равновесна парушаетсн приложением к цен'тру тяжести груза мгновенного импульса 3. В данном случае начальные условвн долзкны быть сформулированы следуютцим образом: Ь' у (О) = О, у (0) = †, ср (0) = О, ср (0) = О. Общее решение нмеет вид у = Ап в!и (Уз!+ сс,) + А„вш (Ьгг + ссг), ср = Аг| в!а (уз!+ сс1) + Лг. в!п (йгг+ сгг), Подставляя стона найденные в примере 4,4 отношения амплитуд, н,з ходим у = Л„мп (1г,г+ сс,) (- А, взп(1г 1 + сс ), 3 21 ср= 21 А„в!п (У г + сс ) — — г А юе ()з г+ сс ).

Длн определения четырех нензввстных Ап, А„, а,, иг используем указанные выше начальные условнн: 3 . 21 Л в!ва +А в1всс = О, — А в!псг — — г А в(псс =О, и г гг г ' 21 ы г 31,' и г 3 3 21 Л у с асс+А у сова =- —, — А усова — — гА йсовсс =0 пз ов г згг г — яг 21 пз г Зр иг' ГЛ 1 СВОБОДНЫИ КОЛЕБАНИЯ 94 Отсюда находим 81е = -(т —.

А =, а =-О, а =О. 98р 81 )>>т1яэ два корня частотного уравнения будут равны друг другу, а при выполнении равенства сыст> — — с, > (4.72) один из корней частотного уравнения»брап1ается и нуль. Не следует думать, что равенства (4.74) нлп (4.72) рис. 4,8 выполни>отся при каких-то нсклточнтельных обстоятельствах; в действительности системы с кратнымп или пулепыии корнями встречаются довольно часто. В качестве примера рассмотрим свободные колебания плоской системы с двумя степенями свободы, показанной на рпс. о8, Ооозначпм через с> п ст коэффициенты жест- Следовательно, дан>кение оиисываетсн уравненинми у —,— —.— е>п У 1 ->- — — в'>и У 1 ,, ~,8., +„,л 81 ()т8,. 3 р,.

>Р =, ) — л>п У 1 — — — л!и У 1 ",/т1п1). 9 > 4 Т т1 и носит двулчастотпый характер, 6. Случаи кратных и нулевых корней. До спх пор, говоря о корпят частотного уравнения, мы считали ит простыни и не равными нули>. Однако в некоторых слу- чаях частотное уравнение может иметь как пулевые, так и кратные корни. Убедимся в возможности этого на примере механиче- ской системы с двумя степенями свободы. Из частотного уравнения (4.32) непосредственно видно, что прп выпол- нении рапепстпа (а„сы ) атт㻠— -а>тс>т) ът = 4 (с„гтт — стт) (а„а — а>е) (4.7>) в ь систкмы с пксколькнми сткпкпямн своводы Вб ддестдд прудкин, а через га п р — массу и радиус инерции д ела относительно оси, прокоднщей перпендикулярно плоскости чертежа чероз центр тянсосдчп За обобщенные жядрдинаты примем вертикальное перемещение центра тяжести тела у и угол поворота тела др.

Тогда кинетическая и потенциальная энергии запишутся в виде '= 2Ь'+рв ') Соответственно этому уравнения Лагранжа принимают форму яду + (с, + св) у -(. (с,*дд — свд,) др =- О, (йд. 73) тр'ср + (сд(д' + с.,7',) др + (сд)д — с,(,) у == О.

Теперь предположим, что параметры рассматриваемой системы удовлетворяют двум простым (н реально осуществимым) соотношениям: с121 = сА, р' = Е~Ц; (4.74) тогда вместо иолученныл дифферепциальныл уравноннй имеем ту+(с1+ сд) у = О, (4.75) тдр + (с1 + с,)де = О.

Следовательно, инерциоиныо коэффициенты п обобщенные коэффициенты жесткостн в данном случае определиются формулами аде=ам = — О, ею=ею =О ддп = а22 сп = см = с1+ сд, и условие (4.71) выполняется, т. е. обо частоты рассмат- риваемой системы равны одна другой. Впрочем, это вид- но непосредственно из уравнении (йд.75), так как гп Вниду яезависимостн уравпеякй (4.75) постоянные интегрирования одного уравнения не связаны с постоянными ГЛ. 1 СВОБОДНЫВ КОЛВБАПИЯ интегрирования другого уравнения: у =Ага!п(И+ аг), гр Л2Б1п(гсг+ а2). Т= — + — ', П= г гр2 (гре рг) 2 2 ' 2 Соответственно этому уравнения Лагранжа имеют впд 1,ср, — с(1рг — срг) = О, г 2СР2 + С(СР2 СР1) = Ог (4.76) *) В сопротивлении материалов устанавливаетсн: с = СУг/1, где С вЂ” модуль сдвига, 1„— полпрныб ьюмент инерцнп сечеинл вала, 1 — длина вала.

Для определения постоянных Аг, Л2, ап аг служат четыре начальных условия. В общей теории линейных дифференциальных уравнений устанавливается, что обычно (но не всегда!) при кратных корнях характеристического уравнения в решении возникают слагаемые типа 1гйпй1 и гсоз121, содержащие аргумент вне знаков тригонометрических функции; в наших задачах этим корням соответствовали бы нарастающие колебания. Однако в рассматриваемых здесь случаях свободных колебаний к о н с е р в а т и на н ы х систем такие слагаемые появиться не могут — это противореь чиле бы справедливому для таких ь систем закону сохранения механи! ческой энергии (тем более это относигея к диссипативным системам).

рис. 4.9 Простые примеры систем с одной пулевой собственной частотой показаны на рпс. 4.9, а, б. Подробнее остановимся на системе, изображенной на рис. 4.9, б и обозначим: с — жесткость вала на кручение ), 1г, 12 — моменты инерции дисков относительно продольной оси системы. Принимая за обобщенные координаты углы поворота срг и 1рг дисков относительно некоторого начального положения (в этом положении вал не закручен), получим следующие выражения для кинетической п потенциальной энергии системы: В 1, СИСТЕМЫ С ПЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕПЯМИ СВОБОДЫ 97 а1! = 71, агг = Уь а!г = аю = О, С!! — С22 С, С!2 С2! С.

При этом выполняется условие (4.72) и один нз корней частотного уравнения равен нулю. Действительно, подставив найденные значения коэффгщпентов в частотное уравнение, получим †(У!с + Угс) йг + 7!72й! = О, отсюда .Г 7,+7, а!=0, аг= 1 с — ' 1 2 (4.77) Для того чтобы понять физический смысл нулевой частоты, вернемся к системе дифференциальных уравнений (4,76). Их главная особенность состоит в том, что опи допускают не только частное решение колебательного типа «р! = А, ып(йг+ и), !рг =Агвш(Ы+ и), (4.78) но таки!е частное решение вида !р! 2рг С! + Сг~ю которое Описывает равномерное вращение всей системы как жесткого целого (без скручивания упругого вала). Этому частному решению и соответствует нулевой корень частотного уравнения й! = О.

Частному решеяи!о (4.78) соответствует отличная от нуля частота йг, данная в формуле (4.77), а такяге определенное отяошение амплитуд колебательного двия!ения г 1 А 1 Х21 А 7 Таким образом, общее решение представляется в виде !р! = А! Бш(йг+ и)+ С1+ Сгт, (4.79) !р2 хг!А! а!В(И+ и)+ С! + С21 и содерн1122 четыре постоянные: А1, и, С! и Сг, определяемые из начальных условий. Движение, описываемое законом (4.79), представляет собой колебания, наложенные па рехшм равномерно- 7 я. г. паыоаыо 6 4. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 99 (4.49) и (4.50), а — Ьп Ь„...

йы- й„ь„... ь„ (4.82) (Ь) = ь„ь„... ь„ — матрица демпфирования. Решение уравнений (4.80) следует искать в форме, отличагощейся от (4.27), а именно д,=А,е" (1 = $, 2, ..., з). (4.83) После подстановки (4.83) в (4.80) получится однородная система алгебраических уравнений относительно А,; в матричной форме эта система имеет вид ((а]Хз — [Ь]Х+(е]) (А1=0. (4.84) Для того чтобы все А; одновременно не обращались в нуль, необходимо, чтобы равнялся нулю определитель системы (4.84); это приводит к характеристическому уравнению йе4( ]а] Лз + (Ь] Х + ]с] ) = О. (4.85) Р'ели псе эломонты матрицы (4.82) положительные, то пеществепные части всех корней характеристического уравнения — отрицательны. При этом среди корней уравнения (4.85) могут оказаться отрицательные вещественные корни, каждому из которых согласно (4.83) соответствует монотонное затухающее двиигение неколебательного характера.

Наряду с этим среди корней могут оказаться я к о м и л е к с н ы е сопряженные корни вида Х = — а+ 46, ),' = — а — зр (и) 0). Им соответствует затухающее колебательное движение, описываемое выражением дь = Е ' (В„СОЗ 64+ Сь ЗГП вте) . Г (4.88) Общее решение (4.80) полУчнтся как результат гзалоясе- Рис, 4 10 пия всех частных решений. Пример 46 Покзззипак ка рис. 4АО система состоит из способного пврвмещагьск по горизонтали груза 1 массы т, двух упругих пружин Б и У с коэффидиептзми жесткости сз и г, и ликейкого демпфера 4, характеризуемого коэффициентом вязкости Ь Найти общий характер движении системы, которое возникнет пв7э ГЛ, Г.

ОВОВОДНЫИ КОЛИИАНИЯ (ОО сле нарушения состояния раввовесия грува, Пластинку б считать безыверциопвой. Обозначим через х~ и зд отклонения пластинки и груза от положения равновесия. Тогда для пластинки имеем — с1з~ — Ьх|+ сз(лд — лД = О, (а) для груаа— (б) сэ(зэ л!) тлз. Полагая х, = А1з", зд = Азед', получаем одпородвую систему (с1+ сз + Ь) ) А1 — сзАз = О; — сдА1+ (сз + тйз)Аз = О. Приравняв нулю определитель ! с +с +ЬХ вЂ” сз ',1=0, с с+т)д~ придем к характеристическому уравнению тЬУ+ т(с1+ сз))з+ Ьсзд + шсз =~ О. (в) К тому же реаультату можно было прийти, если исключить коордввату л~ из ураввевий (а) и (б) м ааппсать уравнения третьего порядка для лз. тЬлз+ т(с, + сэ) лз + Ьсэтз+ с ~од*э = О. (г) Соответственно пордддку уравнения (в) рассматриваемую механическую систему можно назвать системой с П/, степевями свободы (представление о нецелом числе степеней свободы было введено А, А, Андроповым и относится к вырождеввым системам, В нашем примере достаточно было учесть массу пластинки э, чтобы система дифференциальных уравнений имела четвертый ворядок; такая мехзвическая система обладает двумя степенями свободы).

Среди корвей характеристического уравнения (в) по крайней мере один окажется веществевпым отрицательным, Чтобы убедиться в этом, рассмотрим левую часть уравнепия, При Х = 0 ова, очевидво, паложительыая, а при достаточно больших отрицательных звачевиях Х опа становится отрицательной, Следовательпо, должеы существовать корепь Х1 = — а~ (и1 ° О). После того как этот корень пайдеп (для вычисления достаточпо самой простой ЭВМ), вужво левую часть ураввевия (в) разделить ва разность Х вЂ” Х, и решить получевпое таким образом квадратпое уравпевие, При этом вайдутся два остальных коряв, в общем случае комплексных, вида йзл = — ад ~ 4 (сс, ) О). Таким образом, движение груза описывается выражением л =А да д + е з (А з(п()э+А соз()д), содержащим три постоянные.